Векторнозначная дифференциальная форма

В математике векторнозначная дифференциальная форма на многообразии M это дифференциальная форма на M со значениями в векторном пространстве V. — В более общем смысле, это дифференциальная форма со значениями в некотором векторном расслоении E над M . Обыкновенные дифференциальные формы можно рассматривать как R -значные дифференциальные формы.

Важным случаем векторнозначных дифференциальных форм являются формы со значениями алгебры Ли . ( Форма подключения является примером такой формы.)

Определение

Пусть M — гладкое многообразие и E → M гладкое векторное расслоение над M. — Обозначим пространство гладких сечений расслоения E через Γ( E ). E -значная дифференциальная форма степени p это гладкое сечение тензорного расслоения произведения E — с Λ ^п ( Т ^∗ M ), p -я внешняя степень кокасательного расслоения к M . Пространство таких форм обозначается

$\Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).$

Поскольку Γ — сильный моноидальный функтор , это также можно интерпретировать как

$\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),$

где два последних тензорных произведения являются тензорными произведениями модулей над кольцом Ω ⁰ ( M ) гладких R -значных функций на M (см. седьмой пример здесь ). По соглашению, E просто часть расслоения E. -значная 0-форма — это То есть,

$\Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,$

Эквивалентно, E -значная дифференциальная форма может быть определена как морфизм расслоения.

$TM\otimes \cdots \otimes TM\to E$

который полностью кососимметричен .

Пусть V — фиксированное векторное пространство . V -значная дифференциальная форма степени p — это дифференциальная форма степени p со значениями в тривиальном расслоении M × V . Пространство таких форм обозначается Ω ^п ( М , В ). Когда V = R , восстанавливается определение обыкновенной дифференциальной формы. Если V конечномерно, то можно показать, что естественный гомоморфизм

$\Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),$

где первое тензорное произведение представляет собой векторное пространство над R , является изоморфизмом.

Операции над векторными формами

Откат

можно определить Обращение векторных форм с помощью гладких отображений , как и для обычных форм. Обратный образ E -значной формы на N с помощью гладкого отображения φ : M → N — это (φ* E )-значная форма на M , где φ* E — расслоение обратного образа E по φ.

Формула приводится так же, как и в обычном случае. Для любой E -значной p -формы ω на N обратный образ φ*ω определяется выражением

$(\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).$

Клиновой продукт

Как и для обычных дифференциальных форм, можно определить клиновое произведение векторных форм. Произведение клина E ₁ со значением p -формы E ₂ -форму со значением на q естественно является ( E ₁ ⊗ E ₂ )-значной ( p + q )-формой:

$\wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).$

Определение такое же, как и для обычных форм, за исключением того, что действительное умножение заменяется тензорным произведением :

$(\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).$

В частности, клин-произведение обычной ( R -значной) p -формы с E -значной q -формой естественно является E -значной ( p + q )-формой (поскольку тензорное произведение E с тривиальным расслоением M × R изоморфен естественно E ) . Для ω ∈ Ω ^п ( M ) и η ∈ Ω ^д ( M , E ) имеет место обычное соотношение коммутативности:

$\omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .$

В общем, произведение клина двух E -значных форм — это не другая E -значная форма, а скорее ( E ⊗ E )-значная форма. Однако, если E является расслоением алгебр (т.е. пучком алгебр , а не просто векторными пространствами), можно составить композицию с умножением в E , чтобы получить E -значную форму. Если E — пучок коммутативных ассоциативных алгебр , то с этим модифицированным клиновым произведением множество всех E -значных дифференциальных форм

$\Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)$

становится градуированной коммутативной ассоциативной алгеброй. Если слои E некоммутативны, то Ω( M , E ) не будет градуированно-коммутативным.

Внешняя производная

Для любого векторного пространства V существует естественная внешняя производная в пространстве V -значных форм. действующая покомпонентно относительно любого базиса V Это обычная внешняя производная , . Явно, если { e _α } является базисом для V , то дифференциал V -значной p -формы ω = ω ^а e _α определяется выражением

$d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,$

Внешняя производная на V -значных формах полностью характеризуется обычными соотношениями:

${\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}$

В более общем смысле, приведенные выше замечания относятся к E -значным формам, где E — любое плоское векторное расслоение над M (т. е. векторное расслоение, функции перехода которого постоянны). Внешняя производная определяется, как указано выше, на любой тривиализации E локальной .

