Длина дуги

Длина дуги — это расстояние между двумя точками на участке кривой .

Определение длины сегмента неправильной дуги путем аппроксимации сегмента дуги как связанных (прямых) отрезков линии также называется выпрямлением кривой . Для спрямляемой кривой эти приближения не становятся сколь угодно большими (поэтому кривая имеет конечную длину).

Если кривую можно параметризовать как инъективную и непрерывно дифференцируемую функцию (т. е. производная является непрерывной функцией) $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ , то кривая спрямляема (т. е. имеет конечную длину).

Появление исчисления бесконечно малых привело к появлению общей формулы, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .

Общий подход

Приближение кривой несколькими линейными сегментами, называемое *выпрямлением* кривой.

Кривую конечное на плоскости можно аппроксимировать, соединив число точек кривой с помощью (прямых) отрезков линий для создания многоугольного пути . несложно Поскольку вычислить длину каждого линейного сегмента (например, используя теорему Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину приближения можно найти путем суммирования длин каждого линейного сегмента; это приближение известно как (кумулятивное) хордальное расстояние . ^[1]

Если кривая еще не является многоугольной траекторией, то использование постепенно большего числа сегментов линии меньшей длины приведет к лучшим аппроксимациям длины кривой. Такое определение длины кривой путем аппроксимации кривой соединенными (прямыми) отрезками называется выпрямлением кривой. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут бесконечно увеличиваться, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу, поскольку длины отрезков становятся сколь угодно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число $L$ это верхняя граница длины всех полигональных аппроксимаций (ректификации). Эти кривые называются спрямляемыми , а длина дуги определяется как число $L$ .

Длина дуги со знаком может быть определена, чтобы передать ощущение ориентации или «направления» относительно опорной точки, принятой в качестве начала кривой (см. Также: ориентация кривой и расстояние со знаком ). ^[2]

Формула плавной кривой

Позволять $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ быть инъективной и непрерывно дифференцируемой (т. е. производная является непрерывной функцией) функцией. Длина кривой определяется формулой $f$ можно определить как предел суммы длин линейных отрезков регулярного разбиения $[a,b]$ поскольку число сегментов приближается к бесконечности. Это означает

$L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}$

где $t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t$ с $\Delta t={\frac {b-a}{N}}=t_{i}-t_{i-1}$ для $i=0,1,\dotsc ,N.$ Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как целого числа:

$L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.$

Последнее равенство доказывается следующими шагами:

Вторая фундаментальная теорема исчисления показывает $f(t_{i})-f(t_{i-1})=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}f'(t)\ dt=\Delta t\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta$ где $t=t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1})$ над $\theta \in [0,1]$ карты в $[t_{i-1},t_{i}]$ и $dt=(t_{i}-t_{i-1})\,d\theta =\Delta t\,d\theta$ . На следующем шаге используется следующее эквивалентное выражение. ${\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}=\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta .$
Функция $\left|f'\right|$ является непрерывной функцией из отрезка $[a,b]$ множеству действительных чисел, таким образом, оно равномерно непрерывно согласно теореме Гейне – Кантора , поэтому существует положительная действительная и монотонно неубывающая функция $\delta (\varepsilon )$ положительных действительных чисел $\varepsilon$ такой, что $\Delta t<\delta (\varepsilon )$ подразумевает $\left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon$ где $\Delta t=t_{i}-t_{i-1}$ и $\theta \in [0,1]$ . Давайте рассмотрим предел ${\ce {N\to \infty }}$ следующей формулы, $\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.$

С учетом приведенного выше результата шага становится

$\sum _{i=1}^{N}\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t.$

Термины переставляются так, что становится

${\begin{aligned}&\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad \leqq \Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|\ d\theta -\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta \right)\\&\qquad =\Delta t\sum _{i=1}^{N}\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\ d\theta \end{aligned}}$

где в крайнем левом углу ${\textstyle \left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta }$ используется. К ${\textstyle \left|\left|f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon }$ для ${\textstyle N>(b-a)/\delta (\varepsilon )}$ так что $\Delta t<\delta (\varepsilon )$ , это становится

