Борелевская мера

В математике , особенно в теории меры , борелевская мера в топологическом пространстве — это мера , которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах ). ^[1] Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений на эту меру, как описано ниже.

Формальное определение

Позволять $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство и пусть ${\mathfrak {B}}(X)$ — наименьшая σ-алгебра , содержащая открытые множества $X$ ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств . Борелевская мера – это любая мера $\mu$ определенное на σ-алгебре борелевских множеств. ^[2] Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы $\mu$ , локально конечен а это означает, что $\mu (C)<\infty$ для каждого компактного набора $C$ . Если борелевская мера $\mu$ является одновременно внутренней и внешней регулярной мерой , она называется регулярной борелевской мерой . Если $\mu$ является одновременно внутренней регулярной, внешней регулярной и локально конечной , она называется мерой Радона .

На реальной линии

Настоящая линия $\mathbb {R}$ со своей обычной топологией является локально компактным хаусдорфовым пространством; следовательно, мы можем определить на нем борелевскую меру. В этом случае, ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ — наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы $\mathbb {R}$ . Хотя существует множество борелевских мер , выбор борелевской меры, которая присваивает $\mu ((a,b])=b-a$ за каждый полуинтервал $(a,b]$ иногда называют «мерой Бореля» $\mathbb {R}$ . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру меры Лебега $\lambda$ , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. σ-алгебра Лебега на самом деле является пополнением борелевской σ-алгебры, а это означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все борелевские множества и может быть снабжена полной мерой . Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. е. $\lambda (E)=\mu (E)$ для каждого измеримого по Борелю множества, где $\mu$ – описанная выше мера Бореля). Эта идея распространяется на конечномерные пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ ( теорема Крамера–Вольда , ниже), но, вообще говоря, не выполняется для бесконечномерных пространств. Бесконечномерных мер Лебега не существует.

Продуктовые пространства

Если X и Y являются со второй счетностью топологическими хаусдорфовыми пространствами , то множество борелевских подмножеств $B(X\times Y)$ их произведения совпадает с произведением множеств $B(X)\times B(Y)$ борелевских подмножеств X и Y . ^[3] То есть функтор Бореля

\mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas}

из категории хаусдорфовых пространств со второй счетностью в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения .

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интеграл Лебега –Стилтьеса — это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега–Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на действительной прямой. Мера Лебега–Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и наоборот, каждая регулярная борелевская мера на действительной прямой относится к такому типу. ^[4]

Преобразование Лапласа

можно определить Преобразование Лапласа конечной борелевской меры µ на вещественной прямой с помощью интеграла Лебега ^[5]

({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).

Важный частный случай — это случай, когда µ — вероятностная мера или, точнее, дельта-функция Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера возникла из функции распределения f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут

({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt

где нижний предел 0 ⁻ это сокращенное обозначение для

\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа – Стилтьеса .

Проблема момента

можно определить Моменты конечной борелевской меры µ на вещественной прямой интегралом

m_{n}=\int _{a}^{b}x^{n}\,d\mu (x).

Для $(a,b)=(-\infty ,\infty ),\;(0,\infty ),\;(0,1)$ они соответствуют проблеме моментов Гамбургера , проблеме моментов Стилтьеса и проблеме моментов Хаусдорфа соответственно. Вопрос или проблема, которую необходимо решить, заключается в том, существует ли соответствующая мера для данной совокупности таких моментов? Для проблемы моментов Хаусдорфа соответствующая мера единственна. Для остальных вариантов вообще существует бесконечное число различных мер, дающих одни и те же моменты.

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана.

Дана борелевская мера µ в метрическом пространстве X такая, что µ ( X ) > 0 и µ ( B ( x , r )) ⩽ r ^с выполняется для некоторой константы s > 0 и для каждого шара B ( x , r ) в X , то размерность Хаусдорфа dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение дает лемма Фростмана : ^[6]

Лемма: Пусть A борелевское — подмножество R ^н, и пусть s > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

ЧАС ^с( A ) > 0, где H ^с обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
Существует (беззнаковая) борелевская мера µ, такая, что µ ( A ) > 0, и такая, что

\mu (B(x,r))\leq r^{s}

справедливо для всех x ∈ R ^н и г > 0.

Теорема Крамера – Вольда

Теорема Крамера – Вольда в теории меры утверждает, что борелевская вероятностная мера на $\mathbb {R} ^{k}$ однозначно определяется совокупностью его одномерных проекций. ^[7] Он используется как метод доказательства совместных результатов сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда .

См. также

оператор Якоби

Ссылки

^ Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры. Архивировано 1 ноября 2010 г. в Wayback Machine . Торрес Фремлин.
^ Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Издательство Кембриджского университета . стр. 158–184. ISBN 0-521-29715-Х .
^ Владимир Иванович Богачев . Теория меры, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.
^ Халмош, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
^ Феллер 1971 , §XIII.1
^ Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. ххх+195. ISBN 0-521-62491-6 .
^ К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

Дальнейшее чтение

Гауссова мера — конечномерная борелевская мера.
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR 0270403 .
Джей Ди Прайс (1973). Основные методы функционального анализа . Библиотека Университета Хатчинсона. Хатчинсон . п. 217. ИСБН 0-09-113411-0 .
Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 28. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 209–218 . ISBN 0-521-46654-7 . Збл 0828.31001 .
Тешль, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
Лемма Винера связана

Внешние ссылки

Борелевская мера в Математической энциклопедии

[1] Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры. Архивировано 1 ноября 2010 г. в Wayback Machine . Торрес Фремлин.

[2] Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Издательство Кембриджского университета . стр. 158–184. ISBN 0-521-29715-Х .

[3] Владимир Иванович Богачев . Теория меры, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.

[4] Халмош, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9

[5] Феллер 1971 , §XIII.1

[6] Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. ххх+195. ISBN 0-521-62491-6 .

[7] К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]