Производная Дарбу

Производная Дарбу отображения между многообразием и группой Ли является вариантом стандартной производной. Возможно, это более естественное обобщение производной с одной переменной. Это позволяет обобщить фундаментальную теорему исчисления с одной переменной на более высокие измерения, в другом ключе, чем обобщение, которое является теоремой Стокса .

Формальное определение

Позволять $G$ — группа Ли , и пусть ${\mathfrak {g}}$ быть ее алгеброй Ли . Форма Маурера-Картана , $\omega _{G}$, является гладким ${\mathfrak {g}}$-ценный $1$-форма на $G$ (см. форму со значениями алгебры Ли ), определяемую формулой

$\omega _{G}(X_{g})=(T_{g}L_{g})^{-1}X_{g}$

для всех $g\in G$ и $X_{g}\in T_{g}G$. Здесь $L_{g}$ обозначает левое умножение на элемент $g\in G$ и $T_{g}L_{g}$ является его производной в $g$.

Позволять $f:M\to G$ быть гладкой функцией между гладким многообразием $M$ и $G$. Тогда Дарбу производная $f$ это гладкий ${\mathfrak {g}}$-ценный $1$-форма

$\omega _{f}:=f^{*}\omega _{G},$

откат ​ ​ $\omega _{G}$ к $f$. Карта $f$ называется интегралом или примитивом ​ $\omega _{f}$.

Более естественно?

Причина, по которой производную Дарбу можно назвать более естественным обобщением производной исчисления с одной переменной, заключается в следующем. В исчислении с одной переменной производная $f'$ функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ присваивает каждой точке области один номер. Согласно более общим идеям производных многообразия, производная присваивает каждой точке области линейное отображение из касательного пространства в точке области в касательное пространство в точке изображения. Эта производная инкапсулирует две части данных: изображение точки домена и линейную карту. В исчислении с одной переменной мы отбрасываем некоторую информацию. Мы сохраняем только линейное отображение в виде скалярного умножающего агента (т.е. числа).

Один из способов оправдать это соглашение о сохранении только аспекта линейного отображения производной — это обратиться к (очень простой) структуре группы Ли $\mathbb {R}$ под дополнением. Касательное расслоение любой группы Ли можно тривиализировать с помощью левого (или правого) умножения. Это означает, что каждое касательное пространство в $\mathbb {R}$ может быть отождествлено с касательным пространством в точке идентичности, $0$, которая является Ли алгеброй $\mathbb {R}$. В данном случае левое и правое умножение — это просто перевод. Путем последующего составления производной типа многообразия с тривиализацией касательного пространства для каждой точки области мы получаем линейное отображение из касательного пространства в точке области области в алгебру Ли $\mathbb {R}$. В символах для каждого $x\in \mathbb {R}$ мы смотрим на карту

$v\in T_{x}\mathbb {R} \mapsto (T_{f(x)}L_{f(x)})^{-1}\circ (T_{x}f)v\in T_{0}\mathbb {R} .$

Поскольку рассматриваемые касательные пространства одномерны, это линейное отображение представляет собой просто умножение на некоторый скаляр. (Этот скаляр может меняться в зависимости от того, какой базис мы используем для векторных пространств, но единичных векторов каноническое поле ${\frac {\partial }{\partial t}}$ на $\mathbb {R}$ дает канонический выбор базиса и, следовательно, канонический выбор скаляра.) Этот скаляр — это то, что мы обычно обозначаем $f'(x)$.

Уникальность примитивов

Если многообразие $M$ подключен, и $f,g:M\to G$ оба являются примитивами $\omega _{f}$, то есть $\omega _{f}=\omega _{g}$, то существует некоторая константа $C\in G$ такой, что

$f(x)=C\cdot g(x)$ для всех $x\in M$.

Эта константа $C$ это, конечно, аналог константы, которая появляется при взятии неопределенного интеграла .

Основная теорема исчисления

Структурное уравнение формы Маурера-Картана :

$d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.$

Это означает, что для всех векторных полей $X$ и $Y$ на $G$ и все $x\in G$, у нас есть

$(d\omega )_{x}(X_{x},Y_{x})+[\omega _{x}(X_{x}),\omega _{x}(Y_{x})]=0.$

Для любого значения алгебры Ли $1$-формы на любом гладком многообразии, все члены этого уравнения имеют смысл, поэтому для любой такой формы мы можем спросить, удовлетворяет ли она этому структурному уравнению.

Обычная фундаментальная теорема исчисления для исчисления с одной переменной имеет следующее локальное обобщение.

Если ${\mathfrak {g}}$-ценный $1$-форма $\omega$ на $M$ удовлетворяет структурному уравнению, то каждая точка $p\in M$ имеет открытое окружение $U$ и гладкая карта $f:U\to G$ такой, что

$\omega _{f}=\omega |_{U},$

т.е. $\omega$ имеет примитив, определенный в окрестности каждой точки $M$.

Для глобального обобщения основной теоремы необходимо изучить некоторые вопросы монодромии в $M$ и $G$.

См. также

• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Логарифмическая производная - Математическая операция в исчислении.
• Форма Маурера – Картана - математическая концепция.

Ссылки

• Р. В. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Шпрингер Верлаг, Берлин. ISBN  0-387-94732-9 .
• Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл. OCLC   529176 .