Закон нуля-единицы Энгельберта – Шмидта

Закон нуля-единицы Энгельберта -Шмидта - это теорема, которая дает математический критерий того, что событие, связанное с непрерывным, неубывающим аддитивным функционалом броуновского движения, имеет вероятность 0 или 1, без возможности промежуточного значения. Этот закон нуля или единицы используется при исследовании вопросов конечности и асимптотического поведения стохастических дифференциальных уравнений . ( Винеровский процесс — это математическая формализация броуновского движения, используемая в формулировке теоремы.) Этот закон 0–1, опубликованный в 1981 году, назван в честь Ганса-Юргена Энгельберта. и вероятностный специалист Вольфганг Шмидт (не путать с теоретиком чисел Вольфгангом М. Шмидтом ).

Закон Энгельберта – Шмидта 0–1

Позволять ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра и пусть $F=({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ — возрастающее семейство под- σ -алгебр ${\mathcal {F}}$. Позволять $(W,F)$ быть винеровским процессом в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$. Предположим, что $f$ — измеримая по Борелю функция прямой на [0,∞]. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(я) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$.

(ii) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(W_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$.

(iii) $\int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,$ для всех компактных подмножеств $K$ реальной линии.

Расширение стабильных процессов

В 1997 году Пио Андреа Занзотто доказал следующее расширение закона нуля и единицы Энгельберта – Шмидта. Он содержит результат Энгельберта и Шмидта как частный случай, поскольку процесс Винера является вещественным устойчивым процессом индекса $\alpha =2$.

Позволять $X$ быть $\mathbb {R}$-значный стабильный процесс индекса $\alpha \in (1,2]$ на фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t}),P)$. Предположим, что $f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]$ – измеримая по Борелю функция. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(я) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}>0$.

(ii) $P{\Big (}\int _{0}^{t}f(X_{s})\,\mathrm {d} s<\infty {\text{ for all }}t\geq 0{\Big )}=1$.

(iii) $\int _{K}f(y)\,\mathrm {d} y<\infty \,$ для всех компактных подмножеств $K$ реальной линии.

Доказательство результата Занзотто почти идентично доказательству закона нуля и единицы Энгельберта – Шмидта. Ключевым объектом доказательства является процесс местного времени , связанный с устойчивыми процессами индекса $\alpha \in (1,2]$, которая, как известно, совместно непрерывна.

См. также

• закон нуля и единицы