Рог Габриэля

3D-иллюстрация рога Гавриила

Усеченное острое гиперболическое тело Торричелли с добавленным цилиндром (красным), использованным в его доказательстве.

( Рог Габриэля также называемый трубой Торричелли ) — это тип геометрической фигуры, которая имеет бесконечную площадь поверхности , но конечный объем . Название отсылает к христианской традиции, согласно которой архангел Гавриил трубит в рог, чтобы объявить Судный день . Свойства этой фигуры впервые изучил итальянский физик и математик Евангелиста Торричелли в 17 веке.

Эти красочные неофициальные имена и намеки на религию появились позже. Собственное название Торричелли можно найти в латинском названии его статьи De Solido Hyperbolico acuto , написанной в 1643 году, — усеченного острого гиперболического тела , разрезанного плоскостью. Том 1, часть 1 его «Геометрической оперы», опубликованной в следующем году, включала эту статью и второе, более ортодоксальное (на то время) архимедово доказательство его теоремы об объеме усеченного острого гиперболического тела. Это имя использовалось в математических словарях 18 века, в том числе «Hyperbolicum Acutum» в словаре Харриса 1704 года и в словаре Стоуна 1726 года, а также во французском переводе Solide Hyperbolique Aigu в словаре Даламбера 1751 года.

Хотя его современники приписывали ему первенство, Торричелли не был первым, кто описал бесконечно длинную форму с конечным объемом или площадью. Работы Николь Орем в XIV веке были либо забыты, либо были им неизвестны. Орем постулировал такие вещи, как бесконечно длинную фигуру, построенную путем разделения двух квадратов конечной общей площади 2 с помощью геометрической прогрессии и перестановки частей в фигуру, бесконечно длинную в одном измерении, состоящую из ряда прямоугольников.

Математическое определение

График $y=1/x$

формируется путем взятия графика Рог Габриэля $$y={\frac {1}{x}},$$ с доменом $x\geq 1$ и вращая его в трех измерениях вокруг оси x . Открытие было сделано с использованием принципа Кавальери до изобретения исчисления , но сегодня исчисление можно использовать для расчета объема и площади поверхности рога между x = 1 и x = a , где a > 1 . Используя интегрирование (подробнее см. «Тело вращения» и «Поверхность вращения» ), можно найти объем V и площадь поверхности A : $$V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),$$ $$A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.$$

Значение a может быть сколь угодно большим, но из уравнения видно, что объем части рупора между x = 1 и x = a никогда не превысит π ; он постепенно приближается к π однако по мере увеличения . Математически объем приближается к π, когда a приближается к бесконечности. Используя предельные обозначения исчисления, $$\lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .$$

Приведенная выше формула площади поверхности дает нижнюю границу площади как 2 π умноженный на натуральный логарифм a , . Не существует верхней границы для натурального логарифма a , поскольку a приближается к бесконечности. В данном случае это означает, что рупор имеет бесконечную площадь поверхности. То есть, $$\lim _{a\to \infty }A=\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .$$

In De твердое гиперболическое острое

Доказательство Торричелли продемонстрировало, что объем усеченного острого гиперболического тела и добавленного цилиндра такой же, как объем красного цилиндра, посредством применения неделимых Кавальери, сопоставляя цилиндры из первого с кругами во втором с диапазоном ${\textstyle 1/b\geq y\geq 0}$, что является одновременно высотой последнего цилиндра и радиусом основания первого.

В первоначальном неисчисленном доказательстве Торричелли использовался объект, немного отличающийся от приведенного выше, который был построен путем усечения острого гиперболического тела плоскостью, перпендикулярной оси x , и продления его с противоположной стороны этой плоскости с помощью цилиндра с тем же основанием. . В то время как метод исчисления предполагает установку плоскости усечения на уровне $x=1$ и интегрируя по оси x , Торричелли приступил к вычислению объема этого сложного твердого тела (с добавленным цилиндром), суммируя площади поверхности ряда концентрических правых цилиндров внутри него по оси y и показывая, что это эквивалентно суммированию площадей внутри другого твердого тела, (конечный) объем которого был известен.

В современной терминологии это тело было создано путем построения поверхности вращения функции (при строго положительном b )

$\quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{c}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}$

а теорема Торричелли заключалась в том, что его объем равен объему правого цилиндра высотой $1/b$ и радиус ${\sqrt {2}}$:

Теорема. Острое гиперболическое тело бесконечной длины, рассеченное плоскостью [перпендикулярно] оси, вместе с цилиндром того же основания равно тому правому цилиндру, основанием которого является latus versum (т. е. ось) гипербола, высота которой равна радиусу основания этого острого тела.

