Форма Маурера – Картана

В математике форма Маурера -Картана для группы Ли $G$ представляет собой выдающуюся дифференциальную одну форму на $G$ которая несет основную инфинитезимальную информацию о структуре $G.$ , Он широко использовался Эли Картаном в качестве основного компонента его метода перемещения кадров и носит его имя вместе с именем Людвига Маурера .

Как одна форма, форма Маурера – Картана необычна тем, что принимает свои значения в алгебре Ли, связанной с группой Ли $G$ . Алгебра Ли отождествляется с касательным пространством к $G$ единице $, обозначаемым T e G$ . Таким образом, форма Маурера–Картана $ω$ является одной формой, определенной глобально на $G$ , которая является линейным отображением касательного пространства $T g G$ в каждом $g \in G$ в $T e G$ . Он задается как продвижение вектора из $T g G$ вдоль левого смещения в группе:

\omega (v)=(L_{g^{-1}})_{*}v,\quad v\in T_{g}G.

Мотивация и интерпретация

Группа Ли действует сама на себя умножением при отображении

G\times G\ni (g,h)\mapsto gh\in G.

Важный вопрос для Картана и его современников заключался в том, как определить пространство G. $главное$ однородное То есть многообразие $P,$ идентичное группе $G$ , но без фиксированного выбора единичного элемента. Частично эта мотивация исходила из Феликса Кляйна в программы Эрлангене , где интересовались понятием симметрии пространства, где симметрии пространства были преобразованиями, образующими группу Ли. Геометриями, представляющими интерес, были однородные пространства $G / H$ , но обычно без фиксированного выбора начала координат, соответствующего смежному классу $eH$ .

Главное однородное пространство группы $G$ — это многообразие $P,$ характеризующееся свободным и транзитивным действием группы $G$ на $P.$ абстрактно Форма Маурера – Картана ^[1] дает подходящую инфинитезимальную характеристику главного однородного пространства. Это одна форма, определенная на $P,$ удовлетворяющая условию интегрируемости , известному как уравнение Маурера – Картана. Используя это условие интегрируемости, можно определить экспоненциальное отображение алгебры Ли и таким образом локально получить групповое действие на $P$ .

Строительство

Внутренняя конструкция

Пусть $g ≅ T e G$ — касательное пространство группы Ли $G$ в единице (ее алгебра Ли ). $G$ действует на себя путем левого перевода

L:G\times G\to G

такая, что для данного $g \in G$ имеем

L_{g}:G\to G\quad {\mbox{where}}\quad L_{g}(h)=gh,

и это индуцирует отображение касательного расслоения на себя: $(L_{g})_{*}:T_{h}G\to T_{gh}G.$ Левоинвариантное векторное поле это сечение $X$ TG $что —$ такое, ^[2]

(L_{g})_{*}X=X\quad \forall g\in G.

Форма Маурера–Картана $ω$ — это $g-$ значная однозначная форма на $G,$ определенная на векторах $v \in Tg G$ по формуле

\omega _{g}(v)=(L_{g^{-1}})_{*}v.

Внешняя конструкция

Если $G$ вложен в $GL(n)$ с помощью матричного отображения $g =(g ij)$ , то можно $записать ω$ явно как

\omega _{g}=g^{-1}\,dg.

В этом смысле форма Маурера-Картана всегда является левой логарифмической производной тождественного отображения $G$ .

Характеристика как связь

Если мы рассматриваем группу Ли $G$ как главное расслоение над многообразием, состоящим из одной точки, то форму Маурера–Картана также можно абстрактно охарактеризовать как единственную главную связность на главном расслоении $G$ . Действительно, это единственная $g = T e G$ значная $1$ -форма на $G$ , удовлетворяющая

$\omega _{e}=\mathrm {id} :T_{e}G\rightarrow {\mathfrak {g}},{\text{ and}}$
$\forall g\in G\quad \omega _{g}=\mathrm {Ad} (h)(R_{h}^{*}\omega _{e}),{\text{ where }}h=g^{-1},$

где $R h *$ — обратный образ форм вдоль правого переноса в группе, а $Ad(h)$ — присоединенное действие на алгебре Ли.

Характеристики

Если $X$ левоинвариантное векторное поле на $G$ , то $ω (X)$ постоянно на $G.$ — Более того, если $X$ и $Y$ оба левоинвариантны, то

\omega ([X,Y])=[\omega (X),\omega (Y)]

где скобка в левой части — это скобка Ли векторных полей , а скобка в правой части — это скобка на алгебре Ли $g$ . (Это можно использовать как определение скобки на $g$ .) Эти факты можно использовать для установления изоморфизма алгебр Ли.

{\mathfrak {g}}=T_{e}G\cong \{{\hbox{left-invariant vector fields on G}}\}.

По определению внешней производной , если $X$ и $Y$ — произвольные векторные поля, то

d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).

Здесь $ω (Y)$ — $g$ полученная двойственностью от спаривания одноформы $ω$ с векторным полем $Y$ , а $X (ω (Y))$ — производная Ли этой функции вдоль $X.$ -значная функция , Аналогично $Y (ω (X))$ является производной Ли вдоль $Y$ функции $g$ -значной $ω (X)$ .

В частности, если $X$ и $Y$ левоинвариантны, то

X(\omega (Y))=Y(\omega (X))=0,

так

d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)]=0

но левоинвариантные поля охватывают касательное пространство в любой точке (продвижение базиса в $T e G$ под действием диффеоморфизма по-прежнему является базисом), поэтому уравнение верно для любой пары векторных полей $X$ и $Y$ . Это известно как уравнение Маурера-Картана . Часто пишут как

d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0.