$\Delta t\sum _{i=1}^{N}\left(\left|\int _{0}^{1}f'(t_{i-1}+\theta (t_{i}-t_{i-1}))\ d\theta \right|-\left|f'(t_{i})\right|\right)<\varepsilon N\Delta t$

с $\left|f'(t_{i})\right|=\int _{0}^{1}\left|f'(t_{i})\right|d\theta$ , $\varepsilon N\Delta t=\varepsilon (b-a)$ , и $N>(b-a)/\delta (\varepsilon )$ . В пределе $N\to \infty ,$ $\delta (\varepsilon )\to 0$ так $\varepsilon \to 0$ таким образом, левая сторона $<$ подходы $0$ . Другими словами, $\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\sum _{i=1}^{N}\left|f'(t_{i})\right|\Delta t$ в этом пределе, и правая часть этого равенства представляет собой не что иное, как интеграл Римана от $\left|f'(t)\right|$ на $[a,b].$ Это определение длины дуги показывает, что длина кривой, представленной непрерывно дифференцируемой функцией $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ на $[a,b]$ всегда конечно, т. е. спрямляемо .

Определение длины дуги гладкой кривой как интеграла от нормы производной эквивалентно определению

$L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}$

где верхняя грань берется по всем возможным разбиениям $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$ из $[a,b].$ ^[3] Это определение как верхняя граница всех возможных сумм разбиения также справедливо, если $f$ является просто непрерывным, а не дифференцируемым.

Кривую можно параметризовать бесконечным множеством способов. Позволять $\varphi :[a,b]\to [c,d]$ быть любой непрерывно дифференцируемой биекцией . Затем $g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}$ - это еще одна непрерывно дифференцируемая параметризация кривой, первоначально заданная формулой $f.$ Длина дуги кривой одинакова независимо от параметризации, используемой для определения кривой:

${\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case }}\varphi {\text{ is non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}$

Нахождение длин дуг путем интегрирования

Если плоская кривая в $\mathbb {R} ^{2}$ определяется уравнением $y=f(x),$ где $f$ , непрерывно дифференцируемо то это просто частный случай параметрического уравнения, где $x=t$ и $y=f(t).$ Евклидово расстояние каждого бесконечно малого сегмента дуги можно определить по формуле:

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$

Тогда длина дуги определяется как:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$

Кривые с решениями в замкнутой форме для длины дуги включают цепную линию , окружность , циклоиду , логарифмическую спираль , параболу , полукубическую параболу и прямую линию . Отсутствие решения в замкнутой форме для длины дуги эллиптической и гиперболической дуги привело к разработке эллиптических интегралов .

Численное интегрирование

В большинстве случаев, включая даже простые кривые, не существует решений для длины дуги в замкнутой форме, и численное интегрирование необходимо . Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу нахождения длины четверти единичного круга путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхняя половина единичного круга может быть параметризована как $y={\sqrt {1-x^{2}}}.$ Интервал $x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]$ соответствует четверти круга. С ${\textstyle dy/dx=-x{\big /}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ и $1+(dy/dx)^{2}=1{\big /}\left(1-x^{2}\right),$ длина четверти единичного круга равна

$\int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

Оценка 15-точечного правила Гаусса–Кронрода для этого интеграла 1,570 796 326 808 177 отличается от истинной длины

$\arcsin x{\bigg |}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}$

на 1,3 × 10 ⁻¹¹ из 16 точек, Гаусса а оценка квадратурного правила равная 1,570 796 326 794 727, отличается от истинной длины всего на 1,7 × 10 ⁻¹³. Это означает, что этот интеграл можно вычислить почти с машинной точностью, выполнив всего 16 вычислений.

Кривая на поверхности

Позволять $\mathbf {x} (u,v)$ — отображение поверхности и пусть $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$ быть кривой на этой поверхности. Подынтегральная функция интеграла длины дуги равна $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ Для вычисления производной требуется правило цепочки для векторных полей:

$D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.$

Квадрат нормы этого вектора равен

$\left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}$

(где $g_{ij}$ — первый коэффициент фундаментальной формы ), поэтому подынтегральное выражение интеграла длины дуги можно записать как ${\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}$ (где $u^{1}=u$ и $u^{2}=v$ ).

