Рама

В математике комплект кадров является основным пакетом волокна $F(E)$ связан с любым векторным пакетом $E$ Полем Волокна $F(E)$ над точкой $x$ Является ли набор всех упорядоченных баз или кадров , для $E_{x}$ Полем Общая линейная группа действует естественным образом на $F(E)$ через изменение основы , давая рамку связку $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ -банде (где k -это звание $E$ ).

Крупный пакет плавного коллектора - это тот, который связан с его касательным пакетом . По этой причине его иногда называют пакетом касательной рамы .

Определение и строительство

Позволять $E\to X$ быть настоящим векторным пакетом ранга $k$ над топологическим пространством $X$ Полем Кадр точке в $x\in X$ это упорядоченная основа для векторного пространства $E_{x}$ Полем Эквивалентно, кадр может рассматриваться как линейный изоморфизм

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Набор всех кадров в $x$ , обозначен $F_{x}$ , имеет естественное правильное действие от общей линейной группы $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ извращенного $k\times k$ Матрицы: элемент группы $g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ действует на кадре $p$ через композицию , чтобы дать новый кадр

p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Это действие $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ на $F_{x}$ является как свободным , так и транзитивным (это следует из стандартного результата линейной алгебры, что существует уникальное инвертируемое линейное преобразование, отправляющее одну основу на другую). Как топологическое пространство, $F_{x}$ гомеоморфно $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ Хотя в нем не хватает групповой структуры, поскольку нет «предпочтительной кадры». Пространство $F_{x}$ Говорят $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ - Торср .

Кадра $E$ , обозначен $F(E)$ или $F_{\mathrm {GL} }(E)$ , это непересекаемый союз всех $F_{x}$ :

\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.

Каждая точка в $F(E)$ пара ( x , p ), где $x$ это точка в $X$ и $p$ это рамка в $x$ Полем Есть естественная проекция $\pi :F(E)\to X$ который отправляет $(x,p)$ к $x$ Полем Группа $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ действует на $F(E)$ справа, как указано выше. Это действие явно свободное, а орбиты - только волокна $\pi$ .

Основная структура комплекта

Пакет каркаса $F(E)$ может быть предоставлена естественная топология и структура пакета, определяемая структурой $E$ Полем Позволять $(U_{i},\phi _{i})$ быть местной тривиализацией $E$ Полем Тогда для каждого x ∈ U _I есть линейный изоморфизм $\phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}$ Полем Эти данные определяют биение

\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )

дано по

\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).

С этими двумя разрядами, каждый $\pi ^{-1}(U_{i})$ может быть предоставлен топология $U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ Полем Топология на $F(E)$ является последней топологией , вызванной картами включения $\pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)$ .

Со всеми вышеуказанными данными пакет кадра $F(E)$ становится клетчатки основным пучком $X$ С структурной группой $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ и местные тривиализации $(\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})$ Полем Можно проверить, что переходные функции $F(E)$ такие же, как и у $E$ .

Вышеуказанное все работает и в плавной категории: если $E$ это гладкий векторный пакет на гладком коллекторе $M$ тогда пучок рамы $E$ может быть предоставлен структуру гладкого основного пакета $M$ .

Связанные векторные пучки

Векторный пакет $E$ и его пакет каркаса $F(E)$ связаны связки . Каждый определяет другой. Пакет каркаса $F(E)$ может быть построен из $E$ Как указано выше, или, более абстрактно, используя теорему построения пакета волокна . С последним методом, $F(E)$ Является ли пакет волокна с теми же основанием, структурной группой, тривиальными районами и функциями перехода, как и $E$ Но с абстрактным волокном $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ , где действие структурной группы $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ на волокне $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ это левое умножение.

Учитывая любое линейное представление $\rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )$ есть векторный пакет

\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V

связан с $F(E)$ который дается продуктом $F(E)\times V$ Модули соотношение эквивалентности $(pg,v)\sim (p,\rho (g)v)$ для всех $g$ в $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ Полем Обозначают классы эквивалентности $[p,v]$ .

Векторный пакет $E$ естественно изоморфным для пакета $F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}$ где $\rho$ является фундаментальным представлением $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ на $\mathbb {R} ^{k}$ Полем Изоморфизм дается

[p,v]\mapsto p(v)

где $v$ вектор в $\mathbb {R} ^{k}$ и $p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}$ это рамка в $x$ Полем Можно легко проверить, что эта карта четко определена .

