Классификация Энрикеса-Кодайры

В математике классификация Энриквеса -Кодайры группирует компактные комплексные поверхности в десять классов, каждый из которых параметризуется пространством модулей . Для большинства классов пространства модулей хорошо изучены, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей кажутся слишком сложными для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.

Макс Нётер начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а Гвидо Кастельнуово доказал важные части классификации. Федериго Энрикес ( 1914 , 1949 ) описал классификацию сложных проективных поверхностей. Кунихико Кодайра ( 1964 , 1966 , 1968a , 1968b ) позже расширил классификацию, включив в нее неалгебраические компактные поверхности. Аналогичная классификация поверхностей по положительной характеристике была начата Дэвидом Мамфордом ( 1969 ) и завершена Энрико Бомбьери и Дэвидом Мамфордом ( 1976 , 1977 ); он аналогичен проективному случаю характеристики 0, за исключением того, что в характеристике 2 также возникают сингулярные и суперсингулярные поверхности Энриквеса, а в характеристиках 2 и 3 — квазигиперэллиптические поверхности.

Положение о классификации

Числа Черна минимальных комплексных поверхностей

Классификация компактных комплексных поверхностей Энрикеса-Кодайры утверждает, что каждая неособая минимальная компактная комплексная поверхность принадлежит ровно к одному из 10 типов, перечисленных на этой странице; другими словами, это одна из рациональных, линейчатых (род > 0) поверхностей типа VII, К3, Энриквеса, Кодайры, торических, гиперэллиптических, собственно квазиэллиптических или общего типа.

Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует достаточно полное описание того, как выглядят все поверхности (что для класса VII зависит от гипотезы глобальной сферической оболочки , до сих пор недоказанной в 2024 году). Для поверхностей общего типа об их явной классификации известно немного, хотя примеров найдено немало.

Классификация алгебраических поверхностей с положительной характеристикой ( Mumford 1969 , Mumford & Bombieri 1976 , 1977 ) аналогична классификации алгебраических поверхностей с характеристикой 0, за исключением того, что не существует поверхностей Кодаиры или поверхностей типа VII, а есть несколько дополнительных семейств Поверхности Энрикса в характеристике 2 и гиперэллиптические поверхности в характеристиках 2 и 3, а также в размерности Кодайры 1 в характеристиках 2 и 3 также допускают квазиэллиптические расслоения. Эти дополнительные семейства можно понимать следующим образом: в характеристике 0 эти поверхности являются факторами поверхностей по конечным группам, но в конечных характеристиках также можно факторизовать по конечным групповым схемам , которые не являются этальными .

Оскар Зариски построил некоторые поверхности с положительной характеристикой, которые являются унирациональными, но не рациональными, производными от неразделимых расширений ( поверхности Зариского ). В положительной характеристике Серр показал, что $h^{0}(\Omega )$ может отличаться от $h^{1}({\mathcal {O}})$, а Игуса показал, что даже когда они равны, они могут быть больше, чем неравномерность (размерность многообразия Пикара ).

Инварианты поверхностей

Числа Ходжа и размерность Кодайры

Важнейшие инварианты компактных комплексных поверхностей, используемые в классификации, могут быть заданы через размерности различных групп когерентных пучков когомологий . Основными из них являются плюриродные числа и числа Ходжа, определяемые следующим образом:

• K — каноническое линейное расслоение , сечениями которого являются голоморфные 2-формы.

• $P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1$ называются плюриродовыми . Они являются бирациональными инвариантами, т. е. инвариантными относительно разрушения. Используя теорию Зайберга-Виттена , Роберт Фридман и Джон Морган показали, что для комплексных многообразий они зависят только от основного ориентированного гладкого 4-многообразия. Для некелеровых поверхностей плюрироды определяются фундаментальной группой, но для кэлеровых поверхностей есть примеры поверхностей, которые гомеоморфны, но имеют разные плюрироды и размерности Кодаиры. Отдельные множественные виды используются нечасто; самое главное в них — это скорость их роста, измеряемая измерением Кодаира .

