Косман лифт

В дифференциальной лифт Космана геометрии назван в честь Иветты Косман-Шварцбах векторного поля $X\,$ на римановом многообразии $(M,g)\,$ это каноническая проекция $X_{K}\,$ на расслоении ортонормированной системы координат ее естественного подъема ${\hat {X}}\,$ определенное на связке линейных кадров.

Обобщения существуют для любой данной редуктивной G-структуры .

Введение

В общем, учитывая подрасслоение $Q\subset E\,$ пучка волокон $\pi _{E}\colon E\to M\,$ над $M$ и векторное поле $Z\,$ на $E$, его ограничение $Z\vert _{Q}\,$ к $Q$ векторное поле «вдоль» $Q$ не по (т.е. по касательной к) $Q$. Если обозначить через $i_{Q}\colon Q\hookrightarrow E$ каноническое вложение , тогда $Z\vert _{Q}\,$ это часть пакета откатов $i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,$, где

$i_{Q}^{\ast }(TE)=\{(q,v)\in Q\times TE\mid i(q)=\tau _{E}(v)\}\subset Q\times TE,\,$

и $\tau _{E}\colon TE\to E\,$ является касательным расслоением расслоения $E$.Предположим, что нам дано разложение Космана расслоения обратного образа $i_{Q}^{\ast }(TE)\to Q\,$, такой, что

$i_{Q}^{\ast }(TE)=TQ\oplus {\mathcal {M}}(Q),\,$

то есть на каждом $q\in Q$ у одного есть $T_{q}E=T_{q}Q\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,$ где ${\mathcal {M}}_{u}$ является векторным подпространством $T_{q}E\,$ и мы предполагаем ${\mathcal {M}}(Q)\to Q\,$ быть векторным расслоением над $Q$, называемое трансверсальным расслоением Космана разложения . Отсюда следует, что ограничение $Z\vert _{Q}\,$ к $Q$ распадается на касательное векторное поле $Z_{K}\,$ на $Q$ и поперечное векторное поле $Z_{G},\,$ являющийся частью векторного расслоения ${\mathcal {M}}(Q)\to Q.\,$

Определение

Позволять $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ — ориентированное ортонормированное расслоение реперов ориентированного $n$-мерный Риманово многообразие $M$ с заданной метрикой $g\,$. Это директор ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$-подгруппа $\mathrm {F} M\,$, касательное расслоение линейных кадров над $M$ со структурной группой ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$.По определению можно сказать, что нам дана классическая редуктивная система. ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$-структура. Специальная ортогональная группа ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$ является редуктивной подгруппой Ли группы ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$. Действительно, существует в прямую сумму разложение ${\mathfrak {gl}}(n)={\mathfrak {so}}(n)\oplus {\mathfrak {m}}\,$, где ${\mathfrak {gl}}(n)\,$ является алгеброй Ли ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )\,$, ${\mathfrak {so}}(n)\,$ является алгеброй Ли ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,$, и ${\mathfrak {m}}\,$ это $\mathrm {Ad} _{\mathrm {S} \mathrm {O} }\,$-инвариантное векторное подпространство симметричных матриц, т.е. $\mathrm {Ad} _{a}{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {m}}\,$ для всех $a\in {\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)\,.$

Позволять $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}\colon \mathrm {F} _{SO}(M)\hookrightarrow \mathrm {F} M$ быть каноническим вложением .

Тогда можно доказать, что существует каноническое разложение Космана расслоения обратного образа. $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)$ такой, что

$i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(T\mathrm {F} M)=T\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\,,$

то есть на каждом $u\in \mathrm {F} _{SO}(M)$ у одного есть $T_{u}\mathrm {F} M=T_{u}\mathrm {F} _{SO}(M)\oplus {\mathcal {M}}_{u}\,,$ ${\mathcal {M}}_{u}$ быть волокном над $u$ из подпакета ${\mathcal {M}}(\mathrm {F} _{SO}(M))\to \mathrm {F} _{SO}(M)$ из $i_{\mathrm {F} _{SO}(M)}^{\ast }(V\mathrm {F} M)\to \mathrm {F} _{SO}(M)$. Здесь, $V\mathrm {F} M\,$ является вертикальным подрасслоением $T\mathrm {F} M\,$ и на каждом $u\in \mathrm {F} _{SO}(M)$ волокно ${\mathcal {M}}_{u}$ изоморфно векторному пространству симметричных матриц ${\mathfrak {m}}$.

Из приведенного выше канонического и эквивариантного разложения следует, что ограничение $Z\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}$ из ${\mathrm {G} \mathrm {L} }(n,\mathbb {R} )$-инвариантное векторное поле $Z\,$ на $\mathrm {F} M$ к $\mathrm {F} _{SO}(M)$ распадается на ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-инвариантное векторное поле $Z_{K}\,$ на $\mathrm {F} _{SO}(M)$, называемое векторным полем Космана, связанным с $Z\,$и поперечное векторное поле $Z_{G}\,$.

В частности, для векторного поля общего положения $X\,$ на базовом коллекторе $(M,g)\,$, отсюда следует, что ограничение ${\hat {X}}\vert _{\mathrm {F} _{SO}(M)}\,$ к $\mathrm {F} _{SO}(M)\to M$ его естественного подъема ${\hat {X}}\,$ на $\mathrm {F} M\to M$ распадается на ${\mathrm {S} \mathrm {O} }(n)$-инвариантное векторное поле $X_{K}\,$ на $\mathrm {F} _{SO}(M)$, называемый Космана лифтом $X\,$и поперечное векторное поле $X_{G}\,$.

См. также

• Комплект рамок
• Пакет ортонормированных рамок
• Основной пакет
• Спиновый пакет
• Связь (математика)
• G-структура
• Спиновый коллектор
• Спиновая структура

Ссылки

• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 4 июня 2011 г.
• Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  0-8218-1385-4
• Фатибене, Лоренцо; Франкавилья, Мауро (2003), Естественный и калибровочный естественный формализм для классических теорий поля , Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-1703-2