Другие системы координат

Позволять $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$ быть кривой, выраженной в полярных координатах. Отображение, которое преобразует полярные координаты в прямоугольные координаты, имеет вид

$\mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).$

Подынтегральная функция интеграла длины дуги равна $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|.$ Цепное правило для векторных полей показывает, что $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '.$ Таким образом, квадрат подынтегральной функции интеграла длины дуги равен

$\left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.$

Итак, для кривой, выраженной в полярных координатах, длина дуги равна: $\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .$

Второе выражение относится к полярному графику. $r=r(\theta )$ параметризованный $t=\theta$ .

Теперь позвольте $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))$ быть кривой, выраженной в сферических координатах, где $\theta$ - полярный угол, измеренный от положительного $z$ -ось и $\phi$ - азимутальный угол. Отображение, которое преобразует сферические координаты в прямоугольные координаты, имеет вид $\mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).$

Повторное использование правила цепочки показывает, что $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '.$ Все скалярные произведения $\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}$ где $i$ и $j$ различия равны нулю, поэтому квадрат нормы этого вектора равен $\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.$

Таким образом, для кривой, выраженной в сферических координатах, длина дуги равна $\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$

Очень похожий расчет показывает, что длина дуги кривой, выраженная в цилиндрических координатах, равна $\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$

Простые случаи

Дуги кругов

Длины дуг обозначаются буквой s , поскольку длина (или размер) на латыни — spatium .

В следующих строках $r$ представляет радиус круга , собой $d$ это его диаметр , $C$ это его окружность , $s$ - длина дуги окружности, а $\theta$ - угол, под которым дуга образует центр круга. Расстояния $r,d,C,$ и $s$ выражаются в одних и тех же единицах.

$C=2\pi r,$ что то же самое, что $C=\pi d.$ Это уравнение является определением $\pi .$
Если дуга представляет собой полукруг , то $s=\pi r.$
Для произвольной дуги окружности:
- Если $\theta$ это в радианах тогда $s=r\theta .$ Это определение радиана.
- Если $\theta$ в градусах , тогда $s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}},$ что то же самое, что $s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}.$
- Если $\theta$ в градах (100 град, или град, или граданы — это один прямой угол ), то $s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}},$ что то же самое, что $s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}.$
- Если $\theta$ по очереди (один оборот — это полный оборот, или 360°, или 400 град, или $2\pi$ радиан), тогда $s=C\theta /1{\text{ turn}}$ .

Большие круги на Земле

Две единицы длины, морская миля и метр (или километр), были первоначально определены таким образом, чтобы длины дуг больших кругов на поверхности Земли были просто численно связаны с углами, которые они образуют в ее центре. Простое уравнение $s=\theta$ применяется в следующих случаях:

если $s$ находится в морских милях, и $\theta$ находится в угловых минутах ( 1/60 , градуса ) или
если $s$ находится в километрах, а $\theta$ находится в граданах .

Длины единиц расстояний были выбраны так, чтобы окружность Земли была равна 40 000 километров, или 21 600 морских миль. Это количество соответствующих угловых единиц за один полный оборот.

Эти определения метра и морской мили были заменены более точными, но первоначальные определения по-прежнему достаточно точны для концептуальных целей и некоторых расчетов. Например, они подразумевают, что один километр равен ровно 0,54 морской мили. Согласно официальным современным определениям, одна морская миля равна ровно 1,852 километра. ^[4] из чего следует, что 1 километр равен примерно 0,539 956 80 морских миль. ^[5] Это современное соотношение отличается от рассчитанного на основе первоначальных определений менее чем на одну десятитысячную часть.

Другие простые случаи

Исторические методы

Античность

На протяжении большей части истории математики даже величайшие мыслители считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед » первым нашел способ определения площади под кривой с помощью своего « метода истощения , мало кто верил, что кривые вообще могут иметь определенную длину, как и прямые линии. Первые основы в этой области были заложены, как это часто бывает в исчислении , путем аппроксимации . Люди начали вписывать в кривые многоугольники и вычислять длины сторон для более точного измерения длины. Используя больше сегментов и уменьшая длину каждого сегмента, они смогли получить все более и более точное приближение. В частности, вписав в круг многоугольник со многими сторонами, они смогли найти приблизительные значения π . ^[6]^[7]

17 век

В 17 веке метод истощения привел к исправлению геометрическими методами нескольких трансцендентных кривых : логарифмической спирали Евангелисты Торричелли в 1645 году (некоторые источники говорят, что Джон Уоллис в 1650-х годах), циклоиды Кристофера Рена в 1658 году и контактная сеть Готфрида Лейбница в 1691 году.