• $\kappa$ это измерение Кодайры : это $-\infty$ (иногда пишется -1), если все плюриродные равны 0, в противном случае это наименьшее число (0, 1 или 2 для поверхностей), такое что $P_{n}/n^{\kappa }$ ограничен. Энрикес не использовал это определение: вместо этого он использовал значения $P_{12}$ и $K\cdot K=c_{1}^{2}$. Они определяют размерность Кодайры с учетом следующего соответствия:

${\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}$

• $h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),$ где $\Omega ^{i}$ – пучок голоморфных i- форм, – числа Ходжа , часто расположенные в ромбе Ходжа:

${\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}$

По двойственности Серра $h^{i,j}=h^{2-i,2-j}$ и $h^{0,0}=h^{2,2}=1.$ Числа Ходжа комплексной поверхности зависят только от ориентированного кольца вещественных когомологий поверхности и инвариантны относительно бирациональных преобразований, за исключением $h^{1,1}$ который увеличивается на 1 при взрыве одной точки.

• Если поверхность кэлерова , то $h^{i,j}=h^{j,i}$ и существует только три независимых числа Ходжа.
• Если поверхность компактна, то $h^{1,0}$ равно $h^{0,1}$ или $h^{0,1}-1.$

Инварианты, связанные с числами Ходжа

Существует множество инвариантов, которые (по крайней мере, для комплексных поверхностей) можно записать как линейные комбинации чисел Ходжа, а именно:

• Числа Бетти : определяются $b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.$

${\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}$

В характеристике p > 0 числа Бетти определяются с помощью l-адических когомологий и не обязательно удовлетворяют этим соотношениям.

• Эйлерова характеристика или число Эйлера :

$e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.$

• Нерегулярность и определяется как размерность многообразия Пикара и многообразия Альбанезе обозначается q . Для сложных поверхностей (но не всегда для поверхностей простой характеристики)

$q=h^{0,1}.$

• Геометрический род :

$p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.$

• Арифметический род :

$p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.$

• Голоморфная эйлерова характеристика тривиального расслоения (обычно отличается от эйлерова числа e, определенного выше):

$\chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.$

По формуле Нётер он также равен роду Тодда. ${\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).$

• Сигнатура второй группы когомологий комплексных поверхностей обозначается через $\tau$:

$\tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.$

• $b^{\pm }$являются размерностями максимальных положительно и отрицательно определенных подпространств $H^{2},$ так:

${\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}$

• с ₂ = е и $c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e$ — числа Чженя , определяемые как интегралы от различных полиномов классов Чженя над многообразием.

Другие инварианты

Существуют и другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не так часто используются в классификации. К ним относятся алгебраические инварианты, такие как группа Пикара Pic( X ) дивизоров по модулю линейной эквивалентности , ее факторгруппа Нерона–Севери NS( X ) с рангом числа Пикара ρ, топологические инварианты, такие как фундаментальная группа π ₁ и интегральные гомологии. и группы когомологий, а также инварианты основного гладкого 4-многообразия, такие как инварианты Зайберга – Виттена и инварианты Дональдсона .

Минимальные модели и раздутия

Любая поверхность бирациональна неособой поверхности, поэтому для большинства целей достаточно классифицировать неособые поверхности.

Учитывая любую точку на поверхности, мы можем сформировать новую поверхность, раздув эту точку, что грубо означает, что мы заменяем ее копией проективной линии. В целях данной статьи неособая поверхность X называется минимальной , если ее нельзя получить из другой неособой поверхности раздутием точки. По теореме Кастельнуово о сжатии это эквивалентно утверждению, что X не имеет (−1)-кривых (гладких рациональных кривых с числом самопересечения −1). (В более современной терминологии программы минимальной модели гладкая проективная поверхность X будет называться минимальной , если ее каноническое линейное расслоение K _X является эффективным . Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более сильном смысле тогда и только тогда, когда ее размерность Кодаиры является неотрицательным.)

Каждая поверхность X бирациональна минимальной неособой поверхности, и эта минимальная неособая поверхность единственна, если X имеет размерность Кодаиры не менее 0 или не является алгебраической. Алгебраические поверхности размерности Кодаиры $-\infty$ может быть бирационально более чем одной минимальной неособой поверхности, но связь между этими минимальными поверхностями легко описать. Например, П ¹ × П ¹ раздутый в точке, изоморфен P ² взорвался дважды. Таким образом, чтобы классифицировать все компактные комплексные поверхности с точностью до бирационального изоморфизма, достаточно (более или менее) классифицировать минимальные неособые поверхности.

