Поверхность революции

Тор как квадрат вращался вокруг оси по диагонали квадрата.

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве созданная вращением кривой , ( образующей ) на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей образующую, за исключением ее конечных точек). ^[1] Объем, ограниченный поверхностью, созданной этим вращением, является телом вращения .

Примерами поверхностей вращения, образуемых прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси или нет. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, порождает сферу, в которой он тогда является большим кругом , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он порождает тор , который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).

Свойства [ править ]

Сечения поверхности вращения, выполненные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно рассматривать как образующую в плоскости, определяемой им и осью. ^[2]

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, представляют собой окружности.

Некоторые частные случаи гиперболоидов (одно- или двухлистных) и эллиптических параболоидов представляют собой поверхности вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все сечения которых , перпендикулярные оси, являются круглыми.

Формула площади [ править ]

Если кривая описывается параметрическими функциями $x (t)$ , $y (t)$ , где $t$ находится в пределах некоторого интервала $[a, b]$ , а ось вращения — это $ось y$ , то площадь поверхности $A y$ задается интегралом

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,

при условии, что

x (t)

никогда не бывает отрицательным между конечными точками

a

и

b

. Эта формула является эквивалентом теоремы Паппа о центроиде . ^[3] Количество

{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}

происходит из теоремы Пифагора и представляет собой небольшой сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина

2π x (t)

— это путь (центр тяжести) этого небольшого отрезка, как того требует теорема Паппа.

Аналогично, когда осью вращения является $ось x$ и при условии, что $y (t)$ никогда не бывает отрицательным, площадь определяется выражением ^[4]

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.

Если непрерывная кривая описывается функцией $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ , то интеграл принимает вид

A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx

для вращения вокруг

оси x

, и

A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx

для вращения вокруг оси y (при условии

a \geq 0

). Они берутся из приведенной выше формулы. ^[5]

Это также может быть получено путем многовариантной интеграции. Если плоская кривая задана формулой $\langle x(t),y(t)\rangle$ тогда его соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, определяемые выражением $\mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle$ с $0\leq \theta \leq 2\pi$ . Тогда площадь поверхности определяется поверхностным интегралом

A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.

Вычисление результатов частных производных

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle

и вычисляем перекрестного произведения доходность

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle

где тригонометрическое тождество

\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1

был использован. Используя это векторное произведение, мы получаем

{\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}

где снова использовалось то же тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси Y, аналогичен.

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом генерируется кривой $y (t) = sin(t)$ , $x (t) = cos(t)$ , когда $t$ находится в пределах $[0,π]$ . Следовательно, его площадь

{\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}

Для случая сферической кривой радиуса $y$ r $(x) = \sqrt r 2 - х 2$ повернут вокруг $x$ оси

{\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}

Минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения кривой между двумя заданными точками, которая минимизирует площадь поверхности . ^[6] Основная проблема вариационного исчисления — найти кривую между двумя точками, которая образует минимальную поверхность вращения. ^[6]

Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид . ^[7]

Координатные выражения [ править ]

Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описываемой формулой $y=f(x)$ вокруг оси x проще всего описать формулой $y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}$ . Это дает параметризацию в терминах $x$ и $\theta$ как $(x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))$ . Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси Y, то кривая описывается выражением $y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})$ , что дает выражение $(x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))$ по параметрам $x$ и $\theta$ .

Если x и y определены через параметр $t$ , то мы получим параметризацию в терминах $t$ и $\theta$ . Если $x$ и $y$ являются функциями $t$ , то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается выражением $(x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))$ , а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается выражением $(x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))$ .

Геодезика [ править ]

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические подчиняются соотношению Клеро . ^[8]

Тороиды [ править ]

Поверхность вращения с отверстием, ось вращения которого не пересекает поверхность, называется тороидом. ^[9]Например, если прямоугольник повернуть вокруг оси, параллельной одному из его краев, получится полое кольцо квадратного сечения. Если вращающаяся фигура представляет собой круг , то объект называется тором .

См. также [ править ]

Поверхность канала , обобщение поверхности вращения.
Рог Габриэля
Обобщенный геликоид
Лимон (геометрия) , поверхность вращения дуги окружности
Поверхность Лиувилля , еще одно обобщение поверхности вращения.
Сфероид
Поверхностный интеграл
Поверхность перевода (дифференциальная геометрия)

Ссылки [ править ]

^ Миддлмисс; Метки; Умный. «15-4. Поверхности революции». Аналитическая геометрия (3-е изд.). п. 378. LCCN 68015472 .
^ Уилсон, Вашингтон; Трейси, Дж.И. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath and Co., стр. 227
^ Томас, Джордж Б. «6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппа». Исчисление (3-е изд.). стр. 206–209, 217–219. LCCN 69016407 .
^ Сингх, Р.Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 .
^ Своковски, Эрл В. (1983). Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное изд.). Приндл, Вебер и Шмидт. п. 617 . ISBN 0-87150-341-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность революции» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Катеноид» . Математический мир .
^ Прессли, Эндрю. «Глава 9 – Геодезика». Элементарная дифференциальная геометрия , 2-е изд., Springer, Лондон, 2012, стр. 227–230.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тороид» . Математический мир .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность революции» . Математический мир .
«Поверхность революции» . Энциклопедия замечательных математических форм (на французском языке).

[1] Миддлмисс; Метки; Умный. «15-4. Поверхности революции». Аналитическая геометрия (3-е изд.). п. 378. LCCN 68015472 .

[2] Уилсон, Вашингтон; Трейси, Дж.И. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренная редакция), DC Heath and Co., стр. 227

[3] Томас, Джордж Б. «6.7: Площадь поверхности вращения; 6.11: Теоремы Паппа». Исчисление (3-е изд.). стр. 206–209, 217–219. LCCN 69016407 .

[4] Сингх, Р.Р. (1993). Инженерная математика (6-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. п. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 .

[5] Своковски, Эрл В. (1983). Исчисление с аналитической геометрией (Альтернативное изд.). Приндл, Вебер и Шмидт. п. 617 . ISBN 0-87150-341-7 .

[Mathworld:_Minimal_Surface_of_Revolution-6] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Минимальная поверхность революции» . Математический мир .

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Катеноид» . Математический мир .

[8] Прессли, Эндрю. «Глава 9 – Геодезика». Элементарная дифференциальная геометрия , 2-е изд., Springer, Лондон, 2012, стр. 227–230.

[9] Вайсштейн, Эрик В. «Тороид» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]