Векторнозначная дифференциальная форма
В математике векторнозначная дифференциальная форма на многообразии M — это дифференциальная форма на M значениями в векторном пространстве V. со более общем смысле, это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении E над M. В Обыкновенные дифференциальные формы можно рассматривать как R -значные дифференциальные формы.
Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются формы со значениями алгебры Ли . ( Форма подключения является примером такой формы.)
Определение
[ редактировать ]Пусть M — гладкое многообразие и E → M — гладкое векторное над M. расслоение Пространство гладких сечений расслоения E обозначим через Γ( E ). E p дифференциальная форма степени Λ — это гладкое сечение тензорного расслоения произведения с E -значная п ( Т ∗ M ), p -я внешняя степень кокасательного расслоения к M . Пространство таких форм обозначается
Поскольку Γ — сильный моноидальный функтор , [1] это также можно интерпретировать как
где два последних тензорных произведения являются тензорными произведениями модулей над кольцом Ω 0 ( M ) гладких R -значных функций на M (см. седьмой пример здесь ). По соглашению, E значная 0-форма — это просто часть расслоения E. - То есть,
Эквивалентно, E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения.
который полностью кососимметричен .
Пусть V — фиксированное векторное пространство . V p -значная дифференциальная форма степени p — это дифференциальная форма степени со значениями в тривиальном расслоении M × V . Пространство таких форм обозначается Ω п ( М , В ). Когда V = R, восстанавливается определение обыкновенной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм
где первое тензорное произведение представляет собой векторное пространство над R , является изоморфизмом. [2]
Операции над векторными формами
[ редактировать ]Откат
[ редактировать ]можно определить Обращение векторных форм с помощью гладких отображений, как и для обычных форм. Обратный образ E -значной формы на N с помощью гладкого отображения φ : M → N — это (φ* E )-значная форма на M , где φ* E — расслоение обратного образа E по φ.
Формула приводится так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p -формы ω на N обратный образ φ*ω определяется выражением
Клиновой продукт
[ редактировать ]Как и для обычных дифференциальных форм, можно определить клиновое произведение векторных форм. Произведение клина E 1 -формы со значением p на E 2 -форму со значением q естественно является ( E 1 ⊗ E 2 )-значной ( p + q )-формой:
Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :
В частности, клин-произведение обычной ( R -значной) p -формы с E -значной q -формой естественно является E -значной ( p + q )-формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R изоморфен естественно E ) . Для ω ∈ Ω п ( M ) и η ∈ Ω д ( M , E ) имеет место обычное соотношение коммутативности:
В общем, произведение клина двух E -значных форм — это не другая E -значная форма, а скорее ( E ⊗ E )-значная форма. Однако, если E является расслоением алгебр (т.е. пучком алгебр, а не просто векторными пространствами), можно составить композицию с умножением в E, чтобы получить E -значную форму. Если E — пучок коммутативных ассоциативных алгебр , то с этим модифицированным клиновым произведением множество всех E -значных дифференциальных форм
становится градуированной коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E некоммутативны, то Ω( M , E ) не будет градуированно-коммутативным.
Внешняя производная
[ редактировать ]Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная в пространстве V -значных форм. Это обычная внешняя производная, действующая покомпонентно относительно базиса V любого . Явно, если { e α } является базисом для V , то дифференциал V -значной p -формы ω = ω а e α определяется выражением
Внешняя производная на V -значных формах полностью характеризуется обычными соотношениями:
В более общем смысле, приведенные выше замечания относятся к E -значным формам, где E — любое плоское векторное расслоение над M (т. е. векторное расслоение, функции перехода которого постоянны). Внешняя производная определяется, как указано выше, на любой тривиализации E локальной .
Если E не плоское, то не существует естественного понятия внешней производной, действующей на E -значные формы. Нужен подключения по Е. выбор Связность на E — это линейный дифференциальный оператор, приводящий сечения E к E -значному виду:
Если E снабжено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная
продолжая ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением
где ω — E -значная p -форма, а η — обычная q -форма. В общем случае не обязательно иметь d ∇ 2 = 0. Фактически это происходит тогда и только тогда, когда связность ∇ плоская (т. е. имеет исчезающую кривизну ).
Базовые или тензорные формы на главных расслоениях
[ редактировать ]Пусть E → M — гладкое векторное расслоение ранга k над M и пусть π : F( E ) → — ассоциированное ) фрейм -расслоение E M. , которое является главным расслоением GL k ( R ) над ( M Обратный образ E π по канонически изоморфен F( E ) × ρ R к через обратное выражение [ u , v ] → u ( v ), где ρ — стандартное представление. Следовательно, обратный образ по π -значной формы E на M определяет R к -значная форма на F( E ). Нетрудно проверить, что эта обращенная форма правоэквивариантна относительно естественного действия GL k ( R ) на F( E ) × R к и обращается в нуль на вертикальных векторах (касательных векторах к F( E ), лежащих в ядре dπ ) . Такие векторные формы на F( E ) достаточно важны, чтобы требовать специальной терминологии: они называются базовыми или тензорными формами на F( E ).
Пусть π : P → M — (гладкое) главное G -расслоение и V — фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ : G → GL( V ). Базисной в или тензорной формой на P типа ρ является V -значная форма ω на P , которая эквивариантна и горизонтальна том смысле, что
- для всех g ∈ G и
- всякий раз, когда хотя бы один из v i вертикальен (т. е. d π ( v i ) = 0).
Здесь Rg для обозначает правое действие G на P некоторого g ∈ G. группы Заметим, что для 0-форм второе условие не имеет истинного значения .
Пример: Если ρ — присоединенное представление группы G в алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим требованиям; следовательно, Ω — тензорная форма присоединенного типа. «Разница» двух форм связи есть тензорная форма.
Учитывая P и ρ, как указано выше, можно построить соответствующее векторное расслоение E = P × ρ V . Тензориальные q- формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с E -значными q- на M. формами Как и в случае с главным расслоением F( E ) выше, для заданной q -формы на M со значениями в E , определите φ на P послойно, скажем, в u ,
где u рассматривается как линейный изоморфизм . тогда φ является тензорной формой типа ρ. И наоборот, для тензорной формы φ типа ρ та же формула определяет E -значную форму на M (ср. гомоморфизм Черна–Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств
- .
Пример: Пусть E — касательное расслоение к M . Тогда тождественное отображение расслоения id E : E → E является E -значной формой на M . Тавтологическая форма — это единственная форма на расслоении реперов E которая соответствует идентификатору E. , Обозначаемая θ, это тензорная форма стандартного типа.
существует связность Теперь предположим, что на P , так что существует внешнее ковариантное дифференцирование D на (различных) векторных формах на P . Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как
В частности, для нулевых форм
- .
Это в точности ковариантная производная связности на векторном расслоении E . [3]
Примеры
[ редактировать ]Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля . [4]
Примечания
[ редактировать ]- ^ «Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии» . math.stackexchange.com . Проверено 27 октября 2014 г.
- ^ Доказательство: это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный гомоморфизму выше. Общий случай можно доказать, заметив, что
- ^ Доказательство: для любой скалярнозначной тензорной нуль-формы f и любой тензорной нуль-формы φ типа ρ и Df = df , поскольку f спускается до функции на M ; ср. эта лемма 2 .
- ^ Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). «Геометрия модульных многообразий Зигеля». Продвинутые исследования в области чистой математики . 35 : 89–156.
Ссылки
[ редактировать ]- Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , Том. 1, Уайли Интерсайенс .