Абелева разновидность

В математике , особенно в алгебраической геометрии , комплексном анализе и теории алгебраических чисел , абелево многообразие — это проективное алгебраическое многообразие , которое также является алгебраической группой , т. е. имеет групповой закон , который может быть определен регулярными функциями . Абелевы многообразия являются одновременно одними из наиболее изучаемых объектов алгебраической геометрии и незаменимыми инструментами для исследования других вопросов алгебраической геометрии и теории чисел.

Абелево многообразие может быть определено уравнениями, имеющими коэффициенты в любом поле ; тогда говорят, что многообразие определено над этим полем. Исторически первыми изучаемыми абелевыми многообразиями были те, которые определялись в поле комплексных чисел . Такие абелевы многообразия оказываются именно теми комплексными торами , которые можно голоморфно вложить в комплексное проективное пространство .

Абелевы многообразия, определенные над полями алгебраических чисел, представляют собой частный случай, важный и с точки зрения теории чисел. Методы локализации естественным образом ведут от абелевых многообразий, определенных над числовыми полями, к многообразиям, определенным над конечными полями и различными локальными полями . Поскольку числовое поле является полем дробей дедекиндовой области , для любого ненулевого простого числа вашей дедекиндовой области существует отображение из дедекиндовой области в частное дедекиндовой области по простому числу, которое является конечным полем для всех конечных простых чисел. . Это вызывает отображение поля дроби в любое такое конечное поле. Учитывая кривую с уравнением, определенным над числовым полем, мы можем применить это отображение к коэффициентам, чтобы получить кривую, определенную над некоторым конечным полем, где выбор конечного поля соответствует конечным простым числам числового поля.

Абелевы многообразия естественным образом появляются как якобианы (компоненты связности нуля в многообразиях Пикара ) и многообразия Альбанезе других алгебраических многообразий. Групповой закон абелева многообразия обязательно коммутативен , а многообразие неособо . Эллиптическая кривая — это абелево многообразие размерности 1. Абелевы многообразия имеют размерность Кодаиры 0.

История и мотивация

Дополнительная информация: История многообразий и разновидностей.

В начале девятнадцатого века теория эллиптических функций сумела дать основу теории эллиптических интегралов , и это открыло очевидный путь для исследований. Стандартные формы эллиптических интегралов включали квадратные корни из кубических и четвертых полиномов . если их заменить полиномами более высокой степени, скажем , квинтиками Что произойдет, ?

В работе Нильса Абеля и Карла Якоби ответ был сформулирован: здесь будут задействованы функции двух комплексных переменных , имеющие четыре независимых периода (т.е. векторы периодов). Это дало первое представление об абелевом многообразии размерности 2 ( абелева поверхность ): то, что теперь будет называться якобианом гиперэллиптической кривой рода 2 .

После Абеля и Якоби одними из наиболее важных авторов теории абелевых функций были Риман , Вейерштрасс , Фробениус , Пуанкаре и Пикард . В то время эта тема была очень популярна, и уже существовала большая литература.

К концу XIX века математики начали использовать геометрические методы при изучении абелевых функций. В конце концов, в 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов. Он также, по-видимому, первым использовал название «абелева разновидность». Именно Андре Вейль в 1940-х годах дал этому предмету современные основы на языке алгебраической геометрии.

Сегодня абелевы многообразия являются важным инструментом в теории чисел, в динамических системах (точнее, при изучении гамильтоновых систем ) и в алгебраической геометрии (особенно многообразиях Пикара и многообразиях Альбанезе ).

