Матрица скорости перехода

В теории вероятностей матрица скорости перехода (также известная как Q-матрица ) ^[1] матрица интенсивности , ^[2] или бесконечно малая порождающая матрица ^[3]) представляет собой массив чисел, описывающих мгновенную скорость, с которой цепь Маркова с непрерывным временем переходит между состояниями.

В матрице скорости перехода $Q$ (иногда пишется $A$ ^[4]), элемент $q_{ij}$ (для $i\neq j$ ) обозначает скорость, отклоняющуюся от $i$ и прибытие в штат $j$ . Цены $q_{ij}\geq 0$ , а диагональные элементы $q_{ii}$ определены так, что

q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}

,

и, следовательно, сумма строк матрицы равна нулю.

С точностью до глобального знака большой класс примеров таких матриц представляет лапласиан ориентированного взвешенного графа . Вершины графа соответствуют состояниям цепи Маркова.

Характеристики

Матрица скорости перехода имеет следующие свойства: ^[5]

Существует хотя бы один собственный вектор с исчезающим собственным значением, ровно один, если график $Q$ сильно связан.
Все остальные собственные значения $\lambda$ выполнить $0>\mathrm {Re} \{\lambda \}\geq 2\min _{i}q_{ii}$ .
Все собственные векторы $v$ с ненулевым собственным значением $\sum _{i}v_{i}=0$ .
Матрица скорости перехода удовлетворяет соотношению $Q=P'(0)$ где P(t) — непрерывная стохастическая матрица .

Пример

Очередь M/M/1 — модель, которая подсчитывает количество заданий в системе массового обслуживания со скоростью поступления λ и услугами со скоростью μ, имеет матрицу скорости перехода

Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\ddots &\\&&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.

См. также

Стохастическая матрица

Ссылки

^ Сухов и Кельберт 2008 , Определение 2.1.1.
^ Асмуссен, СР (2003). «Марковские скачкообразные процессы». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 51. С. 39–59. дои : 10.1007/0-387-21525-5_2 . ISBN 978-0-387-00211-8 .
^ Триведи, Канзас; Кулкарни, В.Г. (1993). «FSPN: Гибкие стохастические сети Петри». Применение и теория сетей Петри 1993 . Конспекты лекций по информатике. Том. 691. с. 24. дои : 10.1007/3-540-56863-8_38 . ISBN 978-3-540-56863-6 .
^ Рубино, Херардо; Серикола, Бруно (1989). «Время пребывания в конечных марковских процессах» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 26 (4). Прикладное вероятностное доверие: 744–756. дои : 10.2307/3214379 . JSTOR 3214379 . S2CID 54623773 .
^ Кейзер, Джоэл (1 ноября 1972 г.). «О решениях и установившихся состояниях основного уравнения» . Журнал статистической физики . 6 (2): 67–72. Бибкод : 1972JSP.....6...67K . дои : 10.1007/BF01023679 . ISSN 1572-9613 . S2CID 120377514 .

Норрис, младший (1997). Марковские цепи . дои : 10.1017/CBO9780511810633.005 . ISBN 9780511810633 .
Сухов Юрий; Келберт, Марк (2008). Цепи Маркова: учебник случайных процессов и их приложений . Издательство Кембриджского университета.
Сиски, Р. (1992). Времена прохождения цепей Маркова . ИОС Пресс. ISBN 90-5199-060-Х .

Эта вероятности статья о незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[FOOTNOTESuhovKelbert2008Definition_2.1.1-1] Сухов и Кельберт 2008 , Определение 2.1.1.

[2] Асмуссен, СР (2003). «Марковские скачкообразные процессы». Прикладная вероятность и очереди . Стохастическое моделирование и прикладная теория вероятности. Том. 51. С. 39–59. дои : 10.1007/0-387-21525-5_2 . ISBN 978-0-387-00211-8 .

[3] Триведи, Канзас; Кулкарни, В.Г. (1993). «FSPN: Гибкие стохастические сети Петри». Применение и теория сетей Петри 1993 . Конспекты лекций по информатике. Том. 691. с. 24. дои : 10.1007/3-540-56863-8_38 . ISBN 978-3-540-56863-6 .

[4] Рубино, Херардо; Серикола, Бруно (1989). «Время пребывания в конечных марковских процессах» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 26 (4). Прикладное вероятностное доверие: 744–756. дои : 10.2307/3214379 . JSTOR 3214379 . S2CID 54623773 .

[5] Кейзер, Джоэл (1 ноября 1972 г.). «О решениях и установившихся состояниях основного уравнения» . Журнал статистической физики . 6 (2): 67–72. Бибкод : 1972JSP.....6...67K . дои : 10.1007/BF01023679 . ISSN 1572-9613 . S2CID 120377514 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]