Теория пересечений

В математике алгебраической теория пересечений — один из основных разделов геометрии , где она дает информацию о пересечении двух подмногообразий данного многообразия. ^[1] Теория многообразий более старая, ее корни лежат в теореме Безу о кривых и теории исключения . С другой стороны, топологическая теория быстрее приняла окончательную форму.

Теория пересечения все еще продолжает развиваться. В настоящее время основное внимание уделяется: виртуальным фундаментальным циклам, квантовым кольцам пересечений, теории Громова-Виттена и расширению теории пересечений от схем до стеков . ^[2]

Форма топологического пересечения

Для связного ориентированного многообразия $M$ размерности (то, что обычно называют «средним измерением») путем $2 n$ форма пересечения определяется на $n$ -й группе когомологий оценки произведения чашки на фундаментальном классе $[M]$ в $H 2 п (M, \partial M)$ . Точнее говоря, существует билинейная форма

\lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z}

данный

\lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z}

с

\lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .

Это симметричная форма для $четного n$ (поэтому $2 n = 4 k$ дважды четный ), и в этом случае подпись M $n$ определяется как подпись формы, и альтернативная форма для $n$ нечетного $2 ( поэтому = 4 k +2$ единично четно ). Их можно равномерно назвать ε-симметричными формами , где $ε = (-1) н = \pm1$ соответственно для симметричной и кососимметричной форм. В некоторых случаях можно уточнить эту форму до $ε$ -квадратичной формы , хотя для этого требуются дополнительные данные, такие как оснащение касательного расслоения. Можно отказаться от условия ориентируемости и $Z /2 Z.$ вместо этого работать с коэффициентами

Эти формы являются важными топологическими инвариантами . Например, теорема Майкла Фридмана утверждает, что односвязные компактные 4-многообразия (почти) определяются своими формами пересечения с точностью до гомеоморфизма .

Благодаря двойственности Пуанкаре оказывается, что есть способ представить это геометрически. Если возможно, выберите представительные $n$ -мерные подмногообразия $A$ , $B$ для двойственных Пуанкаре к $a$ и $b$ . Тогда $λ M (a, b)$ — это пересечений ориентированное число $A$ и $B$ , которое четко определено, поскольку, поскольку сумма размеров $A$ и $B$ равна общей размерности $M,$ они обычно пересекаются в изолированных точках. терминологии Это объясняет форму пересечения .

Теория пересечений в алгебраической геометрии

Уильям Фултон в «Теории пересечений» (1984) пишет

... если $A$ и $B$ являются подмногообразиями неособого многообразия $X$ , произведение пересечений $A \cdot B$ тесно связанным с геометрией того, как $A \cap B$ , $A$ и $B$ расположены в $X.$ должно быть классом эквивалентности алгебраических циклов , Наиболее известны два крайних случая. Если пересечение собственное , т. е. $dim(A \cap B) = dim A + dim B - dim X$ , то $A \cdot B$ представляет собой линейную комбинацию неприводимых компонентов $A \cap B$ с коэффициентами, представляющими кратности пересечения. С другой стороны, если $A = B$ неособое подмногообразие, формула самопересечения говорит, что $\cdot B представлено$ верхним классом Чженя нормального расслоения A $—$ в $X.$ A

Дать определение в общем случае кратности пересечений было главной задачей Андре Вейля 1946 года в книге «Основы алгебраической геометрии» . Работа Б.Л. ван дер Вардена в 1920-х годах уже затронула этот вопрос; в итальянской школе алгебраической геометрии эти идеи были хорошо известны, но фундаментальные вопросы не рассматривались в том же духе.

Перемещение циклов

Хорошо работающий механизм пересекающихся алгебраических циклов $V$ и $W$ требует большего, чем просто взятие теоретико-множественного пересечения $V \cap W$ рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в «хорошем положении», то продукт пересечения , обозначенный $V \cdot W$ , должен состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут находиться в неправильном положении, например, две параллельные линии на плоскости или плоскость, содержащая линию (пересекающуюся в трехмерном пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, потому что, опять же, если переместить один цикл, это будет пересечение. Пересечение двух циклов $V$ и $W$ называется правильным, если коразмерность (теоретико-множественного) пересечения $V \cap W$ является суммой коразмерностей $V$ и $W$ соответственно, т.е. «ожидаемым» значением.

