Правила дифференциации

Это краткое изложение правил дифференцирования то есть правил вычисления производной функции исчислении в . ,

Элементарные правила дифференциации

Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( R ) , которые возвращают действительные значения; хотя в более общем плане приведенные ниже формулы применимы везде, где они четко определены. — включая случай комплексных чисел ( C ) .

Правило постоянного члена

Для любого значения $c$, где $c\in \mathbb {R}$, если $f(x)$ постоянная функция, определяемая выражением $f(x)=c$, затем ${\frac {df}{dx}}=0$.

Доказательство

Позволять $c\in \mathbb {R}$ и $f(x)=c$. По определению производной

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}$

Это показывает, что производная любой постоянной функции равна 0.

Интуитивное (

Производная касательной функции в точке — это наклон линии, к кривой в этой точке. Наклон постоянной функции равен нулю, поскольку касательная к постоянной функции горизонтальна и ее угол равен нулю.

Другими словами, значение постоянной функции y не изменится при увеличении или уменьшении значения x.

В каждой точке производная представляет собой наклон линии , касательной к кривой в этой точке. Примечание. Производная в точке A положительна , если она зеленая и штрихпунктирная, отрицательна , если красная и пунктирная, и равна нулю , если черная и сплошная.

Дифференциация линейна

Основная статья: Линейность дифференциации

Для любых функций $f$ и $g$ и любые действительные числа $a$ и $b$, производная функции $h(x)=af(x)+bg(x)$ относительно $x$ является: $h'(x)=af'(x)+bg'(x).$

В обозначениях Лейбница это записывается так:

$${\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.$$

К особым случаям относятся:

• Правило постоянного фактора
  $$(af)'=af'$$
• сумм Правило
  $$(f+g)'=f'+g'$$
• разницы Правило
  $$(f-g)'=f'-g'.$$

Правило продукта

Основная статья: Правило продукта

Для функций $f$ и $g$, производная функции $h(x)=f(x)g(x)$ относительно $x$ является

$$h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$$

В обозначениях Лейбница это записано

$${\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.$$

Правило цепочки

Основная статья: Правило цепочки

Производная функции $h(x)=f(g(x))$ является

$$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

В обозначениях Лейбница это записывается так:

$${\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),$$

часто сокращается до

$${\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.$$

Сосредоточение внимания на понятии карт и дифференциале, являющемся картой. ${\text{D}}$, это записывается более кратко:

$$[{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.$$

Правило обратной функции

Основная статья: Правило обратной функции

Если функция f имеет обратную функцию g , это означает, что $g(f(x))=x$ и $f(g(y))=y,$ затем

$$g'={\frac {1}{f'\circ g}}.$$

В обозначениях Лейбница это записывается как

$${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.$$

, полиномы, частные и

Полиномиальное или

Основная статья: Правило власти

Если $f(x)=x^{r}$, для любого действительного числа $r\neq 0,$ затем

$f'(x)=rx^{r-1}.$

Когда $r=1,$ это становится особым случаем: если $f(x)=x,$ затем $f'(x)=1.$

Сочетание степенного правила с правилами сумм и постоянных кратных позволяет вычислить производную любого многочлена.

Правило взаимности

Основная статья: Правило взаимности

Производная от $h(x)={\frac {1}{f(x)}}$для любой (неисходящей) функции f равна:

$h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}$ везде, где f не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это записано

${\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.$

Правило взаимности может быть получено либо из правила фактора, либо из комбинации правила власти и правила цепочки.

Правило частного

Основная статья: Правило частного

Если f и g — функции, то:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$ везде, где g не равно нулю.

Это можно вывести из правила произведения и правила взаимности.

Обобщенное правило власти

Основная статья: Правило власти

Элементарное правило власти значительно обобщает. Наиболее общим степенным правилом является функциональное степенное правило функций f и g : для любых

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad$

везде, где обе стороны четко определены.

Особые случаи

• Если ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$, затем ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ когда a — любое ненулевое действительное число и x положительно.
• Правило взаимности может быть выведено как особый случай, когда ${\textstyle g(x)=-1\!}$.

Производные показательных и логарифмических функций

${\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0$

уравнение выше верно для всех c , но производная для ${\textstyle c<0}$ дает комплексное число.

