Inner product of a surface in 3D, induced by the dot product
В дифференциальной геометрии первой фундаментальной формой является скалярное произведение в касательном пространстве поверхности индуцируется трехмерном евклидовом пространстве из , которое канонически скалярного произведения R в 3 . Он позволяет рассчитывать кривизну и метрические свойства поверхности, такие как длина и площадь, в соответствии с окружающим пространством . Первая фундаментальная форма обозначается римской цифрой I ,

Определение [ править ]
Пусть X ( u , v ) — параметрическая поверхность . Тогда скалярное произведение двух касательных векторов равно
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u },X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={} &Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaa2cf844e25bc1fb0c676e994f694a49277d8)
где
E ,
F и
G — коэффициенты
первой фундаментальной формы .
Первую фундаментальную форму можно представить в виде симметричной матрицы .

Дальнейшие обозначения [ править ]
Когда первая фундаментальная форма записана только с одним аргументом, она обозначает скалярное произведение этого вектора с самим собой.

Первую фундаментальную форму часто записывают в современных обозначениях метрического тензора . Тогда коэффициенты можно записать как g ij :

Компоненты этого тензора вычисляются как скалярное произведение касательных векторов X 1 и X 2 :

для
я , j знак равно 1, 2 . См. пример ниже.
Вычисление длин и площадей [ править ]
Первая фундаментальная форма полностью описывает метрические свойства поверхности. Таким образом, это позволяет рассчитывать длины кривых на поверхности и площади участков на поверхности. Линейный элемент ds может быть выражен через коэффициенты первой фундаментальной формы как

Классический элемент площади, заданный dA = | Икс ты × Икс v | du dv можно выразить через первую фундаментальную форму с помощью тождества Лагранжа ,

Пример: кривая на сфере [ править ]
Сферическая кривая на единичной сфере в R 3 может быть параметризован как
![{\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c102effdd0292b9763efd1e5e8d3f89a5902e75)
Дифференцирование
X ( u , v ) по
u и
v дает
![{\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt ]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa43d19ee401fa8db310ea495212ad0a8fc74f8d)
Коэффициенты первой фундаментальной формы можно найти, взяв скалярное произведение
частных производных .

так:

Длина кривой на сфере [ править ]
Экватор формулой единичной сферы представляет собой параметризованную кривую, заданную

с
t в диапазоне от 0 до 2
π . Элемент line можно использовать для расчета длины этой кривой.

Площадь региона на сфере [ править ]
Элемент площади можно использовать для расчета площади единичной сферы.
![{\displaystyle \int _{0}^{\in }\int _{0}^{2\in }{\sqrt {EG-F^{2}}}\du\,dv=\int _ {0 }^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_ {0 }^{\pi}=4\pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f009c1baa3c3aabc4671833fb1ff0a57c3b978)
Гауссова кривизна [ править ]
Гауссова кривизна поверхности определяется выражением

где
L ,
M и
N — коэффициенты
второй фундаментальной формы .
Теорема Эгрегиум Гаусса утверждает , что гауссова кривизна поверхности может быть выражена исключительно через первую фундаментальную форму и ее производные, так что K фактически является внутренним инвариантом поверхности. Явное выражение гауссовой кривизны через первую фундаментальную форму даёт формула Бриоши .
Внешние ссылки [ править ]