В 1659 году Уоллис приписал Уильяму Нилу открытие первого ректификации нетривиальной алгебраической кривой , полукубической параболы . ^[8] Сопровождающие рисунки приведены на странице 145. На странице 91 Уильям Нейл упоминается как Гулиэльмус Нелиус .

Интегральная форма

До полного формального развития исчисления основа современной интегральной формы длины дуги была независимо открыта Хендриком ван Эраэтом и Пьером де Ферма .

В 1659 г. ван Хёрэ опубликовал конструкцию, показывающую, что задачу определения длины дуги можно преобразовать в задачу определения площади под кривой (т. е. интеграла). В качестве примера своего метода он определил длину дуги полукубической параболы, для чего потребовалось найти площадь под параболой . ^[9] В 1660 году Ферма опубликовал более общую теорию, содержащую тот же результат, в своей геометрической диссертации о кривых линиях по сравнению с прямыми. ^[10]

Основываясь на своей предыдущей работе с касательными, Ферма использовал кривую

y=x^{\frac {3}{2}}\,

которой касательная в x = a имела наклон точке

{3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}

поэтому касательная линия будет иметь уравнение

y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).

Затем он увеличил a немного до a + ε , сделав отрезок AC относительно хорошим приближением длины кривой A до D. от Чтобы найти длину отрезка AC , он использовал теорему Пифагора :

{\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}

что при решении дает

AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.

Чтобы приблизительно определить длину, Ферма суммировал последовательность коротких отрезков.

Кривые бесконечной длины

Кривая Коха.

Как упоминалось выше, некоторые кривые являются неспрямляемыми. То есть не существует верхней границы длины полигональных аппроксимаций; длину можно сделать сколь угодно большой . Неформально говорят, что такие кривые имеют бесконечную длину. Существуют непрерывные кривые, на которых каждая дуга (кроме одноточечной дуги) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха . Другим примером кривой бесконечной длины является график функции, определяемой формулой f ( x ) = x sin(1/ x ) для любого открытого множества с 0 в качестве одного из его разделителей и f (0) = 0. Иногда функция Хаусдорфа размерность и мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.

Обобщение на (псевдо)римановы многообразия.

Позволять $M$ многообразие — (псевдо)риманово , $g$ (псевдо-) метрический тензор , $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ кривая в $M$ определяется $n$ параметрические уравнения

\gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],\quad t\in [0,1]

и

\gamma (0)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (1)=\mathbf {y}

Длина $\gamma$ , определяется как

\ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}||\gamma '(t)||_{\gamma (t)}dt

,

или, выбрав локальные координаты $x$ ,

\ell (\gamma )=\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {\pm \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(x(\gamma (t))){\frac {dx^{i}(\gamma (t))}{dt}}{\frac {dx^{j}(\gamma (t))}{dt}}}}dt

,

где

\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M

- касательный вектор $\gamma$ в $t.$ Знак квадратного корня выбирается один раз для данной кривой, чтобы гарантировать, что квадратный корень является действительным числом. Положительный знак выбирается для пространственноподобных кривых; в псевдоримановом многообразии отрицательный знак может быть выбран для времяподобных кривых. Таким образом, длина кривой является неотрицательным действительным числом. Обычно не рассматриваются кривые, частично пространственноподобные и частично времяподобные.

В теории относительности длина дуги времяподобных кривых ( мировых линий ) — это собственное время, прошедшее вдоль мировой линии, а длина дуги пространственноподобной кривой — это собственное расстояние вдоль этой кривой.