Любой векторный пакет, связанный с $E$ может быть дано приведенным выше строительством. Например, двойной пакет $E$ дано $F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}$ где $\rho ^{*}$ является двойным фундаментального представления. Тенсорные пачки $E$ может быть построен аналогичным образом.

Тангенсная рама

Тангентный пакет рамы (или просто пакет рамы ) гладкого коллектора $M$ Является ли комплект рамки, связанный с касанием пакета $M$ Полем Кадра $M$ часто обозначается $FM$ или $\mathrm {GL} (M)$ скорее, чем $F(TM)$ Полем В физике это иногда обозначается $LM$ Полем Если $M$ является $n$ -Дюнциальный, тогда у тангентного пакета $n$ , так что комплект рамки $M$ является принципалом $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ перевернуть $M$ .

Гладкие кадры

Местные секции пакета рамки $M$ называются гладкими кадрами на $M$ Полем Теорема поперечного сечения для основных пучков гласит, что комплект кадров тривиальен в любом открытом наборе в $U$ в $M$ который допускает гладкую раму. Учитывая плавную раму $s:U\to FU$ , тривиализация $\psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ дано

\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)

где $p$ это рамка в $x$ Полем Из этого следует, что коллектор параллелизируется тогда и только тогда, когда пакет рамки $M$ принимает глобальный раздел.

Поскольку касательный пакет $M$ тривиализируется над координатными районами $M$ Так же как и пакет рамы. Фактически, учитывая любой координатный район $U$ с координатами $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ координатные векторные поля

\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)

Определите гладкую раму на $U$ Полем Одним из преимуществ работы с каркасными пучками является то, что они позволяют работать с другими кадрами, отличными от координат кадров; Можно выбрать кадр, адаптированную к проблеме под рукой. Это иногда называют методом движущихся кадров .

Припаяя форма

Пакет каркаса коллектора $M$ является особым типом основного пакета в том смысле, что его геометрия принципиально связана с геометрией $M$ Полем Эта связь может быть выражена с помощью векторной 1-форму на $FM$ называется формой припоя (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма ). Позволять $x$ быть точкой многообразии $M$ и $p$ кадр в $x$ , так что

p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M

линейный изоморфизм $\mathbb {R} ^{n}$ с касательным пространством $M$ в $x$ Полем Припой $FM$ является $\mathbb {R} ^{n}$ -Корирован 1-формируется $\theta$ определяется

\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )

где ξ является касательным вектором $FM$ в точке $(x,p)$ , и $p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}$ является обратным картой кадров, и $d\pi$ является дифференциалом проекционной карты $\pi :FM\to M$ Полем Форма припоя горизонтальна в том смысле, что она исчезает на векторах, касающихся волокна $\pi$ и правый эквиваров в том смысле, что

R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta

где $R_{g}$ это правильный перевод $g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ Полем Форма с этими свойствами называется основной или тенсиориальной формой на $FM$ Полем Такие формы находятся в 1-1 переписки с $TM$ -Колено 1 формы $M$ которые, в свою очередь, в 1-1 переписки с плавными картами пакета $TM\to TM$ над $M$ Полем Просматривается в этом свете $\theta$ это просто карта личности на $TM$ .

В качестве соглашения об именах, термин «тавтологическая одна форма» обычно зарезервирован для случая, когда форма имеет каноническое определение, как и здесь, в то время как «форма паяла» более подходит для тех случаев, когда форма не определена канонически Полем Это соглашение здесь не наблюдается.

Ортонормальный комплект рамы

Если векторный пакет $E$ оснащен метрикой риманианского пакета , чем каждое волокно $E_{x}$ это не только векторное пространство, но и внутреннее пространство продукта . Тогда можно поговорить о наборе всех ортонормальных кадров для $E_{x}$ Полем Ортонормальный кадр для $E_{x}$ порядка Ортонормальная основа для ортонормального для $E_{x}$ или, эквивалентно, линейная изометрия

p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}

где $\mathbb {R} ^{k}$ оснащен стандартной евклидовой метрикой . Ортогональная группа $\mathrm {O} (k)$ действует свободно и транзисивно на наборе всех ортонормальных рам через правую композицию. Другими словами, набор всех ортонормальных рам - это право $\mathrm {O} (k)$ - Торср .

