Производная лжи

В дифференциальной геометрии производная Ли ( / l iː / LEE ), названная в честь Софуса Ли Владиславом Слебодзинским , оценивает изменение тензорного поля (включая скалярные функции, векторные поля и одноформы ) вдоль потока , определенного другим векторным полем. Это изменение является координатно-инвариантным, и поэтому производная Ли определена на любом дифференцируемом многообразии .

Функции, тензорные поля и формы можно дифференцировать по векторному полю. Если T — тензорное поле, а X — векторное поле, то производная Ли Т по X обозначается ${\mathcal {L}}_{X}T$. Дифференциальный оператор $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T$ является производным алгебры тензорных полей основного многообразия.

Производная Ли коммутирует со сжатием , а внешняя производная на дифференциальных формах .

Хотя в дифференциальной геометрии существует множество концепций получения производной, все они сходятся во мнении, когда дифференцируемое выражение является функцией или скалярным полем . Таким образом, в этом случае слово «Ложь» опускается и говорят просто о производной функции.

Производная Ли векторного поля Y относительно другого векторного поля X известна как « скобка Ли » X и Y и часто обозначается [ X , Y ] вместо ${\mathcal {L}}_{X}Y$. Пространство векторных полей образует алгебру Ли относительно этой скобки Ли. Производная Ли представляет собой бесконечномерное представление этой алгебры Ли в силу тождества

${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,$

справедливо для любых векторных полей X и Y и любого тензорного поля T .

Рассматривая векторные поля как бесконечно малые генераторы потоков бесконечно (т.е. одномерные группы диффеоморфизмов связанным ) на M , производная Ли является дифференциалом представления группы диффеоморфизмов на тензорных полях, аналогично представлениям алгебры Ли как малым представлениям, с представлением группы в Теория групп Ли .

Существуют обобщения для спинорных полей, расслоений со связностью и векторнозначных дифференциальных форм .

Мотивация

«Наивная» попытка определить производную тензорного поля по векторному полю заключалась бы в том, чтобы взять компоненты тензорного поля и взять производную по направлению каждого компонента по векторному полю. Однако это определение нежелательно, поскольку оно не инвариантно при изменении системы координат , например, наивная производная, выраженная в полярных или сферических координатах, отличается от наивной производной компонентов в декартовых координатах . На абстрактном многообразии такое определение бессмысленно и плохо определено. В дифференциальной геометрии существуют три основных координатно-независимых понятия дифференцирования тензорных полей: производные Ли, производные по связностям и внешняя производная полностью антисимметричных ковариантных тензоров, т.е. дифференциальных форм . Основное отличие производной Ли от производной по связности состоит в том, что последняя производная тензорного поля по касательному вектору четко определен, даже если не указано, как расширить этот касательный вектор до векторного поля. Однако связность требует выбора дополнительной геометрической структуры (например, римановой метрики или просто абстрактной связности ) на многообразии. Напротив, при взятии производной Ли не требуется никакой дополнительной структуры на многообразии, но нельзя говорить о производной Ли тензорного поля по одному касательному вектору, поскольку значение производной Ли тензора поле относительно векторного поля X в точке p зависит от значения X в окрестности точки p , а не только в самой точке p . Наконец, внешняя производная дифференциальных форм не требует каких-либо дополнительных выборов, а является лишь четко определенной производной дифференциальных форм (включая функции).

Определение

Производную Ли можно определить несколькими эквивалентными способами. Для простоты мы начнем с определения производной Ли, действующей на скалярные функции и векторные поля, прежде чем перейти к определению общих тензоров.

Производная (Лиева) функции

Определение производной функции $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ на многообразии проблематично, потому что разностный коэффициент $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$ невозможно определить, пока смещение $x+h$ является неопределенным.

