Якобианская разновидность

В математике якобианское многообразие J ( C ) неособой алгебраической кривой C рода g пространство представляет собой модулей степени 0 линейных расслоений . Это связный компонент единицы в Пикара группе C , следовательно, абелево многообразие .

Введение

Многообразие Якобиана названо в честь Карла Густава Якоби , который доказал полную версию теоремы Абеля–Якоби , превратив утверждение Нильса Абеля об инъективности в изоморфизм. Это принципиально поляризованное абелево многообразие размерности g и, следовательно , над комплексными числами это комплексный тор . Если p является точкой C , то кривая C может быть отображена в подмногообразие J , причем данная точка p отображается в единицу J , а C порождает J как группу .

Построение сложных кривых

Над комплексными числами многообразие Якобиана можно реализовать как фактор-пространство V / L , где V — двойственное векторное пространство всех глобальных голоморфных дифференциалов на C , а L — решетка всех элементов V вида

$[\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$

где γ замкнутый путь в C. — Другими словами,

$J(C)=H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}/H_{1}(C),$

с $H_{1}(C)$ встроенный в $H^{0}(\Omega _{C}^{1})^{*}$через карту выше. Это можно сделать явно с использованием тета-функций .

Якобиан кривой над произвольным полем был построен Вейлем (1948) как часть доказательства гипотезы Римана для кривых над конечным полем.

Теорема Абеля-Якоби утверждает, что построенный таким образом тор представляет собой многообразие, классический якобиан кривой, которое действительно параметризует линейные расслоения степени 0, то есть его можно отождествить со своим многообразием Пикара дивизоров степени 0 по модулю линейной эквивалентности.

Алгебраическая структура

Как группа якобианское многообразие кривой изоморфно фактору группы дивизоров нулевой степени по подгруппе главных дивизоров, т. е. дивизоров рациональных функций. Это справедливо для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми, при условии, что рассматриваются дивизоры и функции, определенные над этим полем.

Дальнейшие понятия

Теорема Торелли утверждает, что комплексная кривая определяется своим якобианом (с его поляризацией).

Проблема Шоттки спрашивает, какие принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых.

, Многообразие Пикара многообразие Альбанезе , обобщенный якобиан и промежуточные якобианы являются обобщениями якобиана для многообразий более высокой размерности. Для многообразий более высокой размерности конструкция многообразия Якобиана как факторпространства голоморфных 1-форм обобщается и дает многообразие Альбанезе , но, вообще говоря, оно не обязательно должно быть изоморфно многообразию Пикара.

См. также

• Матрица периода . Матрицы периодов являются полезным методом вычисления якобиана кривой.
• Структура Ходжа – это обобщения якобианов.
• Теорема Хонды – Тейта - классифицирует абелевы многообразия над конечными полями с точностью до изогении.
• Средний якобиан

Ссылки

Вычислительные методы

• Шиндлер, Бернхард (1993). «Матрицы периодов гиперэллиптических кривых» . Манускрипта Математика . 78 (4): 369–380. дои : 10.1007/BF02599319 . S2CID   122944746 .
• Андерсон, Грег В. (2002). «Абелианты и их применение к элементарной конструкции якобианов» . Достижения в математике . 172 (2): 169–205. arXiv : math/0112321 . дои : 10.1016/S0001-8708(02)00024-5 . S2CID   2458575 . – методы построения якобианов

Классы изогении

• Хау, Эверетт В. (2005). «Бесконечные семейства пар кривых над Q с изоморфными якобианами». Журнал Лондонского математического общества . 72 (2): 327–350. arXiv : math/0304471 . дои : 10.1112/S0024610705006812 . S2CID   5742703 .
• Чай, Чинг-Ли; Оорт, Франс Оорт (2012). «Абелевы многообразия, изогенные якобиану» . Анналы математики . 176 : 589–635. дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.11 . S2CID   3153696 .
• Абелевы многообразия, изогенные ни одному якобиану

Криптография

• Кривые, якобианы и криптография

Общие

• П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Wiley Interscience, стр. 333–363, ISBN  0-471-05059-8
• Якоби, CGJ (1832 г.). «Общие соображения трансцендентибуса Абелианиса». Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 1832 (9): 394–403. дои : 10.1515/crll.1832.9.394 . S2CID   120125760 .
• Якоби, CGJ (1835), «О четверно-периодических функциях двух переменных, на которых основана теория трансцендентных абелианов» , Дж. Рейн Ангью. Математика. , 13 : 55–78
• Дж. С. Милн (1986), «Якобианские разновидности», Арифметическая геометрия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 167–212, ISBN.  0-387-96311-1
• Мамфорд, Дэвид (1975), Кривые и их якобианы , Издательство Мичиганского университета, Анн-Арбор, Мичиган, MR   0419430
• Шокуров, В.В. (2001) [1994], «Многообразие Якоби» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Вейль, Андре (1948), Абелевы многообразия и алгебраические кривые , Париж: Hermann, MR   0029522 , OCLC   826112
• Хартсхорн, Робин (19 декабря 1977 г.), Алгебраическая геометрия , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-90244-9