${\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}$

${\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1$

уравнение выше также верно для всех c , но дает комплексное число, если ${\textstyle c<0\!}$.

${\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0.$

${\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0.$

${\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad$где $W(x)$ это функция Ламберта W

${\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).$

${\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}$

${\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}$ ${\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}$

Логарифмические производные

Логарифмическая производная — это еще один способ формулировки правила дифференцирования логарифма функции (с использованием правила цепочки):

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$ везде, где f положительно.

Логарифмическое дифференцирование — это метод, который использует логарифмы и правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной.

Логарифмы можно использовать для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание — каждое из этих действий может привести к упрощенному выражению для получения производных.

Производные тригонометрических функций

Основная статья: Дифференцирование тригонометрических функций

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$	${\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$	${\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}$

Производные в таблице выше предназначены для случаев, когда диапазон обратного секущего равен $[0,\pi ]\!$ и когда диапазон обратного косеканса равен $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].$

Обычно дополнительно определяют функцию обратного тангенса с двумя аргументами : $\arctan(y,x).$ Его значение лежит в пределах $[-\pi ,\pi ]$ и отражает квадрант точки $(x,y).$ Для первого и четвертого квадранта (т.е. $x>0$) надо $\arctan(y,x>0)=\arctan(y/x).$ Его частные производные

${\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.$

Производные гиперболических функций

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

См. «Гиперболические функции» , чтобы узнать об ограничениях на эти производные.

Производные специальных функций

Гамма-функция

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$

${\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}$

с $\psi (x)$ это дигамма-функция , выраженная выражением в скобках справа от $\Gamma (x)$ в строке выше.

Дзета-функция Римана

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$

${\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}$

Производные интегралов

Основная статья: Дифференцирование под знаком интеграла

Предположим, что требуется продифференцировать по x функцию

$F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$

где функции $f(x,t)$ и ${\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)$ оба непрерывны в обоих $t$ и $x$ в каком-то регионе $(t,x)$ самолет, в том числе $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$, а функции $a(x)$ и $b(x)$ оба непрерывны и оба имеют непрерывные производные для $x_{0}\leq x\leq x_{1}$. Тогда для $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}$:

$F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.$

Эта формула представляет собой общую форму интегрального правила Лейбница и может быть получена с помощью формулы основная теорема исчисления .

Производные n- го порядка

Существуют некоторые правила вычисления n -й производной функций, где n — целое положительное число. К ним относятся:

Формула Фаа ди Бруно

Основная статья: формула Фаа ди Бруно

Если f и g -раз n дифференцируемы, то

$${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}$$

где ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ и набор $\{k_{m}\}$ состоит из всех неотрицательных целых решений диофантова уравнения ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Общее правило Лейбница

Основная статья: Правило генерала Лейбница

Если f и g -раз n дифференцируемы, то

$${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)$$

См. также

• Дифференцируемая функция - математическая функция, производная которой существует.
• Дифференциал функции - понятие в исчислении
• Дифференцирование интегралов — Задача по математике
• Дифференциация под знаком интеграла – Формула дифференциации под знаком интеграла Страницы с краткими описаниями целей перенаправления
• Гиперболические функции – собирательное название шести математических функций.
• Обратные гиперболические функции – Математические функции
• Обратные тригонометрические функции – обратные функции sin, cos, tan и т. д.
• Списки интегралов
• Список математических функций
• Матричное исчисление - специализированные обозначения для исчисления с несколькими переменными.
• Тригонометрические функции – Функции угла
• Тождества векторного исчисления - Математические тождества

Источники и дополнительная литература

Эти правила приводятся во многих книгах как по элементарному, так и по углубленному исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (помимо приведенных выше ссылок), можно найти в:

• Математический справочник формул и таблиц (3-е издание) , С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия набросков Шаума, 2009 г., ISBN   978-0-07-154855-7 .
• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-57507-2 .
• Математические методы в физике и технике , К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN   978-0-521-86153-3
• Справочник NIST по математическим функциям , Ф.В.Дж. Олвер, Д.В. Лозье, Р.Ф. Буасверт, К.В. Кларк, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-19225-5 .

Внешние ссылки

• Калькулятор производной с упрощением формулы