Аналитическая теория

Определение

Комплексный тор размерности g — это тор вещественной размерности 2 g , несущий структуру комплексного многообразия . Его всегда можно получить как фактор -мерного g комплексного векторного пространства по решетке ранга 2 g .Комплексное абелево многообразие размерности g — это комплексный тор размерности g , который также является проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел. Применяя теорему вложения Кодаиры и теорему Чоу, можно эквивалентным образом определить комплексное абелево многообразие размерности g как комплексный тор размерности g , допускающий положительное линейное расслоение. Поскольку абелевы многообразия представляют собой комплексные торы, они несут структуру группы . Морфизм абелевых многообразий — это морфизм лежащих в основе алгебраических многообразий, который сохраняет единичный элемент для структуры группы. Изогения — это морфизм , кратный конечной единице.

Когда комплексный тор несет структуру алгебраического многообразия, эта структура обязательно уникальна. В случае g = 1 понятие абелева многообразия такое же, как и понятие эллиптической кривой , и каждый комплексный тор порождает такую ​​кривую; для g было известно > 1 со времен Римана , что условие алгебраического многообразия накладывает дополнительные ограничения на комплексный тор.

Условия Римана

Следующий критерий Римана решает, является ли данный комплексный тор абелевым многообразием, т.е. может ли он быть вложен в проективное пространство. Пусть X — g -мерный тор, заданный как X = V / L где V — комплексное векторное пространство размерности g , а L — решетка в V. , Тогда X является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда существует положительно определенная эрмитова форма на V которой , мнимая часть принимает целые значения на L × L . Такую форму на X обычно называют (невырожденной) формой Римана . Выбрав базис для V и L , можно сделать это условие более явным. Есть несколько эквивалентных формулировок этого; все они известны как условия Римана.

Якобиан алгебраической кривой

Каждой алгебраической кривой C рода размерности g сопоставляется абелевое многообразие посредством g ≥ 1 аналитического отображения C в J. J Как тор, J несет коммутативную групповую структуру, а образ C порождает J как группу. Точнее, J покрывается C ^г : любая точка в J происходит из g -кортежа точек в C . Изучение дифференциальных форм на C , которые приводят к абелевым интегралам, которых началась теория, может быть выведено из более простой, трансляционно-инвариантной теории дифференциалов на J. с Абелево многообразие J называется якобианом многообразия C для любой неособой кривой C над комплексными числами. С точки зрения бирациональной геометрии , ее функциональное поле — это фиксированное поле симметрической группы на g букв, действующей на функциональное поле C. ^г .

Абелевы функции

Абелева функция — это мероморфная функция на абелевом многообразии, которую поэтому можно рассматривать как периодическую функцию n комплексных переменных, имеющую 2 n независимых периодов; эквивалентно, это функция в функциональном поле абелева многообразия.Например, в девятнадцатом веке большой интерес проявлялся к гиперэллиптическим интегралам , которые можно было выразить через эллиптические интегралы. Это сводится к утверждению, что J является произведением эллиптических кривых с точностью до изогении.

Смотрите также: абелев интеграл

Важные теоремы

Одной из важных структурных теорем абелевых многообразий является теорема Мацусаки . Он утверждает, что над алгебраически замкнутым полем каждое абелево многообразие $A$ – фактор якобиана некоторой кривой; т. е. существует некоторая сюръекция абелевых многообразий $J\to A$ где $J$ является якобианом. Эта теорема остается верной, если основное поле бесконечно.

Алгебраическое определение

два эквивалентных определения абелева многообразия над общим полем k Обычно используются :

• связная полная и группа алгебраическая над k
• группа связная и проективная алгебраическая над k .

Когда основанием является поле комплексных чисел, эти понятия совпадают с предыдущим определением. Над всеми базисами эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1.

В начале 1940-х годов Вейль использовал первое определение (по произвольному базовому полю), но сначала не смог доказать, что из него следует второе. Лишь в 1948 году он доказал, что полные алгебраические группы можно вложить в проективное пространство. Между тем, чтобы доказать работу гипотезы Римана для кривых над конечными полями , о которой он объявил в 1940 году, ему пришлось ввести понятие абстрактного многообразия и переписать основы алгебраической геометрии для работы с многообразиями без проективных вложений. (см. также раздел истории в статье «Алгебраическая геометрия» ).

