Правильный морфизм

В алгебраической геометрии собственный морфизм является схем аналогом правильного отображения комплексных аналитических пространств .

Некоторые авторы называют собственное многообразие над полем k многообразием полным . Например, каждое проективное многообразие над полем k является собственным над k . Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является собственной над C тогда и только тогда, когда пространство X ( C ) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово .

является Закрытое погружение правильным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный .

Определение

Морфизм Z f : X → Y схем называется универсально замкнутым , если для каждой схемы с морфизмом Z → Y проекция из расслоенного произведения

$X\times _{Y}Z\to Z$

является замкнутым отображением лежащих в основе топологических пространств . Морфизм схем называется собственным, если он отделим , конечного типа и универсально замкнут ([EGA] II, 5.4.1 [1] ). Также говорят, что X является собственным над Y . В частности, многообразие X над полем k называется собственным над k, если морфизм X → Spec( k ) является собственным.

Примеры

Для любого натурального числа проективное n пространство P ^н над коммутативным кольцом R является собственным над R . Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы проективны. Например, существует гладкое не проективное над C. собственное комплексное многообразие размерности 3 , Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над полем k . В более общем смысле, собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. Например, нетрудно увидеть, что аффинная линия A ¹ над полем k не является собственным над k , поскольку морфизм A ¹ → Spec( k ) не является универсально замкнутым. Действительно, обратный морфизм

$\mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}$

(заданный ( x , y ) ↦ y ) не является замкнутым, потому что образ замкнутого подмножества xy = 1 в A ¹ × А ¹ = А ² это А ¹ − 0, незамкнутый в A ¹ .

Свойства и характеристики собственных морфизмов

Пусть далее f : X → Y — морфизм схем.

• Композиция двух собственных морфизмов правильная.
• Любая замена базы собственного морфизма f : X → Y является собственной. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то полученный морфизм X × _Y Z → Z является собственным.
• Правильность — локальное свойство на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрыта некоторыми открытыми подсхемами Y _i и ограничение f на все f ⁻¹ (Y _i ) является правильным, то и f .
• Более строго: правильность локальна на базе топологии fpqc . Например, если X — схема над полем k а E — расширение поля k , то X является правильным над k тогда и только тогда, когда замена базы X _E является правильной над E. ,
• Закрытое погружение допустимо.
• В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие теоремы о повышении .
• По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. Это было показано Гротендиком, если морфизм f : X → Y имеет локально конечное представление , что следует из других предположений, Y нётеров если .
• Для собственного X над схемой S и Y , разделенного над S , образ любого морфизма X → Y над S является замкнутым подмножеством Y . Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
• Теорема Стейна о факторизации утверждает, что любой правильный морфизм локально нетеровой схемы может быть факторизован как X → Z → Y , где X → Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связные слои, а Z → Y конечен.
• Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами . Одна из версий такова: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неприводимых компонентов (что автоматически для нетеровой схемы Y ), то существует проективный сюръективный морфизм g : W → X такой, что W проективна над Ю. ​Более того, можно сделать так, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U в X и что g ⁻¹ ( U ) плотно в W . Можно также сделать так, чтобы W было целым, если X было целым.
• Теорема о компактификации Нагаты , обобщенная Делинем, гласит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиотделенными схемами действует как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм.
• Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что высшие прямые образы R ^я f _∗ ( F ) (в частности, прямой образ f _∗ ( F )) когерентного пучка F когерентны (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для правильного отображения между комплексными аналитическими пространствами Грауэрт и Реммерт показали, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) В качестве совершенно частного случая: кольцо регулярных функций на правильной схеме X над полем k имеет конечную размерность. как k -векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k — это кольцо многочленов k [ x ], которое не имеет конечной размерности как k -векторное пространство.
• Существует также несколько более сильное утверждение: ( EGA III , 3.2.4) пусть $f\colon X\to S$ — морфизм конечного типа, S локально нетеров и $F$ а ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль. Если носитель F собственный над S , то для каждого $i\geq 0$ более высокое прямое изображение $R^{i}f_{*}F$ является последовательным.
• Для схемы X конечного типа над комплексными числами множество X ( C ) комплексных точек представляет собой комплексное аналитическое пространство , использующее классическую (евклидову) топологию. Для X и Y, разделенных и имеющих конечный тип над C , морфизм f : X → Y над C является собственным тогда и только тогда, когда непрерывное отображение f : X ( C ) → Y ( C ) является собственным в том смысле, что прообраз любого компакта компактно.
• Если f : X → Y и g : Y → Z таковы, что gf собственный и g отделим, то f правильный. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.