Если E не плоское, то не существует естественного понятия внешней производной, действующей на E -значные формы. Нужен подключения по Е. выбор Связность на E — это линейный дифференциальный оператор , приводящий сечения E к E -значному виду:

$\nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).$

Если E снабжено связностью ∇, то существует единственная ковариантная внешняя производная

$d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)$

продолжая ∇. Ковариантная внешняя производная характеризуется линейностью и уравнением

$d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta$

где ω — E -значная p -форма, а η — обычная q -форма. В общем случае не обязательно иметь d _∇ ² = 0. Фактически это происходит тогда и только тогда, когда связность ∇ плоская (т. е. имеет исчезающую кривизну ).

Базовые или тензорные формы на главных расслоениях

Пусть E → M — гладкое векторное расслоение ранга k над M и пусть π F( E ) → M — ( ассоциированное ) фрейм-расслоение E , которое является главным расслоением GL _k ( R ) над M. : Обратный образ E π по ) канонически изоморфен F( E × _ρ R ^к через обратное к [ u , v ] → u ( v ), где ρ — стандартное представление. Следовательно, обратный образ по π -значной формы E на M определяет R ^к -значная форма на F( E ). Нетрудно проверить, что эта обращенная форма правоэквивариантна относительно естественного действия GL _k ( R ) на F( E ) × R ^к и обращается в нуль на вертикальных векторах (касательных векторах к F( E ), лежащих в ядре dπ ) . Такие векторные формы на F( E ) достаточно важны, чтобы требовать специальной терминологии: они называются базовыми или тензорными формами на F( E ).

Пусть π : P → M — (гладкое) главное G -расслоение и V — фиксированное векторное пространство вместе с представлением ρ : G → GL( V ). Базисной что или тензорной формой на P типа ρ является V -значная форма ω на P , которая эквивариантна и горизонтальна в том смысле,

1. $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ для всех g ∈ G и
2. $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ всякий раз, когда хотя бы один из v _i вертикальен (т. е. d π ( v _i ) = 0).

Здесь Rg _P обозначает правое действие G на группы для g ∈ G. некоторого Заметим, что для 0-форм второе условие не имеет истинного значения .

Пример: Если ρ — присоединенное представление группы G в алгебре Ли, то форма связности ω удовлетворяет первому условию (но не второму). Соответствующая форма кривизны Ω удовлетворяет обоим требованиям; следовательно, Ω — тензорная форма присоединенного типа. «Разница» двух форм связи есть тензорная форма.

Учитывая P и ρ , как указано выше, можно построить соответствующее векторное расслоение E = P × _ρ V . Тензориальные q формы на P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с E -значными q -формами на M. - Как и в случае с главным расслоением F( E ) выше, для заданной q -формы ${\overline {\phi }}$ на M со значениями в E , определите φ на P послойно, скажем, в u ,

$\phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}$

где u рассматривается как линейный изоморфизм $V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]$. тогда φ является тензорной формой типа ρ. И наоборот, для тензорной формы φ типа ρ та же формула определяет E -значную форму ${\overline {\phi }}$ на M (ср. гомоморфизм Черна–Вейля ). В частности, существует естественный изоморфизм векторных пространств

$\Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f$.

Пример: Пусть E — касательное расслоение к M . Тогда тождественное отображение расслоения id _E : E → E является E -значной формой на M . Тавтологическая форма — это единственная форма на расслоении реперов E , которая соответствует идентификатору _E . Обозначаемая θ, это тензорная форма стандартного типа.

существует связность, Теперь предположим, что на P так что существует внешнее ковариантное дифференцирование D на (различных) векторных формах на P . Благодаря указанному выше соответствию D также действует на E -значные формы: определим ∇ как

$\nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.$

В частности, для нулевых форм

$\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)$.

Это в точности ковариантная производная связности на векторном расслоении E .

Примеры

Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля .

Ссылки

• Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , Том. 1, Уайли Интерсайенс .