Схема Гильберта

В алгебраической геометрии , разделе математики , схема Гильберта — это схема , которая представляет собой пространство параметров для замкнутых подсхем некоторого проективного пространства (или более общей проективной схемы), уточняющее многообразие Чоу . Схема Гильберта представляет собой несвязное объединение проективных подсхем, соответствующих полиномам Гильберта . Основная теория схем Гильберта была разработана Александром Гротендиком ( 1961 ). Пример Хиронаки показывает, что непроективные многообразия не обязательно должны иметь схемы Гильберта.

Схема

Схема Гильберта $\mathbf {Hilb} (n)$ из $\mathbb {P} ^{n}$ классифицирует замкнутые подсхемы проективного пространства в следующем смысле: для любой локально нетеровой схемы S множество S -значных точек

$\operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))$

схемы Гильберта естественно изоморфна множеству замкнутых подсхем схемы $\mathbb {P} ^{n}\times S$ которые плоские над S . Закрытые подсхемы $\mathbb {P} ^{n}\times S$ которые плоские над S, неформально можно рассматривать как семейства подсхем проективного пространства, параметризованного S . Схема Гильберта $\mathbf {Hilb} (n)$ распадается как непересекающееся объединение частей $\mathbf {Hilb} (n,P)$ соответствующая схеме Гильберта подсхем проективного пространства с полиномом Гильберта P . Каждая из этих частей проективна над $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$.

Конструкция как детерминантная разновидность

Гротендик построил схему Гильберта. $\mathbf {Hilb} (n)$ из $n$-мерный проективный $\mathbb {P} ^{n}$ Пространство как подсхема грассманиана , определяемого обращением в нуль различных определителей . Его фундаментальное свойство состоит в том, что для схемы $T$, он представляет функтор, чей $T$-значные точки представляют собой замкнутые подсхемы $\mathbb {P} ^{n}\times T$ которые плоские $T$.

Если $X$ представляет собой подсхему $n$-мерное проективное пространство, тогда $X$ соответствует градуированному идеалу $I_{X}^{\bullet }$ кольца полиномов $S$ в $n+1$ переменные, с оцененными частями $I_{X}^{m}$. Для достаточно большого $m$ все группы высших когомологий $X$ с коэффициентами в ${\mathcal {O}}(m)$ исчезнуть. Используя точную последовательность

$0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$

у нас есть $I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))$ имеет размерность $Q(m)-P_{X}(m)$, где $Q$ — многочлен Гильберта проективного пространства. Это можно показать, тензоризировав точную последовательность, приведенную выше, с помощью локально плоских пучков. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)$, давая точную последовательность, в которой два последних члена имеют тривиальные когомологии, подразумевая тривиальность высших когомологий $I_{X}(m)$. Заметим, что мы используем равенство полинома Гильберта когерентного пучка с эйлеровой характеристикой его групп когомологий пучка.

Выберите достаточно большое значение $m$. $(Q(m)-P_{X}(m))$-мерное пространство $I_{X}^{m}$ является подпространством $Q(m)$-мерное пространство $S^{m}$, поэтому представляет собой точку грассманиана ${\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))$. Это даст вложение части схемы Гильберта, соответствующей полиному Гильберта $P_{X}$ в этот Грассманиан.

Осталось описать структуру схемы на этом изображении, то есть описать достаточное количество элементов для соответствующего ему идеала. Достаточное количество таких элементов задается условиями, согласно которым отображение I _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m ) имеет ранг не более dim ( I _X ( k + m )) для всех положительных k , что эквивалентно к исчезновению различных детерминантов. (Более тщательный анализ показывает, что достаточно просто взять k = 1. )

Универсальность

Учитывая закрытую подсхему $Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X$ над полем с полиномом Гильберта $P$, схема Гильберта H= Hilb ( n , P ) имеет универсальную подсхему $W\subset X\times H$ ровно над $H$ такой, что

• Волокна $W_{x}$ по закрытым точкам $x\in H$ являются закрытыми подсхемами $X$. Для $Y\subset X$ обозначим эту точку $x$ как $[Y]\in H$.
• $H$ универсален относительно всех плоских семейств подсхем $X$ имея полином Гильберта $P$. То есть, учитывая схему $T$ и плоская семья $W'\subset X\times T$, существует единственный морфизм $\phi :T\to H$ такой, что $\phi ^{*}W\cong W'$.