концепция перемещения циклов с использованием соответствующих отношений эквивалентности на алгебраических циклах Поэтому используется . Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов $V$ и $W$ существовали эквивалентные циклы $V'$ и $W'$ такие, что пересечение $V' \cap W'$ является собственным. Конечно, с другой стороны, для второго эквивалента $V''$ и $W''$ , $V' \cap W'$ должен быть эквивалентен $V'' \cap W''$ .

Для целей теории пересечений рациональная эквивалентность наиболее важной является . Короче говоря, два $r$ -мерных цикла на многообразии $X$ рационально эквивалентны, если существует рациональная функция $f$ на $(r + 1)$ -мерном подмногообразии $Y$ , т.е. элемент функционального поля $k (Y)$ или, что эквивалентно, функция $f : Y \to П 1$ , такой, что $V - W = f -1 (0) - ж -1 (\infty)$ , где $f -1 (\cdot)$ считается с кратностью. Рациональная эквивалентность удовлетворяет потребности, изложенные выше.

Кратности пересечения

Руководящим принципом определения кратности пересечений циклов является непрерывность в определенном смысле. Рассмотрим следующий элементарный пример: пересечение параболы $y = x 2$ а ось $y = 0$ должна быть $2 \cdot (0, 0)$ , потому что, если один из циклов движется (пока в неопределенном смысле), есть ровно две точки пересечения, которые обе сходятся к $(0, 0)$ , когда циклы приближаются изображенное положение. (Картина вводит в заблуждение, поскольку кажущееся пустым пересечение параболы и прямой $y = -3$ пусто, поскольку изображены только действительные решения уравнений).

Первое вполне удовлетворительное определение кратностей пересечений было дано Серром : пусть объемлющее многообразие $X$ гладкое (или все локальные кольца регулярны ). Далее, пусть $V$ и $W$ — два (неприводимых приведенно замкнутых) подмногообразия, такие, что их пересечение является собственным. Конструкция локальна, поэтому многообразия могут быть представлены двумя идеалами $I$ и $J$ в координатном кольце $X$ . Пусть $Z$ — неприводимая компонента теоретико-множественного пересечения $V \cap W,$ а $z —$ его общая точка . Кратность $Z$ в произведении пересечений $V \cdot W$ определяется формулой

\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),

знакопеременная сумма по длине по локальному кольцу $X$ в $z$ периодических групп фактор-колец , соответствующих подмногообразиям. Это выражение иногда называют Тор-формулой Серра .

Примечания:

Первое слагаемое, длина
$\left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}$
это «наивная» догадка о множественности; однако, как показывает Серр, этого недостаточно.
Сумма конечна, поскольку регулярное локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,z}$ имеет конечную Tor-размерность.
Если пересечение $V$ и $W$ не является собственным, указанная выше кратность будет равна нулю. Если оно правильное, то оно строго положительное. (Оба утверждения не очевидны из определения).
Используя аргумент спектральной последовательности , можно показать, что $µ (Z; V, W) = µ (Z; W, V)$ .

Кольцо Чоу

Кольцо Чоу — это группа алгебраических циклов по модулю рациональной эквивалентности вместе со следующим коммутативным произведением пересечения :

V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}

всякий раз, когда V и W встречаются должным образом, где $V\cap W=\cup _{i}Z_{i}$ есть разложение теоретико-множественного пересечения на неприводимые компоненты.

Самопересечение

Учитывая два подмногообразия $V$ и $W$ , можно взять их пересечение $V \cap W$ , но также возможно, хотя и более тонко, определить самопересечение одного подмногообразия.

Учитывая, например, кривую $C$ на поверхности $S$ , ее пересечение с самой собой (как множествами) — это просто она сама: $C \cap C = C$ . Это, очевидно, правильно, но, с другой стороны, неудовлетворительно: любые две различные кривые на поверхности (не имеющие общих компонентов) пересекаются в некотором наборе точек, которые, например, можно посчитать, получив число пересечений , и мы возможно, захочет сделать то же самое для данной кривой: аналогия состоит в том, что пересечение различных кривых похоже на умножение двух чисел: $xy$ , а самопересечение похоже на возведение в квадрат одного числа: $x 2$ . Формально аналогия формулируется как симметричная билинейная форма (умножение) и квадратичная форма (возведение в квадрат).

Геометрическое решение этой проблемы состоит в том, чтобы пересечь кривую $C$ не с самой собой, а со слегка отодвинутой версией самой себя. На плоскости это просто означает перемещение кривой $C$ в некотором направлении, но в общем случае речь идет о взятии кривой $C',$ которая линейно эквивалентна C $обозначаемый$ , и подсчете пересечения $C \cdot C'$ , таким образом получая номер пересечения, $C. \cdot С.$ Обратите внимание, что в отличие от отдельных кривых $C$ и $D$ , фактические точки пересечения не определены, поскольку они зависят от выбора $C'$ , но «точки самопересечения $C''$ можно интерпретировать как $k$ общих точек на $C$ , где $k знак равно C \cdot C$ . Точнее, точка самопересечения $C$ это общая точка $C$ , взятая с кратностью $C \cdot C.$ —

Альтернативно, можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, дуализируя и рассматривая класс $[C] \cup [C]$ — это одновременно дает число и поднимает вопрос о геометрической интерпретации. Заметим, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой.

Обратите внимание, что число самопересечения может быть отрицательным, как показано в примере ниже.

Примеры

Рассмотрим прямую $L$ в проективной плоскости $P 2$ : он имеет номер самопересечения 1, поскольку все остальные линии пересекают его один раз: можно сдвинуть $L$ к $L'$ , и $L \cdot L' = 1$ (для любого выбора) из $L'$ , следовательно, $L \cdot L = 1$ . В терминах форм пересечения мы говорим, что плоскость имеет один тип $x. 2$ (есть только один класс прямых, и все они пересекаются друг с другом).

Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно оттолкнуть $L$ до параллельной прямой, поэтому (мысля геометрически) количество точек пересечения зависит от выбора способа отталкивания. Говорят, что «аффинная плоскость не имеет хорошей теории пересечений», а теория пересечений на непроективных многообразиях гораздо сложнее.

Линия на $букве P 1 \times П 1$ (которую также можно интерпретировать как неособую квадрику $Q$ в $P 3$ ) имеет самопересечение $0$ , поскольку линию можно отодвинуть от самой себя. (Это линейчатая поверхность .) В терминах форм пересечения мы говорим $P 1 \times П 1$ имеет один тип $xy$ – существуют два основных класса линий, которые пересекают друг друга в одной точке ( $xy$ ), но имеют нулевое самопересечение (нет $x 2$ или $й 2$ условия).

Увеличенные изображения

Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая раздутия, которая является центральной операцией в бирациональной геометрии . Учитывая алгебраическую поверхность $S$ , разрушение кривую $C.$ в точке создает Эту кривую $C$ можно узнать по ее роду, равному $0$ , и числу самопересечения, равному $-1$ . (Это не очевидно.) Заметим, что как следствие $P 2$ и $П 1 \times П 1$ являются минимальными поверхностями (не являются раздутиями), так как не имеют кривых с отрицательным самопересечением. Фактически, утверждает Кастельнуово теорема о сжатии обратное: каждая $(-1)$ -кривая является исключительной кривой некоторого раздутия (ее можно «раздуть»).

См. также

Цитаты

^ Эйзенбуд и Харрис 2016 , с. 14.
^ Эйзенбуд и Харрис 2016 , с. 2.

Ссылки

Гэтман, Андреас, Алгебраическая геометрия , заархивировано из оригинала 21 мая 2016 г. , получено 11 мая 2018 г.
Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2016). 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-01708-5 .
Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , ISBN 978-0-387-98549-7 МР 1644323
Фултон, Уильям; Серж, Ланг , Алгебра Римана-Роха , ISBN 978-1-4419-3073-6
Серр, Жан-Пьер (1965), Локальная алгебра. Множественность , Курс Коллеж де Франс, 1957–1958, написанный Пьером Габриэлем. Второе издание, 1965. Конспекты лекций по математике, т. 1, с. 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0201468

[FOOTNOTEEisenbudHarris201614-1] Эйзенбуд и Харрис 2016 , с. 14.

[FOOTNOTEEisenbudHarris20162-2] Эйзенбуд и Харрис 2016 , с. 2.

[1]

[2]