Структура группы точек

По определениям абелево многообразие является групповым многообразием. Можно доказать, что его группа точек коммутативна .

Для C и, следовательно, по Лефшеца для любого алгебраически замкнутого поля нулевой периодическая характеристики группа абелева многообразия размерности g изоморфна принципу ( Q / Z ) ^{2 г} . Следовательно, его n -крученная часть изоморфна ( Z / n Z ) ^{2 г} , т. е. произведение 2 g копий циклической группы порядка n .

Когда базовое поле является алгебраически замкнутым полем характеристики p , n -кручение по-прежнему изоморфно ( Z / n Z ). ^{2 г} когда n и p взаимно просты . Когда n и p не являются взаимно простыми, тот же результат можно получить, если интерпретировать его как утверждение, что n -кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2 g . Если вместо рассмотрения полной структуры схемы n -кручения рассматривать только геометрические точки, то получается новый инвариант многообразий характеристики p (так называемый p -ранг при n = p ).

Группа k -рациональных точек для глобального поля k теоремой конечно порождается Морделла -Вейля . Следовательно, по структурной теореме для конечно порожденных абелевых групп она изоморфна произведению свободной абелевой группы Z ^р и конечная коммутативная группа для некоторого неотрицательного целого числа r, называемого рангом абелева многообразия. Аналогичные результаты справедливы и для некоторых других классов полей k .

Продукты

Произведение абелева многообразия A размерности m и абелева многообразия B размерности n над одним и тем же полем является абелевым многообразием размерности m + n . Абелево многообразие называется простым , если оно не изогенно произведению абелевых многообразий меньшей размерности. Любое абелево многообразие изогенно произведению простых абелевых многообразий.

Поляризация и двойное абелевое многообразие

Двойное абелевое многообразие

Основная статья: Двойное абелевое многообразие

Абелеву многообразию A над полем k сопоставляется двойственное абелево многообразие A ^v (над тем же полем), что является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованное k -многообразием T, называется линейным расслоением L на A × T такой, что

1. для всех t в T ограничение L на A ×{ t } представляет собой линейное расслоение степени 0,
2. ограничение L на {0}× T является тривиальным линейным расслоением (здесь 0 — тождество A ).

Тогда существует разновидность А ^v и семейство линейных расслоений P степени 0 , расслоение Пуанкаре, параметризованное A ^v такой, что семейству L на T сопоставлен единственный морфизм f : T → A ^v так что L изоморфен обратному образу P вдоль морфизма 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Применяя это к случаю, когда T — точка, мы видим, что точки A ^v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A существует естественная групповая операция , поэтому на A ^v задано тензорным произведением линейных расслоений, что превращает его в абелево многообразие.

Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что + она является контравариантным функториалом , т.е. она сопоставляет всем морфизмам f : A → B двойственные морфизмы f ^v : Б ^v → А ^v совместимым образом, и существует естественный изоморфизм между двойным двойственным A ^вв и A (определенные через расслоение Пуанкаре). n n -кручение абелева многообразия и n -кручение его двойственного многообразия двойственны друг другу, когда взаимно просто с характеристикой базы. В общем случае - для всех n двойственных абелевых -круговые групповые схемы многообразий являются двойственными по Картье друг другу. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.

Поляризации

Поляризация изогения абелева многообразия — это от абелева многообразия к двойственному ему многообразию, симметричная относительно двойной двойственности для абелевых многообразий и для которой достаточен обратный образ расслоения Пуанкаре вдоль соответствующего морфизма графа (поэтому он аналогичен положительно определённая квадратичная форма). Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов . Основная поляризация — это поляризация, которая является изоморфизмом. Якобианы кривых естественным образом наделяются главной поляризацией, как только выбирают произвольную рациональную базовую точку на кривой, и кривая может быть восстановлена ​​по ее поляризованному якобиану, когда род > 1. Не все принципиально поляризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых. кривые; см. проблему Шоттки . Поляризация индуцирует инволюцию Розати на кольце эндоморфизмов $\mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ А. ​ ​

