Плоское векторное расслоение

В математике называется векторное расслоение плоским, если оно наделено линейной связностью с исчезающей кривизной , т. е. плоской связностью .

Когомологии де Рама плоского векторного расслоения

Позволять $\pi :E\to X$ обозначаем плоское векторное расслоение, а $\nabla :\Gamma (X,E)\to \Gamma \left(X,\Omega _{X}^{1}\otimes E\right)$ — ковариантная производная, связанная с плоской связностью на E.

Позволять $\Omega _{X}^{*}(E)=\Omega _{X}^{*}\otimes E$ обозначают векторное пространство фактически пучок модулей над ( ${\mathcal {O}}_{X}$ ) дифференциальных форм на X со значениями в E . степени 1 производная определяет эндоморфизм d , дифференциал Ковариантная $\Omega _{X}^{*}(E)$ , а условие плоскостности эквивалентно свойству $d^{2}=0$ .

Другими словами, градуированное векторное пространство $\Omega _{X}^{*}(E)$ представляет собой коцепной комплекс . Его когомологии называются когомологиями де Рама E E или когомологиями де Рама с коэффициентами, локальной системой коэффициентов скрученными .

Плоские тривиализации

Тривиализация плоского векторного расслоения называется плоской, если форма связности в этой тривиализации обращается в нуль. Эквивалентным определением плоского расслоения является выбор тривиализирующего атласа с локально постоянными отображениями переходов.

Примеры

Тривиальные линейные расслоения могут иметь несколько плоских структур расслоения. Примером может служить тривиальное расслоение над $\mathbb {C} \backslash \{0\},$ с формами подключения 0 и $-{\frac {1}{2}}{\frac {dz}{z}}$ . Параллельные векторные поля постоянны в первом случае и пропорциональны локальным определениям квадратного корня во втором.
Настоящий канонический расслоение строк $\Lambda ^{\mathrm {top} }M$ M дифференциального многообразия представляет собой плоское линейное расслоение, называемое ориентационным расслоением . Его разделы представляют собой объемные формы .
Риманово многообразие является плоским тогда и только тогда, когда его связность Леви-Чивита придает его касательному векторному расслоению плоскую структуру.