Минимальная поверхность Бура

Поверхность Бура.

Поверхность Бура, исключив точки с r < 0,5, чтобы более четко показать самопересечения.

В математике минимальная поверхность Бура — это двумерная минимальная поверхность , вложенная с помощью самопересечений в трехмерное евклидово пространство . Он назван в честь Эдмона Бура , чья работа над минимальными поверхностями принесла ему математическую премию Французской академии наук в 1861 году.

Описание

Поверхность Бура пересекает себя тремя компланарными лучами, встречающимися под равными углами в начале пространства. Лучи делят поверхность на шесть листов, топологически эквивалентных полуплоскостям; три листа лежат в полупространстве выше плоскости лучей, а три — ниже. Четыре листа касаются друг друга вдоль каждого луча.

Уравнение

Точки на поверхности могут быть параметризованы в полярных координатах парой чисел ( r , θ ) . Каждая такая пара соответствует точке в трех измерениях согласно параметрическим уравнениям $${\begin{aligned}x(r,\theta )&=r\cos(\theta )-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\cos(2\theta )\\y(r,\theta )&=-r\sin(\theta )(r\cos(\theta )+1)\\z(r,\theta )&={\tfrac {4}{3}}r^{3/2}\cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right).\end{aligned}}$$ Поверхность также можно выразить как решение полиномиального уравнения 16-го порядка в декартовых координатах трехмерного пространства.

Характеристики

Параметризация Вейерштрасса -Эннепера , метод превращения определенных пар функций над комплексными числами в минимальные поверхности, создает эту поверхность для двух функций. $f(z)=1,g(z)={\sqrt {z}}$. Бур доказал, что поверхности этого семейства развертываются на поверхность вращения .