Средняя кривизна

В математике средняя кривизна $H$ поверхности ​ $S$ — это внешняя мера кривизны , которая исходит из дифференциальной геометрии и локально описывает кривизну вложенной поверхности в некотором окружающем пространстве, таком как евклидово пространство .

Эту концепцию использовала Софи Жермен в своей работе по теории упругости . Жан Батист Мари Мёнье использовал его в 1776 году в своих исследованиях минимальных поверхностей . Это важно при анализе минимальных поверхностей , которые имеют нулевую среднюю кривизну, и при анализе физических границ раздела между жидкостями (такими как мыльные пленки ), которые, например, имеют постоянную среднюю кривизну в статических потоках, с помощью уравнения Юнга – Лапласа. .

Определение

Позволять $p$ быть точкой на поверхности $S$ внутри трехмерного евклидова пространства R ³ . Каждый самолет через $p$ содержащий нормальную строку для $S$ порезы $S$ по (плоской) кривой. Фиксация выбора единичной нормали дает кривизну со знаком. Поскольку плоскость повернута на угол $\theta$ (всегда содержащая нормальную линию), кривизна может меняться. Максимальная ​ кривизна $\kappa _{1}$ и минимальная кривизна $\kappa _{2}$ известны как главные кривизны $S$.

Средняя кривизна при $p\in S$ тогда это среднее значение кривизны со знаком по всем углам $\theta$:

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta$.

Применяя теорему Эйлера , это равно среднему значению главных кривизн ( Спивак 1999 , Том 3, Глава 2):

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$

В более общем смысле ( Спивак 1999 , том 4, глава 7) для гиперповерхности $T$ средняя кривизна определяется как

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

Говоря более абстрактно, средняя кривизна — это след второй фундаментальной формы, разделенный на n (или, что то же самое, оператор формы ).

Кроме того, средняя кривизна $H$ может быть записано через ковариантную производную $\nabla$ как

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$

используя соотношения Гаусса-Вайнгартена, где $X(x)$ представляет собой гладко вложенную гиперповерхность, ${\vec {n}}$ единичный вектор нормали и $g_{ij}$ метрический тензор .

Поверхность является минимальной тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю. Кроме того, поверхность, которая развивается под средней кривизной поверхности $S$Говорят, что он подчиняется уравнению теплового типа, называемому уравнением потока средней кривизны .

Сфера — единственная вложенная поверхность постоянной положительной средней кривизны без границ и особенностей. Однако результат неверен, когда условие «внутренняя поверхность» ослаблено до «погруженная поверхность».

Поверхности в 3D пространстве

Для поверхности, определенной в трехмерном пространстве, средняя кривизна связана с единичной нормалью поверхности:

$2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}$

где выбранная нормаль влияет на знак кривизны. Знак кривизны зависит от выбора нормали: кривизна положительна, если поверхность изгибается «в сторону» нормали. Приведенная выше формула справедлива для поверхностей в трехмерном пространстве, определенных любым способом, при условии, что можно вычислить расхождение единичной нормали. Также можно рассчитать среднюю кривизну.

$2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))$

где I и II обозначают матрицы первой и второй квадратичной формы соответственно.

Если $S(x,y)$ представляет собой параметризацию поверхности и $u,v$ являются двумя линейно независимыми векторами в пространстве параметров, то среднюю кривизну можно записать через первую и вторую фундаментальные формы как

$${\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}$$

где $E=\mathrm {I} (u,u)$, $F=\mathrm {I} (u,v)$, $G=\mathrm {I} (v,v)$, $l=\mathrm {II} (u,u)$, $m=\mathrm {II} (u,v)$, $n=\mathrm {II} (v,v)$.

Для частного случая поверхности, определенной как функция двух координат, например $z=S(x,y)$, и используя нормаль, направленную вверх, выражение (удвоенное) средней кривизны будет

${\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

В частности, в момент, когда $\nabla S=0$, средняя кривизна равна половине следа матрицы Гессе $S$.

Если дополнительно известно, что поверхность осесимметрична с $z=S(r)$,

$2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},$

где ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ происходит от производной ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

форма

Средняя кривизна поверхности, заданная уравнением $F(x,y,z)=0$ можно рассчитать с помощью градиента $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ и матрица Гессе

$\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.$

Средняя кривизна определяется как:

$H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}$

Другая форма - это расхождение единичной нормали. Единичная норма определяется выражением ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ а средняя кривизна

$H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$

Средняя кривизна в механике жидкости

Альтернативное определение иногда используется в механике жидкости, чтобы избежать двух факторов:

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,$.

В результате давление согласно уравнению Юнга – Лапласа внутри равновесной сферической капли составляет поверхностного натяжения. время $H_{f}$; две кривизны равны обратной величине радиуса капли

$\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,$.

Минимальные поверхности

Рендеринг минимальной поверхности Косты.

Основная статья: Минимальная поверхность

Минимальная поверхность — это поверхность, имеющая нулевую среднюю кривизну во всех точках. Классические примеры включают катеноид , геликоид и поверхность Эннепера . Недавние открытия включают минимальную поверхность Косты и гироид .

Поверхности CMC

Основная статья: Поверхность постоянной средней кривизны

Расширением идеи минимальной поверхности являются поверхности постоянной средней кривизны. Поверхности единичной постоянной средней кривизны в гиперболическом пространстве называются поверхностями Брайанта .

См. также

• Гауссова кривизна
• Средняя кривизна потока
• Обратный поток средней кривизны
• Первый вариант формулы площади
• Метод растянутой сетки

Ссылки

• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (тома 3-4) (3-е изд.), Publish or Perish Press, ISBN  978-0-914098-72-0 , (Том 3), (Том 4) .
• П.Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN  978-1-4614-7866-9 .