— Де твердый гиперболический острый . Евангелиста Торричелли. 1643. Перевод Г. Лориа и Г. Вассуры 1919.

Торричелли показал, что объем твердого тела можно определить, исходя из площадей поверхности этой серии концентрических правых цилиндров, радиусы которых равны $1/b\geq r\geq 0$ и высоты $h=1/r$. Подстановка в формулу площадей поверхностей (только сторон) этих цилиндров дает постоянную площадь поверхности для всех цилиндров $2\pi r\times h=2\pi r\times 1/r=2\pi$. Это также площадь круга радиуса ${\sqrt {2}},$ и вложенные поверхности цилиндров (заполняющие объем твердого тела), таким образом, эквивалентны сложенным областям кругов радиуса ${\sqrt {2}}$ сложены от 0 до $1/b$, а значит, и объём упомянутого правого цилиндра, который, как известно, равен $V=\pi r^{2}\times h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b$:

Следовательно, все цилиндрические поверхности вместе, это очень острое твердое тело. $ebd$, вместе с основанием цилиндра $fedc$, будет равна всем окружностям вместе взятым, то есть цилиндру $acgh$. Что это было и т.д.

(Поэтому все поверхности цилиндров, взятые вместе, то есть острое твердое тело $EBD$ сам по себе такой же, как цилиндр основания $FEDC$, которая будет равна всем его окружностям вместе взятым, то есть цилиндру $ACGH$.)

— Де твердый гиперболический острый . Евангелиста Торричелли. 1643. Перевод Жаклин А. Стедалл , 2013.

(Объем добавленного баллона, конечно, $V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b$ и, таким образом, объем только усеченного острого гиперболического тела равен $V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b$. Если $b=1$, как и в современном исчислении, $V_{s}=\pi$.)

В Геометрической опере это одно из двух доказательств объема (усеченного) острого гиперболического тела. Использование неделимых Кавальери в этом доказательстве вызвало в то время споры, а результат шокировал (позже Торричелли записал, что Жиль де Роберваль пытался опровергнуть это); поэтому, когда « Геометрическая опера» была опубликована через год после De Solido Hyperbolico acuto , Торричелли также представил второе доказательство, основанное на ортодоксальных архимедовых принципах, показывающее, что правый цилиндр (высота $1/b$ радиус ${\sqrt {2}}$) было как верхней, так и нижней границей объема. По иронии судьбы, это было отголоском собственной осторожности Архимеда, который предоставил два доказательства, механическое и геометрическое, в своей «Квадратуре параболы Досифею».

Очевидный парадокс

Когда были открыты свойства рога Габриэля, тот факт, что вращение бесконечно большого участка плоскости xy вокруг оси x порождает объект конечного объема, считался парадоксом . Хотя сечение, лежащее в плоскости xy , имеет бесконечную площадь, любое другое сечение, параллельное ему, имеет конечную площадь. Таким образом, объем, рассчитанный по «взвешенной сумме» секций, конечен.

Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать твердое тело как стопку дисков с уменьшающимися радиусами . Сумма радиусов дает гармонический ряд , стремящийся к бесконечности. Однако правильный расчет – это сумма их квадратов. Каждый диск имеет радиус r = 1/ x и площадь π r ² или π/ x ² . Ряд x Σ 1/ Σ расходится , а ряд 1/ x ² сходится . В общем случае для любого действительного ε > 0 ряд Σ 1/ x ^{1+ е} сходится. ( см. Частные значения дзета-функции Римана более подробно об этом результате )

Очевидный парадокс стал частью спора о природе бесконечности, в котором участвовали многие ключевые мыслители того времени, в том числе Томас Гоббс , Джон Уоллис и Галилео Галилей .

Двумерный аналог рога Гавриила имеет площадь 2, но бесконечный периметр.

Аналогичное явление наблюдается и в отношении длин и площадей на плоскости. Площадь между кривыми 1/ x ² и −1/ х ² от 1 до бесконечности конечно, но длины двух кривых явно бесконечны.