Поляризации по комплексным числам

Над комплексными числами поляризованное абелево многообразие можно определить как абелево многообразие A вместе с выбором римановой формы H . Две формы Римана H ₁ и H ₂ называются эквивалентными, если существуют целые положительные числа n и m такие, что nH ₁ = mH ₂ . Выбор класса эквивалентности форм Римана А называется поляризацией А ; на над комплексным числом это эквивалентно определению поляризации, данному выше. Морфизм поляризованных абелевых многообразий — это морфизм A → B абелевых многообразий такой, что формы Римана на B к A эквивалентен заданной форме на A. возврат

Абелева схема

Можно также определить схему абелевых многообразий - теоретически и относительно базы . Это позволяет единообразно рассматривать такие явления, как редукция по модулю p абелевых многообразий (см. Арифметика абелевых многообразий ) и семейства параметров абелевых многообразий. Абелева схема над базовой схемой S относительной размерности g — это правильная геометрические гладкая групповая схема над S, которой слои связны и имеют размерность g . Слоями абелевой схемы являются абелевы многообразия, поэтому можно думать об абелевой схеме над S как о семействе абелевых многообразий, параметризованных S .

Для абелевой схемы A / S группа n- точек кручения образует конечную плоскую групповую схему . Союз п. ^н -точки кручения для всех n образуют p-делимую группу . Деформации абелевых схем, согласно теореме Серра – Тейта , определяются свойствами деформации ассоциированных p -делимых групп.

Пример

Позволять $A,B\in \mathbb {Z}$ быть таким, что $x^{3}+Ax+B$ не имеет повторяющихся комплексных корней. Тогда дискриминант $\Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})$ ненулевое значение. Позволять $R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]$, так $\operatorname {Spec} R$ представляет собой открытую подсхему $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$. Затем $\operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})$ является абелевой схемой над $\operatorname {Spec} R$. Его можно расширить до модели Нерона . $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$, которая представляет собой гладкую групповую схему над $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$, но модель Нерона не является собственной и, следовательно, не является абелевой схемой над $\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$.

Несуществование

V. A. Abrashkin и Жан-Марк Фонтен независимо доказал, что не существует ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошей редукцией во всех простых числах. не существует ненулевых абелевых схем Эквивалентно, над Spec Z . Доказательство заключается в том, чтобы показать, что координаты p ^н -точки кручения порождают числовые поля с очень небольшим разветвлением и, следовательно, с малым дискриминантом, в то время как, с другой стороны, существуют нижние границы дискриминантов числовых полей.

Полуабелева разновидность

Полуабелево многообразие — это коммутативное групповое многообразие, являющееся расширением абелева многообразия с помощью тора .

См. также

• Мотивы
• Хронология абелевых разновидностей
• Модули абелевых многообразий
• Уравнения, определяющие абелевы многообразия
• Пучок Хоррокса – Мамфорда

Источники

• Биркенхаке, Кристина; Ланге, Х. (1992), Сложные абелевы разновидности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-54747-3 . Комплексное рассмотрение сложной теории с обзором истории предмета.
• Долгачев, И.В. (2001) [1994], «Абелева схема» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Фальтингс, Герд ; Чай, Чинг-Ли (1990), Вырождение абелевых разновидностей , Springer Verlag , ISBN  3-540-52015-5
• Милн, Джеймс, абелевские сорта , получено 6 октября 2016 г. Конспекты онлайн-курсов.
• Мамфорд, Дэвид (2008) [1970], Абелевы многообразия , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-81-85931-86-9 , МР   0282985 , OCLC   138290
• Венков Б.Б.; Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Абелевое_многообразие» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Брюин, Н; Флинн, Э.В., N-ПОКРЫТИЯ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ (PDF) , Оксфорд: Математический институт Оксфордского университета . Описание якобиана накрывающих кривых