См. также

Ссылки

^ Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их приложения . Академическая пресса. п. 51 . ISBN 9780080955452 .
^ Несторидис, Василий; Пападопулос, Атанас (2017). «Длина дуги как глобальный конформный параметр аналитических кривых» . Журнал математического анализа и приложений . 445 (2). Эльзевир Б.В.: 1505–1515. дои : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN 0022-247X .
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill, Inc., стр. 137 . ISBN 978-0-07-054235-8 .
^ Сапли, Курт (2 июля 2009 г.). «Специальное издание 811» . nist.gov .
^ Справочник CRC по химии и физике , стр. Ф-254
^ Ричесон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C, разделенное на d, является константой?». Математический журнал колледжа . 46 (3): 162–171. дои : 10.4169/college.math.j.46.3.162 . ISSN 0746-8342 . S2CID 123757069 .
^ Кулидж, Дж. Л. (февраль 1953 г.). «Длины кривых». Американский математический ежемесячник . 60 (2): 89–93. дои : 10.2307/2308256 . JSTOR 2308256 .
^ Уоллис, Джон (1659). Трактат второй Прайор, О циклоиде и о телах, порожденных оттуда... . Оксфорд: Университетское издательство. стр. 91–96.
^ ван Хёрэт, Хендрик (1659). «Письмо о превращении кривых линий в прямые». Ренато Де-Карт Геометрия (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. стр. 517–520.
^ МПЭАС (псевдоним Ферма) (1660 г.). О сравнении кривых линий с прямыми Геометрическая диссертация . Тулуза: Арно Коломер.

Источники

Фаруки, Рида Т. (1999). «Кривые из движения, движение из кривых». Ин Лоран, П.-Ж.; Саблоньер, П.; Шумейкер, LL (ред.). Проектирование кривых и поверхностей: Сен-Мало, 1999 . Университет Вандербильта. Нажимать. стр. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4 .

Внешние ссылки

«Спрямляемая кривая» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
История кривизны
Вайсштейн, Эрик В. «Длина дуги» . Математический мир .
Длина дуги Эда Пегга-младшего , Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
Учебное пособие по математическому анализу – Длина дуги (выпрямление)
Указатель знаменитых кривых Архив истории математики MacTutor
Приближение длины дуги , Чад Пирсон, Джош Фриц и Анджела Шарп, Демонстрационный проект Wolfram .
Эксперимент с длиной кривой Иллюстрирует численное решение определения длины кривой.

[1] Альберг; Нильсон (1967). Теория сплайнов и их приложения . Академическая пресса. п. 51 . ISBN 9780080955452 .

[Nestoridis_Papadopoulos_2017_pp._1505–1515-2] Несторидис, Василий; Пападопулос, Атанас (2017). «Длина дуги как глобальный конформный параметр аналитических кривых» . Журнал математического анализа и приложений . 445 (2). Эльзевир Б.В.: 1505–1515. дои : 10.1016/j.jmaa.2016.02.031 . ISSN 0022-247X .

[3] Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill, Inc., стр. 137 . ISBN 978-0-07-054235-8 .

[4] Сапли, Курт (2 июля 2009 г.). «Специальное издание 811» . nist.gov .

[5] Справочник CRC по химии и физике , стр. Ф-254

[6] Ричесон, Дэвид (май 2015 г.). «Круговое рассуждение: кто первым доказал, что C, разделенное на d, является константой?». Математический журнал колледжа . 46 (3): 162–171. дои : 10.4169/college.math.j.46.3.162 . ISSN 0746-8342 . S2CID 123757069 .

[7] Кулидж, Дж. Л. (февраль 1953 г.). «Длины кривых». Американский математический ежемесячник . 60 (2): 89–93. дои : 10.2307/2308256 . JSTOR 2308256 .

[8] Уоллис, Джон (1659). Трактат второй Прайор, О циклоиде и о телах, порожденных оттуда... . Оксфорд: Университетское издательство. стр. 91–96.

[9] ван Хёрэт, Хендрик (1659). «Письмо о превращении кривых линий в прямые». Ренато Де-Карт Геометрия (2-е изд.). Амстердам: Луи и Даниэль Эльзевир. стр. 517–520.

[10] МПЭАС (псевдоним Ферма) (1660 г.). О сравнении кривых линий с прямыми Геометрическая диссертация . Тулуза: Арно Коломер.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]