Производная Ли функции $f\colon M\to {\mathbb {R} }$ относительно векторного поля $X$ в какой-то момент $p\in M$ это функция

$({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}$

где $\Phi _{X}^{t}(p)$ - это точка, до которой течет поток , определяемый векторным полем $X$ отображает точку $p$ в момент времени $t.$ В окрестностях неподалеку от $t=0,$ $\Phi _{X}^{t}(p)$ является единственным решением системы

${\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}$

автономных (т.е. независимых от времени) дифференциальных уравнений первого порядка, с $\Phi _{X}^{0}(p)=p.$

Параметр ${\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$ отождествляет производную Ли функции с производной по направлению , которая также обозначается $X(f):={\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$.

Производная Ли векторного поля

Если X и Y являются векторными полями, то производная Ли Y относительно X также известна как скобка Ли X и Y и иногда обозначается $[X,Y]$. Существует несколько подходов к определению скобки Ли, все они эквивалентны. Мы перечисляем здесь два определения, соответствующие двум определениям векторного поля, данным выше:

• Скобка Ли X и Y в точке p задается в локальных координатах формулой

  ${\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),$

  где $\partial _{X}$ и $\partial _{Y}$обозначаем операции взятия производных по направлению по X и Y соответственно. Здесь мы рассматриваем вектор в n -мерном пространстве как n - кортеж , так что его производная по направлению — это просто кортеж, состоящий из производных по направлениям его координат. Хотя окончательное выражение $\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)$ фигурирующие в этом определении не зависят от выбора локальных координат, отдельные члены $\partial _{X}Y(p)$ и $\partial _{Y}X(p)$ зависят от выбора координат.
• Если X и Y — векторные поля на многообразии M согласно второму определению, то оператор ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ определяется формулой

  $[X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

  $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$

  является дифференцированием нулевого порядка алгебры гладких функций из M , т.е. этот оператор является векторным полем согласно второму определению.

Производная Ли тензорного поля

Определение с точки зрения потоков

Производная Ли — это скорость, с которой изменяется тензорное поле при деформации пространства, вызванной потоком.

Формально, учитывая дифференцируемое (независимое от времени) векторное поле $X$ на гладком многообразии $M,$ позволять $\Phi _{X}^{t}:M\to M$— соответствующий локальный поток. С $\Phi _{X}^{t}$ является локальным диффеоморфизмом для каждого $t$, это приводит к откату тензорных полей . Для ковариантных тензоров это просто многолинейное расширение карты обратного преобразования.

$\left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M$

Для контравариантных тензоров расширяется обратное

$\left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M$

дифференциала ​ $T_{p}\Phi _{X}^{t}$. Для каждого $t,$ следовательно, существует тензорное поле $(\Phi _{X}^{t})^{*}T$ того же типа, что и $T$х.

Если $T$ является $(r,0)$- или $(0,s)$тензорное поле -типа, то производная Ли ${\cal {L}}_{X}T$ из $T$ вдоль векторного поля $X$ определяется в точке $p\in M$ быть

${\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.$

Результирующее тензорное поле ${\cal {L}}_{X}T$ имеет тот же тип, что и $T$х.

В более общем смысле, для каждого гладкого однопараметрического семейства $\Phi _{t}$диффеоморфизмов, интегрирующих векторное поле $X$ в смысле ${d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}$, надо

$${\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.$$

Алгебраическое определение

Дадим теперь алгебраическое определение. Алгебраическое определение производной Ли тензорного поля следует из следующих четырех аксиом:

Аксиома 1. Производная Ли функции равна производной функции по направлению. Этот факт часто выражают формулой

${\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)$

Аксиома 2. Производная Ли подчиняется следующей версии правила Лейбница: для любых тензорных полей S и T имеем

${\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).$

Аксиома 3. Производная Ли подчиняется правилу Лейбница относительно сжатия :

${\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))$

Аксиома 4. Производная Ли коммутирует с внешней производной на функциях:

$[{\mathcal {L}}_{X},d]=0$

Если эти аксиомы выполняются, то, применяя производную Ли ${\mathcal {L}}_{X}$ к отношению $df(Y)=Y(f)$ показывает, что

${\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),$

что является одним из стандартных определений скобки Ли .

Производная Ли, действующая на дифференциальную форму, является антикоммутатором внутреннего произведения с внешней производной. Итак, если α — дифференциальная форма,

${\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .$

Это легко сделать, проверив, что выражение коммутирует с внешней производной, является дифференцированием (будучи антикоммутатором градуированных дифференцирований) и правильно работает с функциями.