Ортонормальный пакет $E$ , обозначен $F_{\mathrm {O} }(E)$ , это набор всех ортонормальных кадров в каждой точке $x$ в базовом пространстве $X$ Полем Он может быть построен методом, полностью аналогичным методу обычного пакета кадров. Ортонормальный комплект рамы ранга $k$ Риеманский векторный пакет $E\to X$ является принципалом $\mathrm {O} (k)$ -Под $X$ Полем Опять же, строительство работает так же хорошо в гладкой категории.

Если векторный пакет $E$ ориентируется , затем можно определить ориентированный ортонормальный пакет рамки $E$ , обозначен $F_{\mathrm {SO} }(E)$ , как главный $\mathrm {SO} (k)$ -Полета всех положительно ориентированных ортонормальных рам.

Если $M$ является $n$ -смеренный риманский коллектор , затем ортонормальный пакет рамки $M$ , обозначен $F_{\mathrm {O} }(M)$ или $\mathrm {O} (M)$ , является ортонормальным пакетом рамы, связанным с касательным пакетом $M$ (который оснащен римановой метрикой по определению). Если $M$ ориентируется, тогда один также имеет ориентированный ортонормальный пакет рамки $F_{\mathrm {SO} }M$ .

Учитывая эриманский векторный пакет $E$ , ортонормальный пакет рамки является основным $\mathrm {O} (k)$ - Подразборка общего линейного пакета рамы. Другими словами, карта включения

i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)

Основная карта пакета . Один говорит это $F_{\mathrm {O} }(E)$ это сокращение структурной группы $F_{\mathrm {GL} }(E)$ от $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ к $\mathrm {O} (k)$ .

G -структуры

Если гладкий коллектор $M$ Поставляется с дополнительной структурой. Часто естественно рассмотреть подпад полного рамного пакета $M$ который адаптирован к данной структуре. Например, если $M$ Является ли риманский коллектор, который мы видели выше, что естественно рассмотреть ортонормальный комплект рамки $M$ Полем Ортонормальный комплект рамы - это просто сокращение структурной группы $F_{\mathrm {GL} }(M)$ в ортогональную группу $\mathrm {O} (n)$ .

В общем, если $M$ это гладкий $n$ -manifold и $G$ является лжи подгруппой $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ Мы определяем g -структуру на $M$ быть уменьшением структурной группы $F_{\mathrm {GL} }(M)$ к $G$ Полем Явно, это принцип $G$ -пучок $F_{G}(M)$ над $M$ вместе с $G$ -Коритарная карта пакета

{\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)

над $M$ .

На этом языке риманский метрика на $M$ порождает $\mathrm {O} (n)$ -Структура на $M$ Полем Ниже приведены некоторые другие примеры.

Каждый ориентированный коллектор имеет ориентированный пакет рамки, который является всего лишь $\mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ -Структура на $M$ .
громкости Форма на $M$ определяет $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ -Структура на $M$ .
А $2n$ -Сянный симплектический коллектор имеет естественный $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ -Структура.
А $2n$ -смеренный комплекс или почти сложный коллектор имеет естественный $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ -Структура.

Во многих из этих случаев $G$ -Структура на $M$ уникально определяет соответствующую структуру на $M$ Полем Например, а $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ -Структура на $M$ определяет форму объема на $M$ Полем Однако в некоторых случаях, например, для симплексных и сложных коллекторов, дополнительное условие интеграции необходимо . А $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ -Структура на $M$ уникально определяет негенированную 2-форму на $M$ , но для $M$ Чтобы быть симплектичным, эта 2-формовка также должна быть закрыта .

Ссылки

Кобаяши, Шошичи; Nomizu, Katsumi (1996), Основы дифференциальной геометрии , Vol. 1 (Новое изд.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
Кола, Иван; Мичор, Питер; Slovák, Jan (1993), природные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, архивировав из оригинала (PDF) на 2017-03-30 , извлеченный 2008-08-02
Sternberg, S. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии ((2 -е изд.), Изд.), Нью -Йорк: Челси издательство Co., ISBN 0-8218-1385-4