Пучок алгебр

В алгебраической геометрии пучок алгебр в кольцевом пространстве X — это пучок коммутативных колец на X , который также является пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули . Он квазикогерентен, если он таков как модуль.

Когда X — схема , как и кольцо, можно взять глобальную Spec квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору $\operatorname {Spec} _{X}$ из разряда квазикогерентных (пучков) ${\mathcal {O}}_{X}$ -алгебры на X к категории схем, аффинных над X ( определенных ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратное задание задается отправкой аффинного морфизма $f:Y\to X$ к $f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.$ ^[1]

Аффинный морфизм [ править ]

Морфизм схем $f:X\to Y$ называется аффинным, если $Y$ имеет открытое аффинное покрытие $U_{i}$ такое, что $f^{-1}(U_{i})$ являются аффинными. ^[2] Например, конечный морфизм аффинен. Аффинный морфизм квазикомпактен и отделим ; в частности, квазикогерентен прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма.

Замена базы аффинного морфизма является аффинной. ^[3]

Позволять $f:X\to Y$ быть аффинным морфизмом между схемами и $E$ вместе локально окольцованное пространство с картой $g:E\to Y$ . Тогда естественное отображение между множествами:

\operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})

является биективным. ^[4]

Примеры [ править ]

Позволять $f:{\widetilde {X}}\to X$ — нормализация алгебраического многообразия X . Тогда, поскольку f конечно, $f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}$ является квазикогерентным и $\operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}$ .
Позволять $E$ — локально свободный пучок конечного ранга на схеме X . Затем $\operatorname {Sym} (E^{*})$ это квазикогерентный ${\mathcal {O}}_{X}$ -алгебра и $\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X$ — ассоциированное векторное расслоение над X (называемое полным пространством $E$ .)
В более общем смысле, если F — когерентный пучок на X , то все еще есть $\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X$ , обычно называемая абелевой оболочкой F ; см. Конус (алгебраическая геометрия)#Примеры .

Формирование прямых образов [ править ]

Для окольцованного пространства S существует категория $C_{S}$ пар $(f,M)$ состоящий из кольцевого пространственного морфизма $f:X\to S$ и ${\mathcal {O}}_{X}$ -модуль $M$ . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из $C_{S}$ к категории пар, состоящих из ${\mathcal {O}}_{S}$ -алгебра A и A -модуль M , отправляющий каждую пару $(f,M)$ паре $(f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)$ .

Теперь предположим, что S — схема, и тогда пусть $\operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}$ — подкатегория, состоящая из пар $(f:X\to S,M)$ такой, что $f$ является аффинным морфизмом между схемами и $M$ квазикогерентный пучок на $X$ . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между $\operatorname {Aff} _{S}$ и категория пар $(A,M)$ состоящий из ${\mathcal {O}}_{S}$ -алгебра A и квазикогерентная $A$ -модуль $M$ . ^[5]

Приведенную выше эквивалентность можно использовать (помимо прочего) для следующей конструкции. Как и раньше, для схемы S пусть A — квазикогерентная схема . ${\mathcal {O}}_{S}$ -algebra, а затем возьмем ее глобальную спецификацию: $f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S$ . Тогда для каждого квазикогерентного A -модуля M существует соответствующий квазикогерентный ${\mathcal {O}}_{X}$ -модуль ${\widetilde {M}}$ такой, что $f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,$ называется пучком, связанным с M . Другими словами, $f_{*}$ определяет эквивалентность категории квазикогерентных ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули и квазикогерентные $A$ -модули.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ EGA 1971 , гл. I, теорема 9.1.4.
^ EGA 1971 , Гл. I, Определение 9.1.1.
^ Проект «Стеки», тег 01S5 .
^ EGA 1971 , Гл. I, предложение 9.1.5.
^ EGA 1971 , гл. I, теорема 9.2.1.

Гротендик, Александр ; Дьедонн, Жан (1971). Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем . Основы математических наук (на французском языке). Том 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

Внешние ссылки [ править ]

https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism

[1] EGA 1971 , гл. I, теорема 9.1.4.

[2] EGA 1971 , Гл. I, Определение 9.1.1.

[3] Проект «Стеки», тег 01S5 .

[4] EGA 1971 , Гл. I, предложение 9.1.5.

[5] EGA 1971 , гл. I, теорема 9.2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]