Явно, пусть T — тензорное поле типа ( p , q ) . Рассмотрим T как дифференцируемое отображение гладких сечений α полилинейное ¹ , а ² , ..., а ^п кокасательного расслоения T ^∗ M и сечений X ₁ , X ₂ , ..., X _q касательного расслоения TM , записанных T ( α ¹ , а ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) в R . Определим производную Ли от T вдоль Y по формуле

$({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))$

$-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots$

$-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots$

Эквивалентность аналитических и алгебраических определений можно доказать, используя свойства прямого продвижения и Лейбница правила дифференцирования . Производная Ли коммутирует со сжатием.

Производная Ли дифференциальной формы

См. также: Интерьерные изделия.

Особенно важным классом тензорных полей является класс дифференциальных форм . Ограничение производной Ли на пространство дифференциальных форм тесно связано с внешней производной . И производная Ли, и внешняя производная пытаются по-разному уловить идею производной. Эти различия можно преодолеть, введя идею интерьера , после чего отношения выпадают в виде тождества, известного как формула Картана . Формулу Картана также можно использовать как определение производной Ли в пространстве дифференциальных форм.

Пусть M — многообразие, а X — поле на M. векторное Позволять $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$ быть a ( k +1) -формой , т.е. для каждого $p\in M$, $\omega (p)$ представляет собой знакопеременную полилинейную карту из $(T_{p}M)^{k+1}$к реальным цифрам. Внутренним произведением X ​ и ω является k -форма $i_{X}\omega$ определяется как

$(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

Дифференциальная форма $i_{X}\omega$ также называется сжатием ω X с , и

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)$

это $\wedge$- первообразный , где $\wedge$является произведением клина на дифференциальных формах . То есть, $i_{X}$ является R -линейным, и

$i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )$

для $\omega \in \Lambda ^{k}(M)$и η — другая дифференциальная форма. Также для функции $f\in \Lambda ^{0}(M)$, то есть действительная или комплекснозначная функция на M , имеем

$i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega$

где $fX$обозначает произведение f и X . Взаимосвязь между внешними производными и производными Ли можно резюмировать следующим образом. Во-первых, поскольку производная Ли функции f относительно векторного поля X совпадает с производной по направлению X ( f ), она также совпадает с сокращением внешней производной f с X :

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df$

Для общей дифференциальной формы производная Ли также является сокращением, учитывая изменение X :

${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).$

Это тождество известно под разными названиями: формула Картана , формула гомотопии Картана или магическая формула Картана . смотрите в разделе «Продукт для интерьера» Подробности . Формулу Картана можно использовать как определение производной Ли дифференциальной формы. Формула Картана показывает, в частности, что

$d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).$

Производная Ли также удовлетворяет соотношению

${\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .$

Координатные выражения

Примечание. соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов. Ниже используется

В обозначениях локальных координат типа ( r , s ) для тензорного поля $T$, производная Ли вдоль $X$ является

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}$

здесь обозначение $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ означает взятие частной производной по координате $x^{a}$. Альтернативно, если мы используем без кручения соединение (например, соединение Леви Чивита ), то частная производная $\partial _{a}$ можно заменить ковариантной производной , что означает замену $\partial _{a}X^{b}$ с (злоупотреблением обозначениями) $\nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}$ где $\Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}$ – коэффициенты Кристоффеля .

Производная Ли тензора — это другой тензор того же типа, т.е. хотя отдельные члены выражения зависят от выбора системы координат, выражение в целом приводит к тензору

$({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}$

который не зависит от какой-либо системы координат и того же типа, что и $T$.

Определение можно распространить и на тензорные плотности . Если T — тензорная плотность некоторого вещественного веса w (например, объемная плотность веса 1), то его производная Ли — это тензорная плотность того же типа и веса.

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}$

Обратите внимание на новый термин в конце выражения.

Для линейного соединения $\Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})$, производная Ли вдоль $X$ является

$({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}$

Примеры

Для ясности мы теперь покажем следующие примеры в обозначениях локальных координат .