Поверхности размера Кодаиры −∞

Алгебраические поверхности размерности Кодаиры $-\infty$ можно классифицировать следующим образом. Если q > 0, то отображение многообразия Альбанезе имеет слои, представляющие собой проективные прямые (если поверхность минимальна), поэтому поверхность является линейчатой. Если q = 0, этот аргумент не работает, поскольку многообразие Альбанезе является точкой, но в этом случае из теоремы Кастельнуово следует, что поверхность рациональна.

Для неалгебраических поверхностей Кодайра обнаружил дополнительный класс поверхностей, названный типом VII, который до сих пор недостаточно изучен.

Рациональные поверхности

Рациональная поверхность означает поверхность, бирациональную комплексной проективной плоскости P. ² . Это все алгебраические. Минимальными рациональными поверхностями являются P ² себя и поверхности Хирцебруха Σ _n для n = 0 или n ≥ 2. (Поверхность Хирцебруха Σ _n — это P ¹ расслоение над P ¹ ассоциированный с пучком O(0) + O( n ). Поверхность Σ ₀ изоморфна P ¹ × П ¹ , а Σ ₁ изоморфен P ² взорван в какой-то момент, поэтому не является минимальным.)

Инварианты: все плюриродные равны 0, а фундаментальная группа тривиальна.

Ходж Даймонд:

		1
	0		0
0		1		0	(Проективная плоскость)
	0		0
		1

		1
	0		0
0		2		0	(Поверхности Хирцебруха)
	0		0
		1

Примеры: П ² , П ¹ × П ¹ = Σ ₀ , поверхности Хирцебруха Σ _n , квадрики , кубические поверхности , поверхности дель Пеццо , поверхность Веронезе . Многие из этих примеров не являются минимальными.

Линейчатые поверхности рода > 0

Линейчатые поверхности рода g имеют гладкий морфизм в кривую рода g, слоями которой являются прямые P ¹ . Они все алгебраические.(Поверхности рода 0 являются поверхностями Хирцебруха и рациональны.) Любая линейчатая поверхность бирационально эквивалентна P ¹ × C для единственной кривой C , поэтому классификация линейчатых поверхностей с точностью до бирациональной эквивалентности по существу совпадает с классификацией кривых. Линейчатая поверхность, не изоморфная P ¹ × П ¹ имеет единственное решение ( P ¹ × П ¹ имеет два).

Инварианты: все плюриродные равны 0.

Ходж Даймонд:

		1
	г		г
0		2		0
	г		г
		1

Примеры: произведение любой кривой рода > 0 с P ¹ .

Поверхности класса VII

Основная статья: Поверхность VII класса

Эти поверхности никогда не являются алгебраическими или кэлеровыми . Минимальные с b ₂ = 0 были классифицированы Богомоловым и являются либо поверхностями Хопфа , либо поверхностями Иноуэ . Примеры с положительным вторым числом Бетти включают поверхности Иноуэ-Хирцебруха , поверхности Еноки и, в более общем смысле, поверхности Като . Гипотеза о глобальной сферической оболочке предполагает, что все минимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти являются поверхностями Като, что более или менее завершило бы классификацию поверхностей типа VII.

Инварианты: q = 1, h ^1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Ходж Даймонд:

		1
	0		1
0		б 2		0
	1		0
		1

Поверхности Kodaira размер 0

Эти поверхности классифицируются, начиная с формулы Нётер. $12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.$ Для измерения Кодайры 0 K имеет нулевое число пересечений с самим собой , поэтому $c_{1}^{2}=0.$ С использованием

${\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}$

мы приходим к:

$10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}$

Более того, поскольку κ = 0, имеем:

$h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

объединение этого с предыдущим уравнением дает:

$8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

В общем 2 часа ^0,1 ≥ b ₁ , поэтому три члена слева являются целыми неотрицательными числами, и у этого уравнения существует всего несколько решений.

• Для алгебраических поверхностей 2 ч ^0,1 − b ₁ — четное целое число от 0 до 2 p _g .
• Для компактных сложных поверхностей 2 часа ^0,1 − b ₁ = 0 или 1.
• Для кэлеровых поверхностей 2 часа ^0,1 − b ₁ = 0 и h ^1,0 = час ^0,1 .

