Подписанная мера

В математике , знаковая мера — это обобщение понятия (положительной) меры позволяющее функции множества принимать отрицательные значения, т. е. приобретать знак .

Определение

Существуют две несколько разные концепции знаковой меры, в зависимости от того, позволяет ли она принимать бесконечные значения. Знаковые меры обычно могут принимать только конечные действительные значения, в то время как некоторые учебники позволяют им принимать бесконечные значения. Во избежание путаницы в этой статье эти два случая будут называться «конечными знаковыми мерами» и «расширенными знаковыми мерами».

Учитывая измеримое пространство $(X,\Sigma )$ (то есть набор $X$ с σ-алгеброй $\Sigma$ на нем) расширенная знаковая мера является функцией множества

$$\mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$$

такой, что $\mu (\varnothing )=0$ и $\mu$ является σ-аддитивным , т. е. удовлетворяет равенству

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$$

для любой последовательности $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ непересекающихся множеств в $\Sigma .$Ряд справа должен сходиться абсолютно, если значение левой части конечно. Одним из последствий является то, что расширенная подписанная мера может занять $+\infty$ или $-\infty$ как ценность, но не то и другое. Выражение $\infty -\infty$ не определено и его следует избегать.

Конечная знаковая мера (она же реальная мера ) определяется таким же образом, за исключением того, что ей разрешено принимать только действительные значения. То есть, он не может принять $+\infty$ или $-\infty .$

Конечные меры со знаком образуют реальное векторное пространство , а расширенные меры со знаком — нет, поскольку они не замкнуты при сложении. С другой стороны, меры являются расширенными знаковыми мерами, но, вообще говоря, не являются конечными знаковыми мерами.

Примеры

Рассмотрим неотрицательную меру $\nu$ на пространстве ( X , Σ) и измеримую функцию f : X → R такую, что

$\int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .$

Тогда конечная знаковая мера определяется выражением

$\mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)$

для всех A из Σ.

Эта знаковая мера принимает только конечные значения. Чтобы позволить ему принимать +∞ в качестве значения, нужно заменить предположение об f абсолютной интегрируемости на более смягченное условие

$\int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,$

где f ⁻ ( x ) = max(− f ( x , 0) — отрицательная часть f ) .

Свойства

Далее следуют два результата, из которых следует, что расширенная знаковая мера представляет собой разность двух неотрицательных мер, а конечная знаковая мера представляет собой разность двух конечных неотрицательных мер.

Теорема Хана о разложении утверждает, что для данной знаковой меры µ существуют два измеримых множества P и N такие, что:

1. P ∪ N = X и P ∩ N = ∅;
2. µ ( E ) ≥ 0 для каждого E в Σ такого, что E ⊆ P — другими словами, P — положительное множество ;
3. µ ( E ) ≤ 0 для каждого E из Σ такого, что E ⊆ N , то есть N — отрицательное множество.

Более того, это разложение уникально с точностью до добавления/вычитания µ - нулевых множеств из P и N .

Рассмотрим тогда две неотрицательные меры µ ⁺ и мкм ⁻ определяется

$\mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)$

и

$\mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)$

для всех измеримых множеств E , т. е. E в Σ.

Можно проверить, что оба µ ⁺ и мкм ⁻ являются неотрицательными мерами, одна из которых принимает только конечные значения, и называются положительной частью и отрицательной частью µ соответственно . Имеем, что µ = µ ⁺ − м ⁻ . Мера | м | = м ⁺ + м ⁻ называется вариацией µ , а ее максимально возможное значение || мкм || = | µ |( X называется полной вариацией µ ) .

Это следствие теоремы о разложении Хана называется разложением Жордана . Меры µ ⁺ , м ⁻ и | | | не зависят от выбора P и N в теореме о разложении Хана.

Пространство знаковых мер

Сумма двух конечных мер со знаком является конечной мерой со знаком, как и произведение конечной меры со знаком на действительное число, то есть они замкнуты относительно линейных комбинаций . Отсюда следует, что множество конечных мер со знаком на измеримом пространстве ( X , Σ) является вещественным векторным пространством ; в этом отличие от положительных мер, которые замкнуты только относительно конических комбинаций и, таким образом, образуют выпуклый конус , а не векторное пространство. Более того, полная вариация определяет норму , относительно которой пространство конечных мер со знаком становится банаховым пространством . Это пространство имеет еще большую структуру: можно показать, что оно является дедекиндовой полной банаховой решеткой , и при этом можно показать, что теорема Радона – Никодима является частным случаем спектральной теоремы Фрейденталя .

Если X — компактное сепарабельное пространство, то пространство конечных мер Бэра со знаком является двойственным вещественному банаховому пространству всех непрерывных вещественных функций на X по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

См. также

• Угловое смещение
• Комплексная мера
• Спектральная мера
• Векторная мера
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани
• Длина дуги со знаком
• Подписанная область
• Расстояние со знаком
• Подписанный том
• Общая вариация

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. (1966), Элементы интеграции , Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья , Zbl   0146.28201
• Бхаскара Рао, КПС; Бхаскара Рао, М. (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Чистая и прикладная математика, Лондон: Academic Press , ISBN  0-12-095780-9 , Збл   0516.28001
• Кон, Дональд Л. (1997) [1980], Теория меры , Бостон: Birkhäuser Verlag , ISBN  3-7643-3003-1 , Збл   0436.28001
• Дистель, Дж. Э.; Уль, Дж. Дж. младший (1977), Векторные меры , Математические обзоры и монографии, том. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-1515-6 , Збл   0369.46039
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1959), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, вып. 6, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIV+858, ISBN.  0-471-60848-3 , Збл   0084.10402
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, вып. 7, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. IX + 859–1923, ISBN.  0-471-60847-5 , Збл   0128.34803
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1971), Линейные операторы. Часть I: Общая теория. Часть II: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Часть III: Спектральные операторы. , Чистая и прикладная математика, вып. 8, Нью-Йорк и Лондон: Interscience Publishers , стр. XIX + 1925–2592, ISBN.  0-471-60846-7 , Збл   0243.47001
• Заанен, Адриан К. (1996), Введение в теорию операторов в пространствах Рисса , Springer Publishing , ISBN  3-540-61989-5

---

Эта статья включает в себя материалы из следующих статей PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License : Знаковая мера, Теорема Хана о разложении, Разложение Джордана.