Ценностный критерий правильности

Ценностный критерий правильности

Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Шевалле . Его принято называть оценочным критерием правильности . Пусть f : X → Y — морфизм нётеровых схем конечного типа . Тогда f является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец дискретного нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), отображающейся в точку f ( x ), определенной над R , существует единственная подъем x до ${\overline {x}}\in X(R)$. (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм f : X → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактный) «любых» схем X , Y является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), определенную над R , существует единственный подъем x до ${\overline {x}}\in X(R)$. (Объединяет теги проекта 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является точкой общей Spec R , а кольца дискретного нормирования являются в точности регулярными локальными одномерными кольцами, можно перефразировать критерий: дана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s : Spec R → Y ) и при подъеме общей точки этой кривой до функция X f является правильной тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую.

Аналогично, f отделена тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме существует не более одного подъема. ${\overline {x}}\in X(R)$.

Например, учитывая оценочный критерий, легко проверить, что проективное пространство P ^н правильна над полем (или даже над Z ). Просто можно заметить, что для кольца дискретного нормирования R с полем дробей K каждая K -точка [ x ₀ ,..., x _n ] проективного пространства происходит из R -точки путем масштабирования координат так, чтобы все они лежали в R. один из них является единицей в R. и хотя бы

Геометрическая интерпретация с дисками

Одним из мотивирующих примеров оценочного критерия правильности является трактовка ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])$ как бесконечно малый диск, или комплексно-аналитически, как диск $\Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}$. Это происходит из-за того, что каждый степенной ряд

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}$

сходится в некотором круге радиуса $r$ вокруг начала. Тогда, используя замену координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном круге. Тогда, если мы инвертируем $t$, это кольцо $\mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))$ которые представляют собой степенные ряды, которые могут иметь полюс в начале координат. Топологически это представлено как открытый диск. $\Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}$ с удаленным источником. Для морфизма схем над ${\text{Spec}}(\mathbb {C} )$, это задается коммутативной диаграммой

${\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}$

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение пункта $0\in \Delta$ в образе $\Delta ^{*}$.

Пример

Поучительно рассмотреть контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем $X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}$ и $Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )$, то морфизм ${\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X$ факторы через аффинную диаграмму $X$, сводя диаграмму к

${\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}$

где ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ диаграмма сосредоточена вокруг $\{x\}$ на $X$. Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр

${\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}$

Затем поднятие схемы схем, ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$, будет означать, что существует морфизм $\mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]$ отправка $t\mapsto t$ из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может случиться. Поэтому $X$ не подходит $Y$.

интерпретация с

Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую часть интуитивного понимания того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую $C$ и дополнение точки $C-\{p\}$. Тогда оценочный критерий правильности можно было бы представить в виде диаграммы.

${\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}$

с подъемом $C\to X$. Геометрически это означает, что каждая кривая на схеме $X$ можно завершить до компактной кривой. Эта интуиция согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является локальной проблемой, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца. ${\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}$, который является DVR, и его дробное поле ${\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})$. Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму

${\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}$

где схема ${\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))$ представляет собой локальный диск вокруг ${\mathfrak {p}}$ с закрытой точкой ${\mathfrak {p}}$ удаленный.

морфизм

Позволять $f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}$ быть морфизмом между локально нётеровыми формальными схемами . Мы говорим, что f является правильным или ${\mathfrak {X}}$ подходит к концу ${\mathfrak {S}}$ если (i) f является адическим морфизмом (т. е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение $f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}$ правильно, где $X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ и K — идеал определения ${\mathfrak {S}}$.( EGA III , 3.4.1) Определение не зависит от выбора K .

Например, если g : Y → Z — собственный морфизм локально нётеровых схем, Z ₀ — замкнутое подмножество в Z , а Y ₀ — замкнутое подмножество в Y такое, что g ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀ , то морфизм ${\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}$ о формальных пополнениях является собственным морфизмом формальных схем.

Гротендик доказал теорему когерентности в этой ситуации. А именно, пусть $f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}$ — собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F — когерентный пучок на ${\mathfrak {X}}$, то высшие прямые образы $R^{i}f_{*}F$ являются последовательными.

См. также

• Теорема о правильной замене базы
• Факторизация Штейна

Ссылки

• SGA1 Этальные накрытия и фундаментальная группа, Конспект лекций по математике 224, 1971 г.
• Конрад, Брайан (2007), «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) , Журнал Математического общества Рамануджана , 22 : 205–257, MR   2356346
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 :5–222. дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 . , раздел 5.3. (определение правильности), раздел 7.3. (ценностный критерий приличия)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 :5–167. дои : 10.1007/bf02684274 . МР   0217085 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343 . МР   0217086 . , раздел 15.7. (обобщения оценочных критериев на не обязательно нётеровы схемы)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN  9780191547805 , МР   1917232

Внешние ссылки

• В.И. Данилов (2001) [1994], «Правильный морфизм» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project