Большинство решений этих условий соответствуют классам поверхностей, как показано в следующей таблице:

б 2	б 1	час 0,1	п г = час 0,2	час 1,0	час 1,1	Поверхности	Поля
22	0	0	1	0	20	К3	Любой. Всегда кэлерово над комплексными числами, но не обязательно должно быть алгебраическим.
10	0	0	0	0	10	Классический Энрикес	Любой. Всегда алгебраический.
10	0	1	1			Неклассический Энрикес	Только характеристика 2
6	4	2	1	2	4	Абелевы поверхности, торы	Любой. Всегда кэлерово над комплексными числами, но не обязательно должно быть алгебраическим.
2	2	1	0	1	2	Гиперэллиптический	Любой. Всегда алгебраический
2	2	1 или 2	0 или 1			Квазигиперэллиптический	Только характеристики 2, 3
4	3	2	1	1	2	Первичная Кодайра	Только комплекс, никогда Келер
0	1	1	0	0	0	Вторичный Кодайра	Только комплекс, никогда Келер

Поверхности К3

Это минимальные компактные комплексные поверхности размерности Кодаиры 0 с q = 0 и тривиальным каноническим линейным расслоением. Все они являются кэлеровыми многообразиями . Все поверхности K3 диффеоморфны, и их класс диффеоморфизма является важным примером гладкого спинового односвязного 4-многообразия.

Инварианты: вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна единственной четной унимодулярной решетке II _3,19 размерности 22 и сигнатуры −16.

Ходж Даймонд:

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

Примеры :

• Гиперповерхности 4-й степени в P ³ ( С )
• Поверхности Куммера . Они получаются путем факторизации абелевой поверхности по автоморфизму a → − a с последующим раздуванием 16 особых точек.

поверхность Маркированная К3 — это поверхность К3 вместе с изоморфизмом от II _3,19 до H ² ( Х , Z ). Пространство модулей отмеченных поверхностей К3 является связным нехаусдорфовым гладким аналитическим пространством размерности 20. Алгебраические поверхности К3 образуют счетный набор его 19-мерных подмногообразий.

Абелевы поверхности и двумерные комплексные торы

Двумерные комплексные торы включают абелевы поверхности . Одномерные комплексные торы представляют собой просто эллиптические кривые и все они алгебраичны, но Риман обнаружил, что большинство комплексных торов размерности 2 не являются алгебраическими. Алгебраические — это в точности двумерные абелевы многообразия . Большая часть их теории представляет собой частный случай теории многомерных торов или абелевых многообразий. Критерии произведения двух эллиптических кривых (с точностью до изогении ) были популярным исследованием в девятнадцатом веке.

Инварианты: все плюриродные равны 1. Поверхность диффеоморфна S ¹ × С ¹ × С ¹ × С ¹ поэтому фундаментальная группа - это Z ⁴ .

Ходж Даймонд:

		1
	2		2
1		4		1
	2		2
		1

Примеры: произведение двух эллиптических кривых. Якобиан кривой рода 2. Любое частное C ² по решетке.

Поверхности Кодаира

Основная статья: Поверхность Кодайры

Они никогда не являются алгебраическими, хотя имеют непостоянные мероморфные функции. Их обычно делят на два подтипа: первичные поверхности Кодаиры с тривиальным каноническим расслоением и вторичные поверхности Кодаиры , которые являются их факторами по конечным группам порядков 2, 3, 4 или 6 и имеют нетривиальные канонические расслоения. Вторичные поверхности Кодаиры имеют такое же отношение к первичным, как поверхности Энриквеса к поверхностям К3 или биэллиптические поверхности к абелевым поверхностям.

Инварианты: если поверхность является фактором первичной поверхности Кодаиры по группе порядка k = 1, 2, 3, 4, 6, то плюрироды P _n равны 1, если n делится на k , и 0 в противном случае.

Ходж Даймонд:

		1
	1		2
1		2		1	(Начальный)
	2		1
		1

		1
	0		1
0		0		0	(среднее)
	1		0
		1

Примеры: возьмите нетривиальное линейное расслоение над эллиптической кривой, удалите нулевое сечение, затем факторизируйте слои по Z, действуя как умножение на степени некоторого комплексного числа z . Это дает первичную поверхность Кодайры.

Поверхности Энриквеса

Основная статья: Поверхность Энриквеса

Это комплексные поверхности такие, что q = 0 и каноническое линейное расслоение нетривиально, но имеет тривиальный квадрат. Все поверхности Энриквеса алгебраичны (и, следовательно, кэлеровы ). Они являются факторами поверхностей K3 по группе порядка 2, и их теория аналогична теории алгебраических поверхностей K3.

