Jump to content

Дифференциальная форма со значениями алгебры Ли

В дифференциальной геометрии форма со значениями в алгебре Ли — это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли . Такие формы имеют важные приложения в теории связностей на главном расслоении , а также в теории связностей Картана .

Формальное определение

[ редактировать ]

Дифференциал со значениями в алгебре Ли -форма на многообразии, гладкое сечение расслоения , — , где является алгеброй Ли , представляет собой котангенс расслоения и обозначает внешняя мощность .

Клиновой продукт

[ редактировать ]

Клиновое произведение обычных вещественнозначных дифференциальных форм определяется с помощью умножения действительных чисел. Для пары дифференциальных форм со значениями алгебры Ли клиновое произведение можно определить аналогично, но заменив операцию билинейной скобки Ли , чтобы получить другую форму со значениями алгебры Ли. Для -ценный -форма и -ценный -форма , их клиновое произведение дается

где - касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если и являются формами со значениями алгебры Ли, то имеем

Операция также можно определить как билинейную операцию над удовлетворяющий

для всех и .

Некоторые авторы использовали обозначения вместо . Обозначения , напоминающий коммутатор , оправдано тем, что если алгебра Ли является матричной алгеброй, тогда есть не что иное, как градуированный коммутатор и , то есть если и затем

где представляют собой клиновые произведения, образованные с помощью матричного умножения на .

Операции

[ редактировать ]

Позволять гомоморфизм алгебры Ли . Если это -значная форма на многообразии, то это -значная форма на том же многообразии, полученная применением ценностям : .

Аналогично, если является полилинейным функционалом от , тогда кладут [1]

где и являются -ценный -формы. Более того, учитывая векторное пространство , ту же формулу можно использовать для определения -значная форма когда

представляет собой многолинейную карту, это -значная форма и это -значная форма. Обратите внимание, что когда

предоставление равносильно совершению действия на ; то есть, определяет представление

и, наоборот, любое представление определяет с условием . Например, если (кронштейн ), то восстанавливаем определение приведенное выше, с , присоединенное представление . (Обратите внимание на связь между и выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и .)

В общем, если это -ценный -форма и это -ценный -форма, то чаще всего пишут когда . Явно,

С помощью этих обозначений, например, имеем:

.

Пример: Если это -значная однозначная форма (например, форма подключения ), представление в векторном пространстве и а -значная нулевая форма, тогда

[2]

Формы со значениями в присоединенном пакете

[ редактировать ]

Позволять быть гладким главным расслоением со структурной группой и . действует на через присоединенное представление , и поэтому можно сформировать связанный пакет:

Любой -значные формы на базисном пространстве находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорными формами на присоединенного типа.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ С. Кобаяши, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека Wiley Classics), Том 1, 2. Глава XII, § 1.}}
  2. ^ Поскольку , у нас это есть
    является
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1205d3a8dd78508f98ecac62caee7ff4__1702382340
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/12/f4/1205d3a8dd78508f98ecac62caee7ff4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Lie algebra–valued differential form - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)