Jump to content

Векторнозначная дифференциальная форма

(Перенаправлено из Тензориальной формы )

В математике векторнозначная дифференциальная форма на многообразии M — это дифференциальная форма на M значениями в векторном пространстве V. со более общем смысле, это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении E над M. В Обыкновенные дифференциальные формы можно рассматривать как R -значные дифференциальные формы.

Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются формы со значениями алгебры Ли . ( Форма подключения является примером такой формы.)

Определение

[ редактировать ]

Пусть M гладкое многообразие и E M — гладкое векторное над M. расслоение Пространство гладких сечений расслоения E обозначим через Γ( E ). E p дифференциальная форма степени Λ — это гладкое сечение тензорного расслоения произведения с E -значная п ( Т M ), p внешняя степень кокасательного расслоения к M . Пространство таких форм обозначается

Поскольку Γ — сильный моноидальный функтор , [1] это также можно интерпретировать как

где два последних тензорных произведения являются тензорными произведениями модулей над кольцом Ω 0 ( M ) гладких R -значных функций на M (см. седьмой пример здесь ). По соглашению, E значная 0-форма — это просто часть расслоения E. - То есть,

Эквивалентно, E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения.

который полностью кососимметричен .

Пусть V — фиксированное векторное пространство . V p -значная дифференциальная форма степени p — это дифференциальная форма степени со значениями в тривиальном расслоении M × V . Пространство таких форм обозначается Ω п ( М , В ). Когда V = R, восстанавливается определение обыкновенной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм

где первое тензорное произведение представляет собой векторное пространство над R , является изоморфизмом. [2]

Операции над векторными формами

[ редактировать ]

можно определить Обращение векторных форм с помощью гладких отображений, как и для обычных форм. Обратный образ E -значной формы на N с помощью гладкого отображения φ : M N — это (φ* E )-значная форма на M , где φ* E расслоение обратного образа E по φ.

Формула приводится так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p -формы ω на N обратный образ φ*ω определяется выражением

Клиновой продукт

[ редактировать ]

Как и для обычных дифференциальных форм, можно определить клиновое произведение векторных форм. Произведение клина E 1 -формы со значением p на E 2 -форму со значением q естественно является ( E 1 E 2 )-значной ( p + q )-формой:

Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :

В частности, клин-произведение обычной ( R -значной) p -формы с E -значной q -формой естественно является E -значной ( p + q )-формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R изоморфен естественно E ) . Для ω ∈ Ω п ( M ) и η ∈ Ω д ( M , E ) имеет место обычное соотношение коммутативности:

В общем, произведение клина двух E -значных форм — это не другая E -значная форма, а скорее ( E E )-значная форма. Однако, если E является расслоением алгебр (т.е. пучком алгебр, а не просто векторными пространствами), можно составить композицию с умножением в E, чтобы получить E -значную форму. Если E — пучок коммутативных ассоциативных алгебр , то с этим модифицированным клиновым произведением множество всех E -значных дифференциальных форм

становится градуированной коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E некоммутативны, то Ω( M , E ) не будет градуированно-коммутативным.

Внешняя производная

[ редактировать ]

Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная в пространстве V -значных форм. Это обычная внешняя производная, действующая покомпонентно относительно базиса V любого . Явно, если { e α } является базисом для V , то дифференциал V -значной p -формы ω = ω а e α определяется выражением

Внешняя производная на V -значных формах полностью характеризуется обычными соотношениями:

В более общем смысле, приведенные выше замечания относятся к E -значным формам, где E — любое плоское векторное расслоение над M (т. е. векторное расслоение, функции перехода которого постоянны). Внешняя производная определяется, как указано выше, на любой тривиализации E локальной .