Инварианты: Плюриродные P _n равны 1, если n четное, и 0, если n нечетное. Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна сумме единственной четной унимодулярной решетки II _1,9 размерности 10 и сигнатуры −8 и группы порядка 2.

Ходж Даймонд:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Маркированные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, описанное явно.

В характеристике 2 имеются дополнительные семейства поверхностей Энриквеса, называемые сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса; см. в статье о поверхностях Энриквеса подробности .

Гиперэллиптические (или биэллиптические) поверхности

Основная статья: гиперэллиптическая поверхность

По комплексным числам это факторы произведения двух эллиптических кривых на конечную группу автоморфизмов. Конечная группа может быть Z /2 Z , Z /2 Z + Z /2 Z , Z 3 Z , Z / /3 Z + Z /3 Z , Z /4 Z , Z /4 Z + Z /2 Z , или Z /6 Z , что дает семь семейств таких поверхностей.

Ходж Даймонд:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Над полями характеристик 2 или 3 существуют дополнительные семейства, заданные факторизацией по неэтальной групповой схеме; см. в статье о гиперэллиптических поверхностях Подробности .

Поверхности Kodaira размер 1

Эллиптическая поверхность — это поверхность, снабженная эллиптическим расслоением (сюръективное голоморфное отображение кривой B такое, что все слои, кроме конечного числа, являются гладкими неприводимыми кривыми рода 1). Общий слой в таком расслоении представляет собой кривую рода 1 над функциональным полем B . И наоборот, если задана кривая рода 1 над функциональным полем кривой, ее относительная минимальная модель представляет собой эллиптическую поверхность. Кодайра и др. дали достаточно полное описание всех эллиптических поверхностей. В частности, Кодайра дал полный список возможных особых слоев . Теория эллиптических поверхностей аналогична теории собственных регулярных моделей эллиптических кривых над кольцами дискретного нормирования (например, кольцом p -адических целых чисел ) и дедекиндовыми областями (например, кольцом целых числовых полей).

В конечной характеристике 2 и 3 можно также получить квазиэллиптические поверхности, почти все слои которых могут быть рациональными кривыми с одним узлом, которые представляют собой «вырожденные эллиптические кривые».

Каждая поверхность размерности Кодаиры 1 является эллиптической поверхностью (или квазиэллиптической поверхностью в характеристиках 2 или 3), но обратное неверно: эллиптическая поверхность может иметь размерность Кодаиры. $-\infty$, 0 или 1. Все поверхности Энриквеса , все гиперэллиптические поверхности , все поверхности Кодаиры , некоторые поверхности K3 , некоторые абелевы поверхности и некоторые рациональные поверхности являются эллиптическими поверхностями, и эти примеры имеют размерность Кодаиры меньше 1. Эллиптическая поверхность, базовая кривая которой B имеет род не менее 2, всегда имеет размерность Кодаиры 1, но размерность Кодаиры может быть равна 1 также для некоторых эллиптических поверхностей с B рода 0 или 1.

Инварианты: $c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.$

Пример: если E — эллиптическая кривая, а B — кривая рода не ниже 2, то E × B — эллиптическая поверхность размерности Кодаиры 1.

Поверхности Кодаира размерности 2 (поверхности общего типа)

Основная статья: Поверхность общего типа

Все они алгебраические, и в некотором смысле большинство поверхностей относятся к этому классу. Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что при любых фиксированных значениях чисел Чженя c ²
₁ и c ₂ существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с этими числами Чженя. Однако явное описание этих схем представляет собой очень сложную задачу, и существует очень мало пар чисел Чженя, для которых это было сделано (за исключением случаев, когда схема пуста!)

Инварианты: существует несколько условий, которым должны удовлетворять числа Чженя минимальной комплексной поверхности общего типа:

• $c_{1}^{2},c_{2}>0$
• $c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ (the Bogomolov–Miyaoka–Yau inequality )
• $5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0$ (неравенство Нётер)
• $c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.$

Большинство пар целых чисел, удовлетворяющих этим условиям, являются числами Чженя некоторой комплексной поверхности общего типа.