Для скалярного поля $\phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)$ у нас есть:

$({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi$.

Следовательно, для скалярного поля $\phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)$ и векторное поле $X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}$ соответствующая производная Ли становится

$${\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}$$

В качестве примера дифференциальной формы более высокого ранга рассмотрим 2-форму $\omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz$ и векторное поле $X$из предыдущего примера. Затем,

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}$$

Еще несколько абстрактных примеров.

${\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}$.

Следовательно, для ковекторного поля , т. е. дифференциальной формы , $A=A_{a}(x^{b})dx^{a}$ у нас есть:

${\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}$

Коэффициент последнего выражения является выражением локальной координаты производной Ли.

Для ковариантного тензорного поля ранга 2 $T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}$ у нас есть:

$${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}$$

Если $T=g$— симметричный метрический тензор, он параллелен по отношению к связи Леви-Чивита (она же ковариантная производная ), и становится плодотворным использовать эту связь. Это приводит к замене всех производных ковариантными производными, что дает

$({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}$

Свойства

Производная Ли обладает рядом свойств. Позволять ${\mathcal {F}}(M)$— алгебра функций, определенных на многообразии M . Затем

${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)$

является выводом на алгебре ${\mathcal {F}}(M)$. То есть, ${\mathcal {L}}_{X}$ является R -линейным и

${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.$

Аналогично, это вывод от ${\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)$ где ${\mathcal {X}}(M)$ — множество векторных полей на M (см. теорему 6 из статьи: Ничита, Ф.Ф. Теории объединения: новые результаты и примеры. Аксиомы 2019, 8, 60):

${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$

что также можно записать в эквивалентных обозначениях

${\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y$

где тензорного произведения символ $\otimes$ используется, чтобы подчеркнуть тот факт, что произведение функции на векторное поле берется по всему многообразию.

Дополнительные свойства соответствуют свойствам скобки Ли . Так, например, рассматриваемый как вывод на векторном поле,

${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

можно обнаружить, что вышеизложенное является просто тождеством Якоби . Таким образом, получается важный результат: пространство векторных полей над M , снабженное скобкой Ли, образует алгебру Ли .

Производная Ли также обладает важными свойствами при воздействии на дифференциальные формы. Пусть α и β — две дифференциальные формы на M , и пусть X и Y — два векторных поля. Затем

• ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
• $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,$ где i обозначает внутреннее произведение, определенное выше, и ясно, обозначает ли [·, ·] коммутатор или скобку Ли векторных полей .

Обобщения

Различные обобщения производной Ли играют важную роль в дифференциальной геометрии.

Производная Ли спинорного поля

Определение производных Ли спиноров вдоль общих векторных полей пространства-времени, не обязательно киллинговых , на общем (псевдо) римановом многообразии было уже предложено в 1971 году Иветт Косман . Позже ей была предоставлена ​​геометрическая основа, которая оправдывает ее специальное предложение в рамках общей структуры производных Ли на расслоениях. в явном контексте калибровочных натуральных расслоений, которые оказываются наиболее подходящей ареной для (калибровочно-ковариантных) теорий поля.

В данном спиновом многообразии , то есть в римановом многообразии $(M,g)$ допускающая спиновую структуру , производная Ли спинорного поля $\psi$ может быть определено, сначала определив его относительно бесконечно малых изометрий (векторных полей Киллинга) с помощью Андре Лихнеровича, данного в 1963 году: локального выражения

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,$

где $\nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}$, как $X=X^{a}\partial _{a}$ предполагается векторным полем Киллинга и $\gamma ^{a}$ являются матрицами Дирака .

Тогда можно распространить определение Лихнеровича на все векторные поля (общие бесконечно малые преобразования), сохранив локальное выражение Лихнеровича для типичного векторного поля. $X$, но явно беря антисимметричную часть $\nabla _{a}X_{b}$ только. Более подробно, местное выражение Косманна, данное в 1972 году, таково:

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,$

где $[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}$ это коммутатор, $d$ является внешней производной , $X^{\flat }=g(X,-)$ - двойственная форма 1, соответствующая $X$ по метрике (т.е. с заниженными индексами) и $\cdot$ есть умножение Клиффорда.

