Поверхность Эннепера

Часть поверхности Эннепера

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии поверхность Эннепера представляет собой самопересекающуюся поверхность, которую можно параметрически описать следующим образом:

$${\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$$

Он был введен Альфредом Эннепером в 1864 году в связи с теорией минимальной поверхности .

Параметризация Вейерштрасса -Эннепера очень проста: $f(z)=1,g(z)=z$, и по ней легко вычисляется действительная параметрическая форма. Поверхность сопряжена сама с собой.

Методы имплицитизации алгебраической геометрии можно использовать, чтобы выяснить, что точки на поверхности Эннепера, приведенные выше, удовлетворяют полиномиальному уравнению 9-й степени.

$${\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}$$

Двойственным образом касательная плоскость в точке с заданными параметрами равна $a+bx+cy+dz=0,\$ где

$${\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}$$

Его коэффициенты удовлетворяют неявному полиномиальному уравнению 6-й степени

$${\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}$$

Якобиан гауссова , кривизна и средняя кривизна равны

$${\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}$$

Полная кривизна ​ $-4\pi$. Оссерман доказал, что полная минимальная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с полной кривизной $-4\pi$ является либо катеноидом , либо поверхностью Эннепера.

Другое свойство состоит в том, что все бикубические минимальные поверхности Безье с точностью до аффинного преобразования являются частями поверхности.

Его можно обобщить на вращательные симметрии более высокого порядка, используя параметризацию Вейерштрасса – Эннепера. $f(z)=1,g(z)=z^{k}$ для целого числа k>1. Его также можно обобщить на более высокие измерения; Известно, что поверхности типа Эннепера существуют в $\mathbb {R} ^{n}$ для n до 7.

См. также для алгебраических поверхностей Эннепера более высокого порядка.

Внешние ссылки

• «Поверхность Эннепера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Научно-исследовательский институт математических наук - Обобщенные поверхности Эннепера (в архиве)
• Колледж Харви Мадда - Поверхность Эннепера (в архиве)