Примеры. Простейшими примерами являются произведение двух кривых рода не менее 2 и гиперповерхность степени не менее 5 в P. ³ . Известно большое количество других конструкций. Однако не известна конструкция, позволяющая создавать «типичные» поверхности общего типа при больших числах Чженя; на самом деле неизвестно даже, существует ли какое-либо разумное понятие «типичной» поверхности общего типа. Было найдено множество других примеров, включая большинство модульных поверхностей Гильберта , фальшивые проективные плоскости , поверхности Барлоу и так далее.

См. также

• Список алгебраических поверхностей

Ссылки

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN.  978-3-540-00832-3 , МР   2030225 – стандартный справочник по компактным сложным поверхностям.
• Бовилль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , номер документа : 10.1017/CBO9780511623936 , ISBN.  978-0-521-49510-3 , МР   1406314 ; ( ISBN   978-0-521-49842-5 в мягкой обложке) - включая более элементарное введение в классификацию.
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1977), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе II», Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 23–42, MR   0491719
  • Бомбьери, Э.; Мамфорд, Д. (1977). «Классификация поверхностей Энрикеса в Char. P, II». Комплексный анализ и алгебраическая геометрия . стр. 23–42. дои : 10.1017/CBO9780511569197.004 . ISBN  9780521217774 .
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе стр. III». (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, Bibcode : 1976InMat..35..197B , doi : 10.1007/BF01390138 , MR   0491720 , S2CID   122816845
• Энрикес, Федериго (1914), «О классификации алгебраических поверхностей и особенно поверхностей рода p ¹ =1", Деяния. Акк. Линцеи V Сер. , 23
• Энрикес, Федериго (1949), Алгебраические поверхности , Никола Заничелли, Болонья, MR   0031770
• Кодайра, Кунихико (1964), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. I», American Journal of Mathematics , 86 (4): 751–798, doi : 10.2307/2373157 , JSTOR   2373157 , MR   0187255
• Кодайра, Кунихико (1966), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. II», American Journal of Mathematics , 88 (3): 682–721, doi : 10.2307/2373150 , JSTOR   2373150 , MR   0205280 , PMC   300219 , PMID   16578569
• Кодайра, Кунихико (1968a), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. III», American Journal of Mathematics , 90 (1): 55–83, doi : 10.2307/2373426 , JSTOR   2373426 , MR   0228019
• Кодайра, Кунихико (1968b), «О структуре комплексных аналитических поверхностей. IV», American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048–1066, doi : 10.2307/2373289 , JSTOR   2373289 , MR   0239114
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Классификация поверхностей Энрикеса в char p I», Глобальный анализ (Документы в честь К. Кодайры) , Токио: Univ. Tokyo Press, стр. 325–339, doi : 10.1515/9781400871230-019 , ISBN.  978-1-4008-7123-0 , JSTOR   j.ctt13x10qw.21 , MR   0254053
• Рид, Майлз (1997), «Главы об алгебраических поверхностях», Комплексная алгебраическая геометрия (Парк-Сити, Юта, 1993) , IAS/Park City Math. Сер., вып. 3, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 3–159, arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R , doi : 10.1090/pcms/003/02 , ISBN  9780821811450 , МР   1442522 , S2CID   116933286
• Шафаревич Игорь Робертович ; Авербух Борис Георгиевич; Вайнберг, Ю. Р.; Жижченко А.Б.; Манин Юрий Иванович ; Мойшезон Борис Георгиевич ; Тюрина Галина Н.; Тюрин, Андрей Н. (1967) [1965], «Алгебраические поверхности», Труды Математического института им. Стеклова , 75 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 1–215, ISBN  978-0-8218-1875-6 , МР   0190143
• Ван де Вен, Антониус (1978), «О классификации алгебраических поверхностей по Энриквесу» , Семинар Бурбаки, 29-й год (1976/77) , Конспект лекций по математике, том. 677, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 237–251, МР   0521772
• Ланг, Уильям Э. «Квазиэллиптические поверхности в третьей характеристике» , Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 12 (1979) no. 4, стр. 473-500. дои : 10.24033/asens.1373 . Теорема 4.3 данной статьи классифицирует числа Ходжа квазигиперэллиптической поверхности в характеристике три.

Внешние ссылки

• le superficie algebriche — это интерактивная визуализация классификации Энрикеса-Кодайры Питера Бельманса и Йохана Коммелина.