Морфизм конечного типа

В коммутативной алгебре при гомоморфизме A → B коммутативных колец , B называется A - алгеброй конечного типа если B является конечно порожденной как A -алгебра. Гораздо сильнее, если B является конечной A -алгеброй, а это означает, что B порождена конечно как A - модуль . Например, для любого коммутативного кольца A и натурального числа n A кольцо полиномов [ x 1 _, ..., x _n ] является A -алгеброй конечного типа, но оно не является конечным A -модулем, если только A = 0. или n = 0. Другой пример гомоморфизма конечного типа, который не является конечным, - это $\mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)$.

Аналогичное понятие в терминах схем таково: морфизм схем f : X → Y имеет конечный тип , если Y имеет покрытие аффинными открытыми подсхемами Vi _что = Spec A _i такое, f ⁻¹ ( V _i ) имеет конечное покрытие аффинными открытыми подсхемами U _ij = Spec B _ij, причем B _ij является A _i -алгеброй конечного типа. Также говорят, что X имеет конечный тип над Y .

Например, для любого натурального числа n и поля k и аффинное n -пространство , проективное n -пространство над k имеют конечный тип над k (то есть над Spec k ), хотя они не конечны над k если только n = 0. В более общем смысле, любая квазипроективная схема над k имеет конечный тип над k .

Лемма Нётер о нормализации говорит в геометрических терминах, что каждая аффинная схема X конечного типа над полем k имеет конечный сюръективный морфизм в аффинное пространство A. ^н над k , n — размерность X. ​ где Аналогично, каждая проективная схема X над полем имеет конечный сюръективный морфизм в проективное пространство P. ^н , где n размерность X. —

См. также

• Конечно порожденная алгебра

Ссылки

Босх, Зигфрид (2013). Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра . Лондон: Спрингер . стр. 360–365. ISBN  9781447148289 .