Стоит отметить, что спинорная производная Ли не зависит от метрики, а значит, и от связности . Это не очевидно из правой части локального выражения Космана, поскольку правая часть, по-видимому, зависит от метрики через спиновую связь (ковариантную производную), дуализацию векторных полей (понижение индексов) и уравнение Клиффорда. умножение на спинорном расслоении . Это не так: величины в правой части локального выражения Космана объединяются так, что все члены, зависящие от метрики и связи, сокращаются.

Чтобы лучше понять давно обсуждаемую концепцию производной Ли спинорных полей, можно обратиться к оригинальной статье: где определение производной Ли спинорных полей помещено в более общую структуру теории производных Ли сечений расслоений, а прямой подход Ю. Косманна к спинорному случаю обобщен для калибровки натуральных расслоений в виде новая геометрическая концепция, названная лифтом Космана .

Ковариантная производная Ли

Если у нас есть главное расслоение над многообразием M со структурной группой G и мы выбираем X как ковариантное векторное поле как сечение касательного пространства главного расслоения (т. е. оно имеет горизонтальные и вертикальные компоненты), то ковариантное Производная Ли — это просто производная Ли по X по главному расслоению.

Теперь, если нам дано векторное поле Y над M (но не главный расслоение), но у нас также есть соединение над основным расслоением, мы можем определить векторное поле X над основным расслоением так, чтобы его горизонтальный компонент соответствовал Y и его вертикальная составляющая согласуется со связью. Это ковариантная производная Ли.

смотрите в форме подключения Подробности .

Производная Нийенхейса–Ли

Другое обобщение, принадлежащее Альберту Нийенхейсу , позволяет определить производную Ли дифференциальной формы вдоль любого сечения расслоения Ω. ^к ( M , TM ) дифференциальных форм со значениями в касательном расслоении. Если K ∈ Ω ^к ( M , TM ) и α — дифференциальная p -форма, то можно определить внутреннее произведение i _K α форм K и α. Производная Нийенхейса – Ли тогда является антикоммутатором внутреннего произведения и внешней производной:

${\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .$

История

В 1931 году Владислав Слебодзинский представил новый дифференциальный оператор, позже названный Дэвидом ван Данцигом оператором вывода Ли, который можно применять к скалярам, ​​векторам, тензорам и аффинным связностям и который оказался мощным инструментом при изучении групп автоморфизмов. .

Производные Ли общих геометрических объектов (т. е. сечений натуральных расслоений ) изучались А. Нийенхейсом , Ю. Таширо и К. Яно .

В течение достаточно долгого времени физики использовали производные Ли, не обращаясь к работам математиков. в 1940 году. Леон Розенфельд — а до него (в 1921 г. ) Вольфганг Паули - представил то, что он назвал «локальным вариантом» $\delta ^{\ast }A$ геометрического объекта $A\,$ индуцированный бесконечно малым преобразованием координат, порожденным векторным полем $X\,$. Можно легко доказать, что его $\delta ^{\ast }A$ является $-{\mathcal {L}}_{X}(A)\,$.

См. также

• Ковариантная производная
• Связь (математика)
• Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса
• геодезический
• Поле убийства
• Производная экспоненциальной карты

Ссылки

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN  0-8053-0102-Х . См. раздел 2.2 .
• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-10096-7 . См. главу 0 .
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-42627-2 . См. раздел 1.6 .
• Колар, И.; Михор, П.; Словак, Дж. (1993). Естественные операции в дифференциальной геометрии . Спрингер-Верлаг. ISBN  9783662029503 . Обширное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
• Ланг, С. (1995). Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-94338-1 . Для обобщений на бесконечные измерения.
• Ланг, С. (1999). Основы дифференциальной геометрии . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-98593-0 . Для обобщений на бесконечные измерения.
• Яно, К. (1957). Теория производных Ли и ее приложения . Северная Голландия. ISBN  978-0-7204-2104-0 . Классический подход с использованием координат.

Внешние ссылки

• «Производная Лия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]