своих лекций В 16-й лекции 1666 года Исаак Барроу утверждал, что теорема Торричелли ограничила книги общее изречение Аристотеля (из Де Каэло 1, часть 6) о том, что «нет пропорции между конечным и бесконечным». Сам Аристотель, строго говоря, доказывал невозможность физического существования бесконечного тела, а не доказывал его невозможность как геометрическую абстракцию. Барроу принял современную точку зрения 17-го века о том, что изречения Аристотеля и другие геометрические аксиомы были (как он сказал в лекции 7) из «некой высшей и универсальной науки», лежащей в основе как математики, так и физики. Таким образом, демонстрация Торричелли объекта, имеющего отношение между конечным (объемом) и бесконечным (площадью), противоречила этому изречению, по крайней мере частично. Объяснение Барроу заключалось в том, что изречение Аристотеля все еще остается в силе, но только в более ограниченной форме при сравнении вещей одного и того же типа: длины с длиной, площади с площадью, объема с объемом и так далее. Это не справедливо при сравнении вещей двух разных родов (например, площади и объема), и, таким образом, бесконечная площадь может быть связана с конечным объемом.

Другие использовали теорему Торричелли для обоснования своих собственных философских утверждений, не связанных с математикой с современной точки зрения. Игнас-Гастон Парди в 1671 году использовал острое гиперболическое тело, чтобы доказать, что конечные люди могут постичь бесконечность, и предложил его в качестве доказательства существования Бога и нематериальных душ. Поскольку конечная материя не может постичь бесконечность, утверждал Парди, тот факт, что люди могут постичь это доказательство, показывает, что люди должны быть чем-то большим, чем материя, и иметь нематериальную душу. Напротив, Антуан Арно утверждал, что, поскольку люди воспринимают здесь парадокс, человеческая мысль была ограничена в том, что она могла постичь, и, следовательно, не справлялась с задачей опровержения божественных, религиозных истин.

Спор Гоббса и Уоллиса на самом деле находился в сфере математики: Уоллис с энтузиазмом воспринял новые концепции бесконечности и неделимых, приступил к дальнейшим выводам, основанным на работе Торричелли, и расширил ее, включив в нее арифметику, а не геометрические аргументы Торричелли; и Гоббс, утверждающий, что, поскольку математика основана на восприятии конечных вещей в реальном мире, «бесконечное» в математике может означать только «неопределенное». Это привело к тому, что каждый из них написал резко сформулированные письма в Королевское общество и в «Философские труды» , где Гоббс в какой-то момент прибегнул к обзывательству Уоллис «сумасшедшей». В 1672 году Гоббс попытался переформулировать теорему Торричелли как о конечном твердом теле, простирающемся до бесконечности , пытаясь придерживаться своего утверждения о том, что «естественный свет» (т.е. здравый смысл) говорит нам, что бесконечно длинная вещь должна иметь бесконечную длину. объем. Это согласовывалось с другими утверждениями Гоббса о том, что использование идеи линии нулевой ширины в геометрии было ошибочным и что идея Кавальери о неделимых необоснованна. Уоллис утверждал, что существуют геометрические формы с конечной площадью/объемом, но без центра тяжести, основываясь на Торричелли, заявляя, что понимание этого требует большего владения геометрией и логикой, «чем М. Хобс [ sic ] является мастером». Он также реструктурировал аргументы в арифметических терминах как суммы арифметических прогрессий , последовательности бесконечно малых арифметических чисел , а не последовательности геометрических неделимых.

Орем уже продемонстрировал, что бесконечно длинная форма может иметь конечную площадь, причем, поскольку одно измерение стремится к бесконечно большому, другое измерение стремится к бесконечно малому. По словам самого Барроу, «бесконечное уменьшение одного измерения компенсирует бесконечное увеличение другого». в случае острого гиперболического тела уравнением аполлоновой гиперболы ${\textstyle xy=1}$.

Парадокс художника

Поскольку рог имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности, существует очевидный парадокс: рог можно заполнить конечным количеством краски, но этой краски будет недостаточно для покрытия его поверхности. Однако этот парадокс снова является лишь кажущимся парадоксом, вызванным неполным определением понятия «краска» или использованием противоречивых определений краски для действий по заливке и покраске.

Можно было бы постулировать «математическую» краску, которая бесконечно делима (или бесконечно разбавляема, или просто имеет нулевую ширину, как геометрические линии нулевой ширины, с которыми не согласен Гоббс) и способную двигаться с бесконечной скоростью, или «физическую» краску. со свойствами краски в реальном мире. В любом случае очевидный парадокс исчезает:

В случае с «математической» краской из этого не следует, во-первых, что бесконечная площадь поверхности требует бесконечного объема краски, поскольку произведение бесконечной площади поверхности на краску нулевой толщины является неопределенным .

