Поверхность Хеннеберга

В дифференциальной геометрии поверхность Хеннеберга — это неориентируемая минимальная поверхность. ^[1] имени Лебрехта Геннеберга .

Он имеет параметрическое уравнение

{\begin{aligned}x(u,v)&=2\cos(v)\sinh(u)-(2/3)\cos(3v)\sinh(3u)\\y(u,v)&=2\sin(v)\sinh(u)+(2/3)\sin(3v)\sinh(3u)\\z(u,v)&=2\cos(2v)\cosh(2u)\end{aligned}}

и может быть выражена как алгебраическая поверхность 15-го порядка. ^[2] Его можно рассматривать как погружение проколотой проективной плоскости . ^[3] Вплоть до 1981 года это была единственная известная неориентируемая минимальная поверхность. ^[4]

Поверхность содержит полукубическую параболу («парабола Нила») и может быть получена из решения соответствующей задачи Бьёрлинга . ^[5]^[6]

Ссылки

^ Л. Хеннеберг, О таких минимальных поверхностях, которые имеют заданную плоскую кривую на геодезической линии, Докторская диссертация, Eidgenössisches Polythechikum, Цюрих, 1875 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность Хеннеберга». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HennebergsMinimalSurface.html
^ Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт, Фридрих Совиньи, Минимальные поверхности, Том 1. Springer 2010
^ М. Элиза Г. Г. де Оливейра, Некоторые новые примеры неориентируемых минимальных поверхностей, Труды Американского математического общества, Vol. 98, № 4, декабрь 1986 г.
^ Л. Хеннеберг, О минимальной площади парали Нила по отношению к плоской геодезической линии, Quarterjschr Natuforsch, Ges 21 (1876), 66–70.
^ Кай-Винг Фунг, Минимальные поверхности как изотропные кривые в C3: Связанные минимальные поверхности и проблема Бьёрлинга. Диссертация MIT BA. 2004 г. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall-2004/projects/main1.pdf

Дальнейшее чтение

Э. Гюлер; Э. Киши; К. Конаксис, Неявные уравнения минимальной поверхности типа Хеннеберга в четырехмерном евклидовом пространстве. Математика 6(12), (2018) 279. дои : 10.3390/math6120279 .
Э. Гюлер; В. Замбак, Алгебраические поверхности Геннеберга в 3-мерном пространстве Минковского. Общий. Фак. наук. унив. Анк. Сэр. А1 Математика. Стат. 68(2), (2019) 1761–1773. два : 10.31801/cfsuasmas.444554 .

[1] Л. Хеннеберг, О таких минимальных поверхностях, которые имеют заданную плоскую кривую на геодезической линии, Докторская диссертация, Eidgenössisches Polythechikum, Цюрих, 1875 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность Хеннеберга». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HennebergsMinimalSurface.html

[3] Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт, Фридрих Совиньи, Минимальные поверхности, Том 1. Springer 2010

[4] М. Элиза Г. Г. де Оливейра, Некоторые новые примеры неориентируемых минимальных поверхностей, Труды Американского математического общества, Vol. 98, № 4, декабрь 1986 г.

[5] Л. Хеннеберг, О минимальной площади парали Нила по отношению к плоской геодезической линии, Quarterjschr Natuforsch, Ges 21 (1876), 66–70.

[6] Кай-Винг Фунг, Минимальные поверхности как изотропные кривые в C3: Связанные минимальные поверхности и проблема Бьёрлинга. Диссертация MIT BA. 2004 г. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall-2004/projects/main1.pdf

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]