Задача Шоттки

В математике проблема Шоттки, названная в честь Фридриха Шоттки , является классическим вопросом алгебраической геометрии , требующим характеристики якобиевых многообразий среди абелевых многообразий .

Геометрическая формулировка [ править ]

Точнее, следует рассматривать алгебраические кривые $C$ данного рода $g$ и их якобианы $\operatorname {Jac} (C)$ . Есть пространство модулей ${\mathcal {M}}_{g}$ таких кривых и пространство модулей абелевых многообразий , ${\mathcal {A}}_{g}$ , размерности $g$ , которые принципиально поляризованы . Существует морфизм

$\operatorname {Jac} :{\mathcal {M}}_{g}\to {\mathcal {A}}_{g}$

который на точках ( геометрических точках ) принимает класс изоморфизма точнее, $[C]$ к $[\operatorname {Jac} (C)]$ . Содержание теоремы Торелли состоит в том, что $\operatorname {Jac}$ инъективен (опять же по точкам). Задача Шоттки требует описания образа $\operatorname {Jac}$ , обозначенный ${\mathcal {J}}_{g}=\operatorname {Jac} ({\mathcal {M}}_{g})$ . ^[1]

Размерность ${\mathcal {M}}_{g}$ является $3g-3$ , ^[2] для $g\geq 2$ , а размерность ${\mathcal {A}}_{g}$ есть g ( g + 1)/2. Это означает, что размерности одинаковы (0, 1, 3, 6) для g = 0, 1, 2, 3. Поэтому $g=4$ — это первый случай изменения размеров, который исследовал Ф. Шоттки в 1880-х годах. Шоттки применил тета-константы , которые являются модулярными формами верхнего полупространства Зигеля , чтобы определить локус Шоттки в ${\mathcal {A}}_{g}$ . Более точная форма вопроса состоит в том, чтобы определить, является ли образ $\operatorname {Jac}$ существенно совпадает с локусом Шоттки (другими словами, плотен ли он там по Зарисскому).

Случай измерения 1 [ править ]

Все эллиптические кривые сами по себе являются якобианами, следовательно, набор модулей эллиптических кривых ${\mathcal {M}}_{1,1}$ является моделью для ${\mathcal {A}}_{1}$ .

Размеры 2 и 3 [ править ]

В случае абелевых поверхностей существует два типа абелевых многообразий: ^[3] якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов эллиптических кривых . Это означает, что пространства модулей

${\mathcal {M}}_{2},{\mathcal {M}}_{1,1}\times {\mathcal {M}}_{1,1}$

встроить в ${\mathcal {A}}_{2}$ . Аналогичное описание существует и для размерности 3, поскольку абелево многообразие может быть произведением якобианов.

решетки Формулировка периодов

Если описать пространство модулей ${\mathcal {A}}_{g}$ Если говорить интуитивно, то в качестве параметров, от которых зависит абелево многообразие, проблема Шоттки просто спрашивает, какое условие на параметры означает, что абелевое многообразие происходит из якобиана кривой. классическому случаю над полем комплексных чисел Основное внимание уделяется , а затем абелевое многообразие A представляет собой просто комплексный тор определенного типа, возникающий из решетки в C. ^г. Говоря относительно конкретно, возникает вопрос, какие решетки являются решетками периодов компактных римановых поверхностей .

Римана Матричная формулировка

Обратите внимание, что матрица Римана сильно отличается от любого тензора Римана.

Одним из крупнейших достижений Бернхарда Римана была его теория комплексных торов и тэта-функций . Используя тэта-функцию Римана , необходимые и достаточные условия на решетке были записаны Риманом для решетки в C. ^г чтобы соответствующий тор вкладывался в комплексное проективное пространство . (Интерпретация, возможно, пришла позже, вместе с Соломоном Лефшецем , но теория Римана была окончательной.) Данные представляют собой то, что сейчас называется матрицей Римана . Поэтому сложная проблема Шоттки становится вопросом характеристики матриц периодов компактных римановых поверхностей рода g , образованных путем интегрирования базиса абелевых интегралов вокруг базиса первой группы гомологии среди всех матриц Римана. Она была решена Такахиро Сиотой в 1986 году. ^[4]

Геометрия задачи [ править ]

Существует ряд геометрических подходов, и также было показано, что этот вопрос включает в себя уравнение Кадомцева – Петвиашвили , связанное с солитонов теорией .

См. также [ править ]

Модули абелевых многообразий

Ссылки [ править ]

^ Грушевский, Самуэль (29 сентября 2010 г.). «Проблема Шоттки». arXiv : 1009.0369 [ math.AG ].
^ следует из элементарной теории деформации.
^ Оорт, Ф. (1973). Принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями (PDF) . Орхусский университет. Математический институт. OCLC 897746916 . Архивировано из оригинала 9 июня 2020 года.
^ Сиота, Такахиро (1986). «Характеризация якобианских многообразий в терминах солитонных уравнений». Математические изобретения . 83 (2): 333–382. Бибкод : 1986InMat..83..333S . дои : 10.1007/BF01388967 . S2CID 120739493 .

Бовилль, Арно (1987), «Проблема Шоттки и гипотеза Новикова» , Asterisk , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN 0303-1179 , MR 0936851
Дебарр, Оливье (1995), «Проблема Шоттки: обновление» , Текущие темы комплексной алгебраической геометрии (Беркли, Калифорния, 1992/93) , Math. наук. Рез. Инст. Опубл., т. 1, с. 28, Cambridge University Press , стр. 57–64, MR 1397058.
Гир, Г. ван дер (2001) [1994], «Проблема Шоттки» , Энциклопедия математики , EMS Press
Грушевский, Сэмюэл (2011), «Проблема Шоттки» (PDF) , в Капорасо, Люсия ; МакКернан, Джеймс; Попа, Михня; и др. (ред.), Текущие достижения в алгебраической геометрии , Публикации ИИГС, том. 59, ISBN 978-0-521-76825-2

[1] Грушевский, Самуэль (29 сентября 2010 г.). «Проблема Шоттки». arXiv : 1009.0369 [ math.AG ].

[2] следует из элементарной теории деформации.

[3] Оорт, Ф. (1973). Принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями (PDF) . Орхусский университет. Математический институт. OCLC 897746916 . Архивировано из оригинала 9 июня 2020 года.

[4] Сиота, Такахиро (1986). «Характеризация якобианских многообразий в терминах солитонных уравнений». Математические изобретения . 83 (2): 333–382. Бибкод : 1986InMat..83..333S . дои : 10.1007/BF01388967 . S2CID 120739493 .

[1]

[2]

[3]

[4]