Здесь $[ω, ω]$ обозначает скобку форм со значениями алгебры Ли .

Каркас Маурера – Картана

Можно также рассматривать форму Маурера-Картана как построенную из фрейма Маурера-Картана . Пусть $E i$ — базис сечений $TG,$ состоящих из левоинвариантных векторных полей, и $θ дж$ — двойственный базис сечений $T * G$ такой, что $θ дж (E я) знак равно δ я дж$ , дельта Кронекера . Тогда $E i$ — шкала Маурера–Картана и $θ я$ является кофреймом Маурера–Картана .

Поскольку $E i$ инвариантен слева, применение к нему формы Маурера – Картана просто возвращает значение $E i$ в единице. Таким образом, $ω (E я) знак равно E я (е) \in грамм$ . Таким образом, форму Маурера–Картана можно записать

\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{i}.

( 1 )

Предположим, что скобки Ли векторных полей $E i$ имеют вид

[E_{i},E_{j}]=\sum _{k}{c_{ij}}^{k}E_{k}.

Величины $c ij к$ — структурные константы алгебры Ли (относительно базиса $E i$ ). Простой расчет с использованием определения внешней производной $d$ дает

d\theta ^{i}(E_{j},E_{k})=-\theta ^{i}([E_{j},E_{k}])=-\sum _{r}{c_{jk}}^{r}\theta ^{i}(E_{r})=-{c_{jk}}^{i}=-{\frac {1}{2}}({c_{jk}}^{i}-{c_{kj}}^{i}),

так что по двойственности

d\theta ^{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{jk}{c_{jk}}^{i}\theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.

( 2 )

Это уравнение также часто называют уравнением Маурера–Картана . Чтобы связать его с предыдущим определением, которое включало только форму Маурера – Картана $ω$ , возьмем внешнюю производную от (1) :

d\omega =\sum _{i}E_{i}(e)\otimes d\theta ^{i}\,=\,-{\frac {1}{2}}\sum _{ijk}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)\otimes \theta ^{j}\wedge \theta ^{k}.

Компоненты рамы имеют вид

d\omega (E_{j},E_{k})=-\sum _{i}{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)=-[E_{j}(e),E_{k}(e)]=-[\omega (E_{j}),\omega (E_{k})],

что устанавливает эквивалентность двух форм уравнения Маурера–Картана.

В однородном пространстве

Формы Маурера-Картана играют важную роль в методе перемещения кадров Картана . В этом контексте можно рассматривать форму Маурера–Картана как $1$ -форму, определенную на тавтологическом главном расслоении, ассоциированном с однородным пространством . Если $H$ — замкнутая подгруппа группы $G$ , то $G / H$ — гладкое многообразие размерности $dim G - H.$ dim Факторотображение $G \to G / H$ индуцирует структуру $H$ -главного расслоения над $G / H$ . Форма Маурера–Картана на группе Ли $G$ дает плоскую связность Картана для этого главного расслоения. В частности, если $H = {e$ }, то эта связность Картана является обычной формой связности , и мы имеем

d\omega +\omega \wedge \omega =0

что является условием исчезновения кривизны.

В методе перемещения реперов иногда рассматривают локальное сечение тавтологического расслоения, $s : G / H \to G.$ скажем (Если вы работаете с подмногообразием однородного пространства, то $s$ должно быть только локальным сечением над подмногообразием.) Обратный образ формы Маурера – Картана вдоль $s$ определяет невырожденную $g$ -значную $1$ -форму $θ = s. * ω$ по базе. Уравнение Маурера – Картана означает, что

d\theta +{\frac {1}{2}}[\theta ,\theta ]=0.

При этом, если $s U$ и $s V$ — пара локальных сечений, определенных соответственно над открытыми множествами $U$ и $V$ , то они связаны элементом из $H$ в каждом слое расслоения:

h_{UV}(x)=s_{V}\circ s_{U}^{-1}(x),\quad x\in U\cap V.

Дифференциал $h$ дает условие совместимости, связывающее два участка области перекрытия:

\theta _{V}=\operatorname {Ad} (h_{UV}^{-1})\theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}

где $ω H$ — форма Маурера–Картана на группе $H$ .

Система невырожденных $g$ -значных $1$ -форм $θ U,$ определенных на открытых множествах в многообразии $M$ , удовлетворяющих структурным уравнениям Маурера–Картана и условиям совместности, наделяет многообразие $M$ локально структурой однородного пространства $G / H$ . Другими словами, локально существует диффеоморфизм M в $образ$ однородное пространство такой, что $— θ U$ формы Маурера–Картана вдоль некоторого сечения тавтологического расслоения. Это следствие существования первообразных производной Дарбу .

Примечания

^ Представлено Картаном (1904).
^ Тонкость: $(L_{g})_{*}X$ дает вектор в $T_{gh}G{\text{ if }}X\in T_{h}G$

Ссылки

Картан, Эли (1904). «О строении бесконечных групп преобразований» (PDF) . Научные анналы Высшей нормальной школы . 21 : 153–206. дои : 10.24033/asens.538 .
Р. В. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Шпрингер Верлаг, Берлин. ISBN 0-387-94732-9 .
Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл. LCCN 64-7993 .

[1] Представлено Картаном (1904).

[2] Тонкость: $(L_{g})_{*}X$ дает вектор в $T_{gh}G{\text{ if }}X\in T_{h}G$

[1]

[2]