Логарифмическое дифференцирование

Чтобы узнать о производной, см. Логарифмическую производную .

В исчислении дифференцирования логарифмическое дифференцирование или дифференцирование путем логарифмирования — это метод, используемый для функций с использованием логарифмической производной функции f ,

$$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.$$

Этот метод часто применяется в тех случаях, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения ряда частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую гораздо легче дифференцировать). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на цепное правило , а также на свойства логарифмов (в частности, натурального логарифма или логарифма по основанию e ) для преобразования произведений в суммы и деления в вычитания. Принцип может быть реализован, по крайней мере частично, при дифференцировании почти всех дифференцируемых функций , при условии, что эти функции отличны от нуля.

Обзор

Этот метод используется потому, что свойства логарифмов позволяют быстро упростить сложные функции, которые необходимо дифференцировать. Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).$$

Производные высшего порядка

Используя формулу Фаа ди Бруно , логарифмическая производная n-го порядка равна:

$${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.$$

Используя это, первые четыре производные:

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}$$

Приложения

Продукты

Основная статья: Правило продукта

применяется Натуральный логарифм к произведению двух функций

$$f(x)=g(x)h(x)$$

преобразовать произведение в сумму

$$\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).$$

Дифференцирование с применением цепочки и правил сумм дает

$${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},$$

и после перестановки дает

$$f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),$$

что является правилом произведения для деривативов.

Частные

Основная статья: Правило частного

применяется Натуральный логарифм к частному двух функций

$$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$$

превратить деление в вычитание

$$\ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))$$

Дифференцирование с применением цепочки и правил сумм дает

$${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},$$

и после перестановки дает

$$f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},$$

что является правилом фактора для производных.

Функциональные показатели

Для функции вида

$$f(x)=g(x)^{h(x)}$$

натуральный логарифм преобразует возведение в степень в произведение

$$\ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))$$

Дифференциация путем применения правил цепочки и произведения дает

$${\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},$$

и после перестановки дает

$$f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.$$

Тот же результат можно получить, переписав f через exp и применив цепное правило.

Общий случай

Используя обозначение «пи» с заглавной буквы , пусть

$$f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}$$

быть конечным произведением функций с функциональными показателями.

Применение натуральных логарифмов дает (с заглавными сигмами )

$$\ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),$$

и после дифференцирования

$${\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].$$

Переставить, чтобы получить производную исходной функции,

$$f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.$$

См. также

• Производная Дарбу - производная от карты между многообразием и группой Ли. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Группа Ли - группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
• Список тем по логарифму
• Список логарифмических тождеств
• Форма Маурера – Картана - математическая концепция.