Если E не плоское, то не существует естественного понятия внешней производной, действующей на E -значные формы. Нужен подключения по Е. выбор Связность на E — это линейный дифференциальный оператор, приводящий сечения E к E -значному виду:

Если E снабжено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная

продолжая ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением

где ω — E -значная p -форма, а η — обычная q -форма. В общем случае не обязательно иметь d 2 = 0. Фактически это происходит тогда и только тогда, когда связность ∇ плоская (т. е. имеет исчезающую кривизну ).

Базовые или тензорные формы на главных расслоениях

[ редактировать ]

Пусть E M — гладкое векторное расслоение ранга k над M и пусть π : F( E ) → ассоциированное ) фрейм -расслоение E M. , которое является главным расслоением GL k ( R ) над ( M Обратный образ E π по канонически изоморфен F( E ) × ρ R к через обратное выражение [ u , v ] → u ( v ), где ρ — стандартное представление. Следовательно, обратный образ по π -значной формы E на M определяет R к -значная форма на F( E ). Нетрудно проверить, что эта обращенная форма правоэквивариантна относительно естественного действия GL k ( R ) на F( E ) × R к и обращается в нуль на вертикальных векторах (касательных векторах к F( E ), лежащих в ядре dπ ) . Такие векторные формы на F( E ) достаточно важны, чтобы требовать специальной терминологии: они называются базовыми или тензорными формами на F( E ).

Пусть π : P M — (гладкое) главное G -расслоение и V — фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ : G → GL( V ). Базисной в или тензорной формой на P типа ρ является V -значная форма ω на P , которая эквивариантна и горизонтальна том смысле, что

  1. для всех g G и
  2. всякий раз, когда хотя бы один из v i вертикальен (т. е. d π ( v i ) = 0).

Здесь Rg для обозначает правое действие G на P некоторого g G. группы Заметим, что для 0-форм второе условие не имеет истинного значения .

Пример: Если ρ — присоединенное представление группы G в алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим требованиям; следовательно, Ω — тензорная форма присоединенного типа. «Разница» двух форм связи есть тензорная форма.

Учитывая P и ρ, как указано выше, можно построить соответствующее векторное расслоение E = P × ρ V . Тензориальные q- формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с E -значными q- на M. формами Как и в случае с главным расслоением F( E ) выше, для заданной q -формы на M со значениями в E , определите φ на P послойно, скажем, в u ,

где u рассматривается как линейный изоморфизм . тогда φ является тензорной формой типа ρ. И наоборот, для тензорной формы φ типа ρ та же формула определяет E -значную форму на M (ср. гомоморфизм Черна–Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств

.

Пример: Пусть E — касательное расслоение к M . Тогда тождественное отображение расслоения id E : E E является E -значной формой на M . Тавтологическая форма — это единственная форма на расслоении реперов E которая соответствует идентификатору E. , Обозначаемая θ, это тензорная форма стандартного типа.

существует связность Теперь предположим, что на P , так что существует внешнее ковариантное дифференцирование D на (различных) векторных формах на P . Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как

В частности, для нулевых форм

.

Это в точности ковариантная производная связности на векторном расслоении E . [3]

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля . [4]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ «Глобальные сечения тензорного произведения векторных расслоений на гладком многообразии» . math.stackexchange.com . Проверено 27 октября 2014 г.
  2. ^ Доказательство: это можно проверить для p = 0, превратив базис для V в набор постоянных функций для V , что позволяет построить обратный гомоморфизму выше. Общий случай можно доказать, заметив, что
    и это потому что является подкольцом кольца Ω 0 ( M ) через постоянные функции,
  3. ^ Доказательство: для любой скалярнозначной тензорной нуль-формы f и любой тензорной нуль-формы φ типа ρ и Df = df , поскольку f спускается до функции на M ; ср. эта лемма 2 .
  4. ^ Хулек, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). «Геометрия модульных многообразий Зигеля». Продвинутые исследования в области чистой математики . 35 : 89–156.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2f22c292e4b9d76c916c8dba49e31dba__1632253800
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2f/ba/2f22c292e4b9d76c916c8dba49e31dba.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Vector-valued differential form - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)