Линейность дифференциации

В исчислении производная ; любой линейной комбинации равна функций такой же линейной комбинации производных функций это свойство известно как линейность дифференцирования , правило линейности , или правило суперпозиции для дифференцирования. Это фундаментальное свойство производной, которое объединяет в одном правиле два более простых правила дифференцирования: правило сумм (производная суммы двух функций является суммой производных) и правило постоянного фактора (производная постоянной кратное функции есть то же самое постоянное кратное производной). Таким образом, можно сказать, что дифференцирование линейно или что дифференциальный оператор является линейным оператором.

Заявление и вывод

Пусть f и g — функции с константами α и β . Теперь рассмотрим

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).$

По правилу сумм при дифференцировании это

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),$

и по правилу постоянного фактора при дифференцировании это сводится к

$\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).$

Поэтому,

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).$

Без скобок это часто записывается так:

$(\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.$

Подробные доказательства/выводы из определения

Мы можем доказать весь принцип линейности сразу или мы можем доказать отдельные шаги (постоянный множитель и сложение) по отдельности. Здесь будут показаны оба.

Непосредственное доказательство линейности также доказывает правило постоянного фактора, правило сумм и правило разности как частные случаи. Правило сумм получается путем установки обоих постоянных коэффициентов равными $1$. Правило разности получается путем установки первого постоянного коэффициента равным $1$ и второй постоянный коэффициент для $-1$. Правило постоянного коэффициента получается путем установки либо второго постоянного коэффициента, либо второй функции равным $0$. (С технической точки зрения необходимо также учитывать область определения второй функции — один из способов избежать проблем — установить вторую функцию равной первой функции, а второй постоянный коэффициент — равным $0$. Можно также определить и второй постоянный коэффициент, и вторую функцию равными 0, где область определения второй функции, помимо других возможностей, является надмножеством первой функции.)

Напротив, если мы сначала докажем правило постоянного фактора и правило сумм, мы сможем доказать линейность и правило разности. Доказательство линейности осуществляется путем определения первой и второй функций как двух других функций, умноженных на постоянные коэффициенты. Затем, как показано в выводе из предыдущего раздела, мы можем сначала использовать закон сумм при дифференцировании, а затем использовать правило постоянного фактора, что позволит прийти к нашему выводу о линейности. Чтобы доказать правило разности, вторую функцию можно переопределить как другую функцию, умноженную на постоянный коэффициент при $-1$. В упрощенном виде это дало бы нам правило различия для дифференциации.

В доказательствах/выводах ниже, коэффициенты $a,b$ используются; им соответствуют коэффициенты $\alpha ,\beta$ выше.

Линейность (напрямую)

Позволять $a,b\in \mathbb {R}$. Позволять $f,g$ быть функциями. Позволять $j$ быть функцией, где $j$ определяется только там, где $f$ и $g$ оба определены. (Другими словами, область $j$ является пересечением областей $f$ и $g$.) Позволять $x$ находиться в сфере $j$. Позволять $j(x)=af(x)+bg(x)$.

Мы хотим доказать это $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)$.

По определению мы видим, что

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)+bg(x+h)-af(x)-bg(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)+bg(x+h)-bg(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(af(x+h)-af(x))+(bg(x+h)-bg(x))}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}+{\frac {bg(x+h)-bg(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {a(f(x+h)-f(x))}{h}}+{\frac {b(g(x+h)-g(x))}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$$

Чтобы использовать закон пределов для суммы пределов, нам нужно знать, что ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба существуют индивидуально. Для этих меньших пределов нам нужно знать, что ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба индивидуально существуют, чтобы использовать закон коэффициентов для пределов. По определению, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$. Итак, если мы знаем, что $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$ оба существуют, мы будем знать это ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба существуют индивидуально. Это позволяет нам использовать закон коэффициентов для пределов, чтобы записать

$$\lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

и

$$\lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.$$

При этом мы можем вернуться к применению закона пределов для суммы пределов, поскольку мы знаем, что ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба существуют индивидуально. Отсюда мы можем напрямую вернуться к производной, над которой работали.

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&\;\;\vdots \\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}$$

Наконец, мы показали то, что утверждали вначале: $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)$.

Сумма

Позволять $f,g$ быть функциями. Позволять $j$ быть функцией, где $j$ определяется только там, где $f$ и $g$ оба определены.(Другими словами, область $j$ является пересечением областей $f$ и $g$.) Позволять $x$ находиться в сфере $j$. Позволять $j(x)=f(x)+g(x)$.

Мы хотим доказать это $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

По определению мы видим, что

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x+h)-f(x))+(g(x+h)-g(x))}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$$

Чтобы использовать здесь закон суммы пределов, нам нужно показать, что индивидуальные пределы, ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба существуют. По определению, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$и ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$, поэтому пределы существуют всякий раз, когда производные $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$ существовать. Итак, предполагая, что производные существуют, мы можем продолжить приведенный выше вывод.

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&\;\;\vdots \\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}$$

Таким образом, мы показали то, что хотели показать: $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.

Разница

Позволять $f,g$ быть функциями. Позволять $j$ быть функцией, где $j$ определяется только там, где $f$ и $g$ оба определены. (Другими словами, область $j$ является пересечением областей $f$ и $g$.) Позволять $x$ находиться в сфере $j$. Позволять $j(x)=f(x)-g(x)$.

Мы хотим доказать это $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$.

По определению мы видим, что:

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-g(x+h)-f(x)+g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-g(x+h)+g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x+h)-f(x))+(-g(x+h)+g(x))}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(f(x+h)-f(x))-(g(x+h)-g(x))}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$$

Чтобы использовать здесь закон различия пределов, нам нужно показать, что отдельные пределы, ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ оба существуют. По определению, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ и это ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$, поэтому эти пределы существуют всякий раз, когда производные $f^{\prime }(x)$ и $g^{\prime }(x)$ существовать. Итак, предполагая, что производные существуют, мы можем продолжить приведенный выше вывод.

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&\;\;\vdots \\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}$$

Таким образом, мы показали то, что хотели показать: $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$.

Постоянный коэффициент

Позволять $f$ быть функцией. Позволять $a\in \mathbb {R}$; $a$ будет постоянным коэффициентом. Позволять $j$ быть функцией, где j определяется только там, где $f$ определяется. (Другими словами, область $j$ равна области определения $f$.) Позволять $x$ находиться в сфере $j$. Позволять $j(x)=af(x)$.

Мы хотим доказать это $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)$.

По определению мы видим, что:

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a\left(f(x+h)-f(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}$$

Теперь, чтобы использовать предельный закон для постоянных коэффициентов и показать, что

$$\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

нам нужно это показать ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ существует.Однако, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$, по определению производной. Итак, если $f^{\prime }(x)$ существует, то ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ существует.

Таким образом, если мы предположим, что $f^{\prime }(x)$ существует, мы можем воспользоваться предельным законом и продолжить доказательство.

$${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&\;\;\vdots \\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}$$

Таким образом, мы доказали, что когда $j(x)=af(x)$, у нас есть $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)$.

См. также

• Дифференцирование интегралов — Задача по математике
• Дифференцирование тригонометрических функций - Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Распределение (математика) - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
• Интегрирование по частям - Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Правило продукта – формула производной продукта
• Правило частного – формула для производной отношения функций.
• Таблица производных — правила вычисления производных функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тождества векторного исчисления - Математические тождества