При использовании физической краски для окраски внешней части твердого тела потребуется бесконечное количество краски, поскольку физическая краска имеет ненулевую толщину. Теорема Торричелли не говорит о слое конечной ширины снаружи твердого тела, который на самом деле имел бы бесконечный объем. Таким образом, нет противоречия между бесконечным объемом краски и бесконечной площадью поверхности, которую нужно покрыть. Также невозможно покрасить внутреннюю часть твердого тела, конечный объем теоремы Торричелли, физической краской, поэтому противоречия не существует. Это связано с тем, что физическая краска может заполнить только приблизительный объем твердого тела. Молекулы не полностью застилают трехмерное пространство и оставляют зазоры, и наступает момент, когда «горло» твердого тела становится слишком узким, чтобы молекулы краски могли стекать вниз.

Физическая краска распространяется с ограниченной скоростью, и для того, чтобы стечь вниз, потребуется бесконечное количество времени. Это относится и к «математической» краске нулевой толщины, если дополнительно не постулировать, что она течет с бесконечной скоростью.

Другие различные постулаты о «математической» краске, такие как краска с бесконечной скоростью, которая становится тоньше с достаточно высокой скоростью, также устраняют парадокс. Для объема $\pi$ краски, так как площадь покрываемой поверхности A стремится к бесконечности, толщина краски $\pi /A$ стремится к нулю. Как и в случае с самим твердым телом, бесконечное увеличение площади окрашиваемой поверхности в одном измерении компенсируется бесконечным уменьшением в другом измерении — толщине краски.

Конверсы

Рене-Франсуа де Слюз однажды иронично заметил, что это твердое тело вращения (половины) циссоиды образует легкий кубок, который не сможет опорожнить даже самый заядлый пьющий, потому что оно само по себе имеет конечный объем, но заключает в себе бесконечный объем. Однако не утверждается, что он имеет конечную площадь поверхности.

Обратной стороной острого гиперболического тела Торричелли является поверхность вращения, имеющая конечную площадь поверхности, но бесконечный объем.

В ответ на теорему Торричелли, узнав о ней от Марина Мерсенна , Христиан Гюйгенс и Рене-Франсуа де Слюз написали друг другу письма о распространении теоремы на другие бесконечно длинные тела вращения; которые были ошибочно идентифицированы как обнаружение такого обратного.

Ян А. ван Маанен, профессор математики в Утрехтском университете он неверно заявил , сообщил в 1990-х годах, что однажды на конференции в Кристиансанде , что де Слюзе писал Гюйгенсу в 1658 году, что нашел такую ​​форму:

Я посвятил себя работе мерного сосуда небольшого веса, потому что в это время никто не пил.

(Я привожу размеры стакана (или вазы), который имеет небольшой вес, но который не сможет опорожнить даже самый заядлый пьющий.)

- де Слюзе в письме Гюйгенсу, перевод Яна А. ван Маанена

услышать в ответ ( Тони Гардинер и Ман-Кеунг Сиу из Университета Гонконга ), что любая поверхность вращения с конечной площадью поверхности неизбежно будет иметь конечный объем.

Профессор ван Маанен понял, что это была неправильная интерпретация письма де Слюза, и что де Слюзе на самом деле сообщал, что твердая форма «кубка», образованная вращением циссоиды Диокла и ее асимптоты вокруг оси Y , имела конечный объем ( и, следовательно, «малый вес») и заключал в себе полость бесконечного объема.

Гюйгенс первым показал, что площадь повернутой двумерной формы (между циссоидой и ее асимптотой) конечна, рассчитав ее площадь в 3 раза больше площади образующего круга циссоиды, а де Слюз применил теорему Паппуса о центроиде, чтобы показать что тело вращения, таким образом, имеет конечный объем, являясь продуктом этой конечной площади и конечной орбиты вращения. область Вращаемая конечна; де Слюз на самом деле ничего не сказал о площади поверхности полученного повернутого объема.

Такое обратное не может произойти (в предположении евклидовой геометрии ) при вращении непрерывной функции на замкнутом множестве.

Теорема

Пусть f : [1, ∞) → [0, ∞) — непрерывно дифференцируемая функция. Напишите S для тела вращения графика y = f ( x ) вокруг оси x . Если площадь поверхности S конечна, то конечен и объем.