Касательное пространство

Касательное пространство точки $[Y]\in H$ задается глобальными сечениями нормального расслоения $N_{Y/X}$; то есть,

$T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})$

Беспрепятственное пересечение полных перекрестков

Для локальных полных пересечений $Y$ такой, что $H^{1}(Y,N_{X/Y})=0$, точка $[Y]\in H$ гладкий. Это подразумевает деформацию любую $Y$ в $X$ является беспрепятственным.

Размер касательного пространства

В случае $H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0$, размерность $H$ в $[Y]$ больше или равно $h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})$.

В дополнение к этим свойствам Фрэнсис Сауэрби Маколей ( 1927 ) определил, для каких полиномов действует схема Гильберта. $\mathbf {Hilb} (n,P)$ непусто, и Робин Хартшорн ( 1966 ) показал, что если $\mathbf {Hilb} (n,P)$ непусто, то оно линейно связно. Таким образом, две подсхемы проективного пространства находятся в одной связной компоненте схемы Гильберта тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же полином Гильберта.

Схемы Гильберта могут иметь плохие особенности, такие как неприводимые компоненты, которые не приведены во всех точках. Они также могут иметь неприводимые компоненты неожиданно большой размерности. Например, можно было бы ожидать, что схема Гильберта d точек (точнее, размерность 0, длина d подсхем) схемы размерности n будет иметь размерность dn , но если n ≥ 3, ее неприводимые компоненты могут иметь гораздо большую размерность.

интерпретация

Существует альтернативная интерпретация схемы Гильберта, которая приводит к обобщению относительных схем Гильберта, параметризующих подсхемы относительной схемы. Для фиксированной базовой схемы $S$, позволять $X\in (Sch/S)$ и пусть

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets$

быть функтором, отправляющим относительную схему $T\to S$ множеству классов изоморфизма множества

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim$

где отношение эквивалентности задается классами изоморфизма $Z$. Эта конструкция является функториальной, поскольку учитывает обратные связи семейств. Данный $f:T'\to T$, есть семья $f^{*}Z=Z\times _{T}T'$ над $T'$.

Представимость для проективных карт

Если структурная карта $X\to S$ проективен, то этот функтор представляется построенной выше схемой Гильберта. Обобщение этого на случай отображений конечного типа требует технологии алгебраических пространств, развитой Артином.

карт алгебраических пространств

В наибольшей общности функтор Гильберта определен для отображения конечного типа алгебраических пространств. $f\colon X\to B$ определено по схеме $S$. Тогда функтор Гильберта определяется как

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets$

отправка Т в

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}$.

Этот функтор представим не схемой, а алгебраическим пространством. Кроме того, если $S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$, и $X\to B$ — отображение схем конечного типа, их функтор Гильберта представляется алгебраическим пространством.

Примеры схем Гильберта

Схемы гиперповерхностей Фано

Одним из мотивирующих примеров для исследования схемы Гильберта вообще была схема Фано проективной схемы. Учитывая подсхему $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ степени $d$, есть схема $F_{k}(X)$ в $\mathbb {G} (k,n)$ параметризация $H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}$ где $H$ это $k$-самолет в $\mathbb {P} ^{n}$, то есть это вложение первой степени $\mathbb {P} ^{k}$. Для гладких поверхностей в $\mathbb {P} ^{3}$ степени $d\geq 3$, непустые схемы Фано $F_{k}(X)$ гладкие и нульмерные. Это связано с тем, что линии на гладких поверхностях имеют отрицательное самопересечение.

Схема точек Гильберта

Другим распространенным набором примеров являются схемы Гильберта. $n$-точки схемы $X$, обычно обозначается $X^{[n]}$. Для $\mathbb {P} ^{2}$ существует хорошая геометрическая интерпретация, где граничные локусы $B\subset H$ описание пересечения точек можно рассматривать как параметризацию точек вместе с их касательными векторами. Например, $(\mathbb {P} ^{2})^{[2]}$ это взрыв $Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})$ диагонали по модулю симметричного действия.

