Генератор бесконечно малых величин (случайные процессы)

Эта статья о бесконечно малом генераторе общих случайных процессов. Генераторы для частного случая цепей Маркова с непрерывным временем и конечным состоянием см. в матрице скорости перехода .

В математике , в частности, в стохастическом анализе , бесконечно малый генератор процесса Феллера (т. е. марковского процесса с непрерывным временем, удовлетворяющего определенным условиям регулярности) представляет собой оператор-множитель Фурье. который кодирует большой объем информации о процессе.

Генератор используется в эволюционных уравнениях, таких как обратное уравнение Колмогорова , которое описывает эволюцию статистики процесса; это Л ² Эрмитово сопряженное используется в эволюционных уравнениях, таких как уравнение Фоккера-Планка , также известное как прямое уравнение Колмогорова, которое описывает эволюцию функций плотности вероятности процесса.

Прямое уравнение Колмогорова в обозначениях имеет вид $\partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho$, где $\rho$ - функция плотности вероятности, а ${\mathcal {A}}^{*}$ является сопряженным к бесконечно малому генератору основного стохастического процесса. Уравнение Клейна – Крамерса является частным случаем этого уравнения.

Определение

Общий случай

Для процесса Феллера $(X_{t})_{t\geq 0}$ с полугруппой Феллера $T=(T_{t})_{t\geq 0}$ и государственное пространство $E$ мы определяем генератор $(A,D(A))$ к $$D(A)=\left\{f\in C_{0}(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}}{\text{ exists as uniform limit}}\right\},$$$$Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},~~{\text{ for any }}f\in D(A).$$Здесь $C_{0}(E)$ обозначает банахово пространство непрерывных функций на $E$ исчезающие в бесконечности, снабженные высшей нормой, и $T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x)$. В общем, описать область применения генератора Феллера непросто. Однако генератор Феллера всегда закрыт и плотно определен. Если $X$ является $\mathbb {R} ^{d}$-оцененный и $D(A)$ содержит тестовые функции (компактно поддерживаемые гладкие функции), тогда $$Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy),$$где $c(x)\geq 0$, и $(l(x),Q(x),N(x,\cdot ))$ является тройкой Леви для фиксированных $x\in \mathbb {R} ^{d}$.

Процессы Леви

Генератор полугруппы Леви имеет вид $$Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)\nu (dy)$$где $l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}$ является положительно полуопределенным и $\nu$ является мерой Леви, удовлетворяющей $$\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty$$ и $0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)$для некоторых $\kappa >0$ с $s\chi (s)$ ограничен. Если мы определим $$\psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)$$для $\psi (0)\geq 0$ тогда генератор можно записать как $$Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi$$где ${\hat {f}}$ обозначает преобразование Фурье. Таким образом, генератор процесса Леви (или полугруппы) представляет собой оператор-множитель Фурье с символом $-\psi$.

управляемые процессами

Позволять ${\textstyle L}$ быть процессом Леви с символом $\psi$ (см. выше). Позволять $\Phi$ быть локально липшицевым и ограниченным. Решение СДЭ $dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}$ существует для каждого детерминированного начального условия $x\in \mathbb {R} ^{d}$ и дает процесс Феллера с символом $q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).$

Обратите внимание, что в общем случае решение СДУ, основанное на процессе Феллера, который не является процессом Леви, может не быть феллеровским или даже марковским.

В качестве простого примера рассмотрим ${\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$ с шумом движения, напоминающим броуновское движение. Если мы предположим $l,\sigma$ являются липшицевыми и имеют линейный рост, то для каждого детерминированного начального условия существует единственное решение, которое является решением Феллера с символом $$q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .$$

Среднее время первого прохождения

Среднее время первого прохода $T_{1}$ удовлетворяет ${\mathcal {A}}T_{1}=-1$. Это можно использовать, например, для расчета времени, которое требуется частице броуновского движения в ящике, чтобы достичь границы ящика, или времени, которое требуется частице броуновского движения в потенциальной яме, чтобы покинуть яму. При определенных предположениях время выхода удовлетворяет уравнению Аррениуса .

Генераторы некоторых распространенных процессов

Для цепей Маркова с непрерывным временем и конечным состоянием генератор может быть выражен как матрица скорости перехода .

Общий n-мерный диффузионный процесс $dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}$ есть генератор $${\mathcal {A}}f=(\nabla f)^{T}\mu +tr((\nabla ^{2}f)D)$$где $D={\frac {1}{2}}\sigma \sigma ^{T}$ – диффузионная матрица, $\nabla ^{2}f$ является гессианом функции $f$, и $tr$ это матричный след . Его сопряженный оператор $${\mathcal {A}}^{*}f=-\sum _{i}\partial _{i}(f\mu _{i})+\sum _{ij}\partial _{ij}(fD_{ij})$$Ниже приведены обычно используемые частные случаи общего процесса n-мерной диффузии.

• Стандартное броуновское движение $\mathbb {R} ^{n}$, которое удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению $dX_{t}=dB_{t}$, есть генератор ${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$, где $\Delta$ обозначает оператор Лапласа .
• Двумерный процесс $Y$ удовлетворительно: $$\mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choose \mathrm {d} B_{t}}$$ где $B$ представляет собой одномерное броуновское движение, его можно рассматривать как график этого броуновского движения и имеет генератор: $${\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)$$
• Процесс Орнштейна - Уленбека $\mathbb {R}$, которое удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}$, имеет генератор: $${\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x)$$
• Аналогично, граф процесса Орнштейна – Уленбека имеет генератор: $${\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)$$
• Геометрическое броуновское движение $\mathbb {R}$, которое удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению ${\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}$, имеет генератор: $${\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)$$

См. также

• Формула Дынкина

Ссылки

• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями . Сингапур: Мировое научное издательство. п. 315. ИСБН  978-981-4678-93-3 . (См. главу 9)
• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Universitext (Шестое изд.). Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-642-14394-6 . ISBN  3-540-04758-1 . (См. раздел 7.3)