Доказательство

Поскольку площадь боковой поверхности A конечна, верхний предел : $${\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}$$ Следовательно, существует t ₀ такое, что верхняя грань sup{ f ( x ) | x ≥ t ₀ } конечно. Следовательно, $$M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}$$ должна быть конечной, поскольку f — непрерывная функция , из чего следует, что f ограничена на интервале [1, ∞) . Наконец, объем: $${\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}$$ Следовательно: если площадь A конечна, то и объем V также должен быть конечным.

См. также

• Снежинка Коха – Фрактальная кривая
• Рог Пикара - образование в форме конуса, которое представляет «форму» Вселенной согласно данным зонда микроволновой анизотропии Уилкинсона. Страницы, отображающие описания в Викиданных в качестве запасного варианта.
• Псевдосфера – геометрическая поверхность
• Форма Вселенной - Локальная и глобальная геометрия Вселенной.
• Парадоксы Зенона - Комплекс философских проблем

Ссылки

Справочная библиография

• Брессу, Дэвид М. (2021). Переупорядочение исчисления: история больших идей . Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691218786 .
• Чанг, Марк (2012). Парадоксы в научных выводах . ЦРК Пресс. ISBN  9781466509863 .
• де Пиллис, Джон (2002). 777 Начало математического разговора . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780883855409 .
• Флерон, Джулиан Ф. (1999). «Свадебный торт Габриэля». Математический журнал колледжа . 30 (1): 35–38. дои : 10.2307/2687201 . JSTOR   2687201 .
• Хэвил, Джулиан (2007). В растерянности!: математическое доказательство неправдоподобных идей . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-12056-0 .
• Джонс, Мэтью Л. (2008). Хорошая жизнь в научной революции: Декарт, Паскаль, Лейбниц и культивирование добродетели . Издательство Чикагского университета. ISBN  9780226409566 .
• Климчук Сергей; Стейплс, Сьюзен (2013). Парадоксы и софизмы в исчислении . Американское математическое соц. ISBN  9781614441106 .
• Кроль, Збигнев (2018). «Основные интуиции относительно понятия бесконечности в математике с исторической и теологической точки зрения». В Шатковском, Мирослав (ред.). Бог, Время, Бесконечность . Философский анализ. Том. 75. Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN  9783110592030 .
• Манкосу, Паоло (1999). «Парадоксы бесконечности». Философия математики и математическая практика в семнадцатом веке . Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780195132441 .
• Нахин, Пол Дж. (2021). Когда меньше всего лучше: как математики открыли множество умных способов сделать вещи как можно меньшими (или большими) . Принстонская научная библиотека. Том. 118. Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691218762 .
• Пиковер, Клиффорд (2008). От Архимеда до Хокинга: законы науки и великие умы, стоящие за ними . ОУП США. ISBN  9780195336115 .
• Струйк, диджей (1969). Справочник по математике, 1200–1800 гг . Справочники по истории наук. Том. 11. Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674823556 .
• ван Маанен, Ян А. (1995). «Аллювиальные отложения, конические сечения и неправильные очки, или история математики, применяемая в классе». В Светце, Фрэнк (ред.). Учитесь у Мастеров! . Справочные материалы для класса. Том. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780883857038 . ISSN   1557-5918 .
• Уоллис, Джон (2013). "Введение". В Стедалле, Жаклин А. (ред.). Арифметика бесконечно малых . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer Science & Business Media. ISBN  9781475743128 .

Дальнейшее чтение

• Ройер, Мелвин (2012). «Другие владения Габриэля». ПРИМУС: Проблемы, ресурсы и проблемы бакалавриата по математике . 22 (4): 338–351. дои : 10.1080/10511970.2010.517601 . S2CID   119721808 .
• Флерон, Джулиан Ф. «Свадебный торт Габриэля» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2016 г.
• Линч, Марк. «Парадоксальное ведро с красками» .
• С любовью, Уильям П. (январь 1989 г.). «Супертела: твердые тела, имеющие конечный объем и бесконечную поверхность». Учитель математики . 82 (1): 60–65. дои : 10.5951/MT.82.1.0060 . JSTOR   27966098 .

Внешние ссылки

• Труба Торричелли в PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Рог Гавриила» . Математический мир .
• «Рог Гавриила» Джона Снайдера, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.
• Рог Габриэля: понимание твердого тела с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности Джин С. Джозеф.