Градусные гиперповерхности

Схема Гильберта гиперповерхностей степени k в $\mathbb {P} ^{n}$ задается проективизацией $\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))$. Например, схема Гильберта гиперповерхностей степени 2 в $\mathbb {P} ^{1}$ является $\mathbb {P} ^{2}$ с универсальной гиперповерхностью, заданной формулой

${\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}$

где основное кольцо является биградуированным.

Гильберта кривых и

Для фиксированного рода $g$ алгебраическая кривая $C$, степень тритензорного дуализирующего пучка $\omega _{C}^{\otimes 3}$ генерируется глобально, то есть его эйлерова характеристика определяется размерностью глобальных секций, поэтому

$\chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})$.

Размерность этого векторного пространства равна $5g-5$, отсюда и глобальные разделы $\omega _{C}^{\otimes 3}$ определить вложение в $\mathbb {P} ^{5g-6}$ для каждого рода $g$ изгиб. Используя формулу Римана-Роха, соответствующий полином Гильберта можно вычислить как

$H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)$.

Тогда схема Гильберта

${\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}$

параметризует все кривые рода g . Построение этой схемы является первым шагом в построении стека модулей алгебраических кривых. Другим основным техническим инструментом являются коэффициенты GIT, поскольку это пространство модулей строится как фактор

${\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]$,

где $U_{g}$ является подмножеством гладких кривых в схеме Гильберта.

Схема Гильберта точек на многообразии

«Схема Гильберта» иногда относится к пунктуальной схеме Гильберта 0-мерных подсхем на схеме. Неформально это можно рассматривать как нечто вроде конечного набора точек на схеме, хотя эта картина может вводить в заблуждение, когда несколько точек совпадают.

Существует морфизм Гильберта – Чоу из приведенной схемы точек Гильберта в многообразие циклов Чоу, переводящий любую 0-мерную схему в связанный с ней 0-цикл. (Фогарти 1968 , 1969 , 1973 ).

Схема Гильберта $M^{[n]}$ n -е точек на M снабжен естественным морфизмом в n симметричное произведение M . Этот морфизм бирационален для M размерности не выше 2. Для M размерности не менее 3 морфизм не является бирациональным при больших n : схема Гильберта, вообще говоря, приводима и имеет компоненты размерности, намного большей, чем у симметричного произведения.

Схема Гильберта точек на кривой C (комплексное многообразие размерности 1) изоморфна степени C симметричной . Это гладко.

Схема Гильберта n точек на поверхности также является гладкой (Гротендик). Если $n=2$, оно получается из $M\times M$ увеличив диагональ и разделив на $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ действие, вызванное $(x,y)\mapsto (y,x)$. Это использовал Марк Хейман в своем доказательстве положительности коэффициентов некоторых полиномов Макдональда .

Схема Гильберта гладкого многообразия размерности 3 и более обычно не является гладкой.

Гильберта и

Пусть M — комплексная кэлерова поверхность с $c_{1}=0$ ( поверхность К3 или тор). Каноническое расслоение M тривиально, как это следует из классификации поверхностей Кодаиры . Следовательно, M допускает голоморфную симплектическую форму. Это наблюдал Акира Фуджики (для $n=2$) и Арно Бовиль, что $M^{[n]}$ также голоморфно симплектичен. Это не очень трудно увидеть, например, для $n=2$. Действительно, $M^{[2]}$ является раздутием симметричного квадрата M . Особенности $\operatorname {Sym} ^{2}M$ локально изоморфны $\mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$. Взрыв $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ является $T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$, и это пространство симплектично. Это используется, чтобы показать, что симплектическая форма естественным образом распространяется на гладкую часть исключительных дивизоров $M^{[n]}$. Оно распространяется на остальную часть $M^{[n]}$ по принципу Хартогса .

Голоморфно симплектическое кэлерово многообразие является гиперкелеровым , как следует из теоремы Калаби–Яу . Схемы Гильберта точек на поверхности К3 и на 4-мерном торе дают две серии примеров гиперкелеровых многообразий : схему Гильберта точек на поверхности К3 и обобщенную поверхность Куммера .

