Модули абелевых многообразий

Абелевы многообразия являются естественным обобщением эллиптических кривых , включая алгебраические торы в более высоких измерениях. Подобно тому, как эллиптические кривые имеют естественное пространство модулей ${\mathcal {M}}_{1,1}$ по характеристике 0, построенной как фактор верхней полуплоскости по действию $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ , ^[1] аналогичная конструкция существует для абелевых многообразий ${\mathcal {A}}_{g}$ используя верхнее полупространство Зигеля и симплектическую группу $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ . ^[2]

Конструкции по характеристике 0

Принципиально поляризованные абелевы многообразия

Напомним, что верхняя полуплоскость Зигеля определяется выражением ^[3]

$H_{g}=\{\Omega \in \operatorname {Mat} _{g,g}(\mathbb {C} ):\Omega ^{T}=\Omega ,\operatorname {Im} (\Omega )>0\}\subseteq \operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {C} )$

которое является открытым подмножеством в $g\times g$ симметричные матрицы (поскольку $\operatorname {Im} (\Omega )>0$ является открытым подмножеством $\mathbb {R}$ , и $\operatorname {Im}$ является непрерывным). Обратите внимание, если $g=1$ это дает $1\times 1$ матрицы с положительной мнимой частью, следовательно, это множество является обобщением верхней полуплоскости. Тогда любая точка $\Omega \in H_{g}$ дает комплексный тор

$X_{\Omega }=\mathbb {C} ^{g}/(\Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g})$

с главной поляризацией $H_{\Omega }$ из матрицы $\Omega ^{-1}$ ^[2]^{стр. 34}. Оказывается, все принципиально поляризованные абелевы многообразия возникают таким образом, что дает $H_{g}$ структура пространства параметров для всех принципиально поляризованных абелевых многообразий. Но существует эквивалентность, где

$X_{\Omega }\cong X_{\Omega '}\iff \Omega =M\Omega '$ для $M\in \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$

следовательно, пространство модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий строится из стекового фактора

${\mathcal {A}}_{g}=[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\backslash H_{g}]$

что дает Делиня-Мамфорда преимущество $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )$ . Если вместо этого задается коэффициентом GIT , то это дает грубое пространство модулей $A_{g}$ .

Принципиально поляризованные абелевы многообразия с n -структурой уровня

Во многих случаях легче работать с пространством модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий с n -структурой уровня, поскольку это приводит к ужесточению проблемы модулей, которая дает функтор модулей вместо стека модулей. ^[4]^[5] Это означает, что функтор может быть представлен алгебраическим многообразием, например многообразием или схемой , а не стеком. Уровень n базисом -структуры задается фиксированным

H_{1}(X_{\Omega },\mathbb {Z} /n)\cong {\frac {1}{n}}\cdot L/L\cong n{\text{-torsion of }}X_{\Omega }

где $L$ это решетка $\Omega \mathbb {Z} ^{g}+\mathbb {Z} ^{g}\subset \mathbb {C} ^{2g}$ . Фиксация такого базиса удаляет автоморфизмы абелева многообразия в точке пространства модулей, следовательно, существует настоящее алгебраическое многообразие без структуры стабилизатора. Обозначим

$\Gamma (n)=\ker[\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )/n]$

и определить

$A_{g,n}=\Gamma (n)\backslash H_{g}$

как факторвариант.

Ссылки

^ Хейн, Ричард (25 марта 2014 г.). «Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых». arXiv : 0812.1803 [ math.AG ].
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Арапура, Дону. «Абелевы многообразия и модули» (PDF) .
^ Биркенхаке, Кристина; Ланге, Герберт (2004). Сложные абелевы многообразия . Основные учения математических наук (2-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. стр. 210–241. ISBN 978-3-540-20488-6 .
^ Мамфорд, Дэвид (1983), Артин, Майкл; Тейт, Джон (ред.), «К перечислительной геометрии пространства модулей кривых», Арифметика и геометрия: статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том II: Геометрия , прогресс в математике, Биркхойзер, стр. 271–328, doi : 10.1007/978-1-4757-9286-7_12 , ISBN 978-1-4757-9286-7
^ Структуры уровня n используются для построения теории пересечения стеков Делиня – Мамфорда.

См. также

[1] Хейн, Ричард (25 марта 2014 г.). «Лекции по пространствам модулей эллиптических кривых». arXiv : 0812.1803 [ math.AG ].

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Арапура, Дону. «Абелевы многообразия и модули» (PDF) .

[3] Биркенхаке, Кристина; Ланге, Герберт (2004). Сложные абелевы многообразия . Основные учения математических наук (2-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer Verlag. стр. 210–241. ISBN 978-3-540-20488-6 .

[4] Мамфорд, Дэвид (1983), Артин, Майкл; Тейт, Джон (ред.), «К перечислительной геометрии пространства модулей кривых», Арифметика и геометрия: статьи, посвященные И. Р. Шафаревичу по случаю его шестидесятилетия. Том II: Геометрия , прогресс в математике, Биркхойзер, стр. 271–328, doi : 10.1007/978-1-4757-9286-7_12 , ISBN 978-1-4757-9286-7

[5] Структуры уровня n используются для построения теории пересечения стеков Делиня – Мамфорда.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]