Итальянская школа алгебраической геометрии

Что касается истории математики , итальянская школа алгебраической геометрии относится к математикам и их работам в области бирациональной геометрии , особенно над алгебраическими поверхностями , сосредоточенными вокруг Рима примерно с 1885 по 1935 год. Было от 30 до 40 ведущих математиков, которые внесли большой вклад. около половины из них итальянцы. Руководство перешло к группе в Риме Гвидо Кастельнуово , Федериго Энрикеса и Франческо Севери , которые были причастны к некоторым глубочайшим открытиям, а также к установлению стиля.

Алгебраические поверхности

Акцент на алгебраических поверхностях — алгебраических многообразиях размерности два — стал следствием существенно полной геометрической теории алгебраических кривых (размерность 1). Примерно в 1870 году теория кривых объединила с теорией Брилла-Нётер теорему Римана-Роха во всех ее уточнениях (через детальную геометрию тета -делителя ).

Классификация алгебраических поверхностей была смелой и успешной попыткой повторить деление алгебраических кривых по их роду g . Деление кривых соответствует грубой классификации на три типа: g = 0 ( проективная линия ); г = 1 ( эллиптическая кривая ); и g > 1 ( римановы поверхности с независимыми голоморфными дифференциалами). В случае поверхностей классификация Энриквеса состояла из пяти подобных больших классов, три из которых были аналогами случаев кривых, а еще два ( эллиптические расслоения и поверхности К3 , как их теперь называли) относились к случаю двумерные абелевы многообразия на «средней» территории. Это был по существу здравый, прорывной набор идей, восстановленный в современном многообразий сложном языке Кунихико Кодайрой в 1950-х годах и уточненный, включивший в себя mod p- феномены Зариского , школы Шафаревича и других примерно к 1960 году. Форма Римана-Роха теорема о поверхности была также разработана .

Фундаментальные вопросы

Некоторые доказательства, представленные школой, не считаются удовлетворительными из-за фундаментальных трудностей. К ним относится частое использование бирациональных моделей в третьем измерении поверхностей, которые могут иметь неособые модели только при внедрении в многомерное проективное пространство . Чтобы избежать этих проблем, была разработана сложная теория работы с линейной системой дивизоров (по сути, теория линейного расслоения для гиперплоских сечений предполагаемых вложений в проективном пространстве). Многие современные методы были найдены в зародышевой форме, и в некоторых случаях формулировка этих идей превосходила доступный технический язык.

Геометры

По данным Guerraggio & Nastasi (стр. 9, 2005 г.), Луиджи Кремона «считается основателем итальянской школы алгебраической геометрии». Позже они объясняют, что в Турине сотрудничество Энрико Д'Овидио и Коррадо Сегре «привело, либо их собственными усилиями, либо усилиями их учеников, итальянскую алгебраическую геометрию к полной зрелости». , бывший ученик Сегре, Х. Ф. Бейкер писал: что Коррадо Сегре «вероятно, можно назвать отцом той замечательной итальянской школы, которая достигла столь многого в бирациональной теории алгебраических мест». По этой теме Бригалья и Силиберто (2004) говорят: «Сегре возглавлял и поддерживал школу геометрии, которую Луиджи Кремона основал в 1860 году». Ссылка на проект «Математическая генеалогия» показывает, что с точки зрения итальянских докторантов реальная продуктивность школы началась с Гвидо Кастельнуово и Федериго Энрикеса .

В почетный список школы входят следующие другие итальянцы: Джакомо Альбанезе , Эухенио Бертини , Луиджи Кампеделли, Оскар Кизини , Микеле Де Франчис , Паскуале дель Пеццо , Беньямино Сегре , Франческо Севери , Гвидо Заппа (также при участии Джино Фано , Карло Розати, Джузеппе Торелли, Джузеппе Веронезе ).

В других местах в нем участвовали Х. Ф. Бейкер и Патрик Дю Валь (Великобритания), Артур Байрон Кобл (США), Жорж Гумберт и Шарль Эмиль Пикард (Франция), Люсьен Годо (Бельгия), Герман Шуберт и Макс Нётер , а затем Оскар Зариски (США). , Эрих Келер (Германия), Х.Г. Цойтен (Дания).

Все эти фигуры были связаны с алгебраической геометрией, а не с преследованием проективной геометрии как синтетической геометрии , которая в обсуждаемый период была огромной (по объему), но второстепенной темой (если судить по ее важности как исследования).

Появление топологии

В 1950 году Генри Фордер упомянул итальянскую школу в связи с алгебраическими кривыми .

Дальнейшее развитие теории плоских кривых плодотворно лишь в том случае, если оно связано с теорией римановых поверхностей и абелевых функций . В течение последних пятидесяти лет это было любимым исследованием итальянских геометров, и они также внесли замечательный вклад в подобную теорию поверхностей и « многообразий » высших измерений. При этом сочетание теории интегралов на многообразиях и их топологии дает решающие результаты. Таким образом, теория кривых и поверхностей связана с современной алгеброй и топологией...

Новая алгебраическая геометрия, пришедшая на смену итальянской школе, отличалась интенсивным использованием алгебраической топологии . Основателем этого направления был Анри Пуанкаре ; в 1930-х годах он был разработан Лефшецем , Ходжем и Тоддом . Современный синтез объединил их работы школы Картана , а также У.Л. Чоу и Кунихико Кодайры с традиционным материалом.

Коллапс школы

В первые годы существования итальянской школы Кастельнуово стандарты строгости были такими же высокими, как и в большинстве областей математики. При Энрикесе постепенно стало приемлемым использовать несколько более неформальные аргументы вместо полных строгих доказательств, таких как «принцип непрерывности», гласящий, что то, что верно до предела , истинно и в пределе, утверждение, которое не имело ни строгого доказательства, ни даже точное утверждение. Поначалу это не имело большого значения, поскольку интуиция Энрикеса была настолько хороша, что по существу все заявленные им результаты были на самом деле верными, и использование этого более неформального стиля аргументации позволило ему получить впечатляющие результаты об алгебраических поверхностях. К сожалению, примерно с 1930 года под руководством Севери стандарты точности еще больше снизились до такой степени, что некоторые из заявленных результатов были не только недостаточно доказаны, но и оказались неверными. Например, в 1934 году Севери заявил, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода, а в 1946 году Севери опубликовал статью, в которой утверждалось, что поверхность степени 6 в трехмерном проективном пространстве имеет не более 52 узлов, а секстик Барта имеет 65 узлов. узлы.Севери не признал, что его аргументы были неадекватными, что привело к ожесточенным спорам относительно статуса некоторых результатов.

Примерно к 1950 году стало слишком сложно определить, какой из заявленных результатов верен, и неформальная интуитивная школа алгебраической геометрии рухнула из-за неадекватности ее основ. Примерно с 1950 по 1980 год прилагались значительные усилия, чтобы сохранить как можно больше и преобразовать его в строгий алгебраический стиль алгебраической геометрии, созданный Вейлем и Зариским. В частности, в 1960-х годах Кодайра, Шафаревич и его ученики переписали классификацию алгебраических поверхностей Энриквеса в более строгом стиле, а также распространили ее на все компактные комплексные поверхности, а в 1970-е годы Фултон и Макферсон перенесли классические вычисления теории пересечений на строгие фундаменты.

Ссылки

• Бэббит, Дональд; Гудштейн, Джудит (август 2009 г.), «Гвидо Кастельнуово и Франческо Севери: две личности, две буквы» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 56 (7): 800–808, MR   2546822 , Zbl   1221.01101 .
• Альдо Бригалья (2001) «Создание и сохранение национальных школ: случай итальянской алгебраической геометрии», глава 9 (страницы 187–206) книги « Изменение образов в математике» , редакторы Умберто Боттаццини и Эми Дельмедико, Routledge .
• Бригалья, Альдо; Силиберто, Чиро (2004). «Заметки о взаимоотношениях итальянской и американской школ алгебраической геометрии в первые десятилетия XX века» . История Математики . 31 (3): 310–319. дои : 10.1016/j.hm.2003.09.003 .
• Бригалья, Альдо; Силиберто, Чиро; Педрини, Клаудио (2004), «Итальянская школа алгебраической геометрии и наследие Абеля», Наследие Нильса Хенрика Абеля , Берлин: Springer, стр. 295–347, ISBN  3-540-43826-2 , МР   2077577
• Кулидж, Дж. Л. (май – июнь 1927 г.), «Коррадо Сегре» , Бюллетень Американского математического общества , 33 (3): 352–357, doi : 10.1090/S0002-9904-1927-04373-7 , JFM   53.0034.09 , МР   1561376 .
• Герраджио, Анджело; Настази, Пьетро (2005), итальянская математика между двумя мировыми войнами , Science Networks. Исторические исследования, том. 29, Биркхойзер Верлаг, ISBN  978-3-7643-6555-4 , МР   2188015
• Мамфорд, Дэвид (1968), «Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях» , Журнал математики Киотского университета , 9 (2): 195–204, doi : 10.1215/kjm/1250523940 , ISSN   0023-608X , MR   0249428
• Весентини, Эдоардо (2005), «Бениамино Сегре и итальянская геометрия» (PDF) , Rendiconti di Matematica e delle sua Applicazioni , 25 (2): 185–193, MR   2197882 , Zbl   1093.01009 .

Внешние ссылки

• Письмо Дэвида Мамфорда об ошибках итальянской школы алгебраической геометрии под руководством Севери
• Кевин Баззард, какие ошибки на самом деле допустили итальянские алгебраические геометры?
• А. Бригалья, К. Силиберто и Э. Сернеси Итальянская алгебраическая геометрия. Архивировано 16 мая 2005 г. в Wayback Machine в Университете Палермо .