См. также

• Схема котировок
• Регулярность Кастельнуово – Мамфорда
• Большая теорема Мацусаки
• Модули алгебраических кривых
• Пространство модулей
• Гильбертова модульная поверхность
• Модульное уплотнение

Ссылки

• Бовилль, Арно (1983), «Кэлеровы многообразия, первый класс Черна которых равен нулю», Journal of Differential Geometry , 18 (4): 755–782, doi : 10.4310/jdg/1214438181 , MR   0730926
• И. Долгачев (2001) [1994], «Схема Гильберта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Фантечи, Барбара; Гетше, Лотар; Иллюзи, Люк ; Клейман, Стивен Л .; Ницуре, Нитин; Вистоли, Анджело (2005), Фундаментальная алгебраическая геометрия , Математические обзоры и монографии, том. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3541-8 , МР   2222646
• Фогарти, Джон (1968), «Алгебраические семейства на алгебраической поверхности», American Journal of Mathematics , 90 (2), The Johns Hopkins University Press: 511–521, doi : 10.2307/2373541 , JSTOR   2373541 , MR   0237496
• Фогарти, Джон (1969), «Усеченные функторы Гильберта» , Журнал чистой и прикладной математики , 234 : 65–88, MR   0244268 , заархивировано из оригинала 12 февраля 2013 г.
• Фогарти, Джон (1973), «Алгебраические семейства на алгебраической поверхности. II. Схема Пикара пунктуальной схемы Гильберта», American Journal of Mathematics , 95 (3), Johns Hopkins University Press : 660–687, doi : 10.2307/ 2373734 , JSTOR   2373734 , MR   0335512
• Гетче, Лотар (1994), Схемы Гильберта нульмерных подсхем гладких многообразий , Конспект лекций по математике, том. 1572, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0073491 , ISBN.  978-3-540-57814-7 , МР   1312161
• Гротендик, Александр (1961), Методы построения и теоремы существования в алгебраической геометрии. IV. Диаграммы Гильберта , Семинар Бурбаки 221 Перепечатано в Адриан Дуади; Роджер Годеман; Ален Гишарде ... (1995), Семинар Бурбаки, Том. 6 , Париж: Математическое общество Франции , стр. 249–276, ISBN  2-85629-039-6 , МР   1611822
• Хартсхорн, Робин (1966), «Связность схемы Гильберта» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR   0213368
• Маколей, Фрэнсис Сауэрби (1927), «Некоторые свойства перечисления в теории модульных систем», Труды Лондонского математического общества , серия 2, 26 : 531–555, doi : 10.1112/plms/s2-26.1.531
• Мамфорд, Дэвид (21 августа 1966), Лекции по кривым на алгебраической поверхности , Анналы математических исследований, том. 59, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-07993-6
• Накадзима, Хираку (1999), Лекции по схемам Гильберта точек на поверхностях , Серия университетских лекций, том. 18, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1956-2 , МР   1711344
• Ницуре, Нитин (2005), «Построение схем Гильберта и Кота», Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. Обзоры Моногр., вып. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 105–137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N , MR   2223407
• Цинь, Чжэньбо (2018), Точки Гильберта и бесконечномерные алгебры Ли , Математические обзоры и монографии, том. 228, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-1-4704-4188-3

Примеры и приложения

• Формула Ботта и перечислительная геометрия
• Число скрученных кубиков в квинтическом тройном многообразии
• Рациональные кривые на трехмерных многообразиях Калаби – Яу: проверка предсказаний зеркальной симметрии

Внешние ссылки

• Бертрам, Аарон (1999), Построение схемы Гильберта , получено 6 сентября 2008 г.
• Болоньезе, Барбара; Лосев, Иван, Общее введение в схему точек Гильберта на плоскости (PDF) , заархивировано из оригинала 30 августа 2017 г. {{citation}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
• Маклаган, Дайан , Заметки о схемах Гильберта (PDF) , заархивировано из оригинала 7 марта 2016 г. {{citation}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )