Кольцевое пространство

В математике кольцевое пространство — это семейство ( коммутативных ) колец, параметризованных открытыми подмножествами топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , играющими роль ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец, называемым структурным пучком . Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.

Среди окольцованных пространств особенно важным и выдающимся является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стеблем в точке и кольцом ростков функций в точке.

Кольцевые пространства появляются в анализе, а также в комплексной алгебраической геометрии и теории схем алгебраической геометрии .

Примечание . В определении кольцевого пространства большинство изложений склонны ограничивать кольца коммутативными кольцами , включая Хартшорн и Википедию. С другой стороны, «Элементы алгебраической геометрии» не налагают предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. ^[1]

Определения

Окольцованное пространство $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ это топологическое пространство $X$ вместе связкой колец со ${\mathcal {O}}_{X}$ на $X$ . Сноп ${\mathcal {O}}_{X}$ называется пучком структурным $X$ .

— Локально окольцованное пространство это окольцованное пространство. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , что все стебли так ${\mathcal {O}}_{X}$ являются локальными кольцами (т.е. имеют единственные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что не требуется , чтобы ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ быть локальным кольцом для каждого открытого множества $U$ ; на самом деле это почти никогда не так.

Примеры

Произвольное топологическое пространство $X$ можно считать локально окольцованным пространством, взяв ${\mathcal {O}}_{X}$ быть пучком действительных (или комплексных ) непрерывных функций на открытых подмножествах $X$ . Стебель точке в $x$ можно рассматривать как совокупность всех ростков непрерывных функций в точках $x$ ; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из тех ростков, значение которых равно $x$ является $0$ .

Если $X$ является многообразием с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых или голоморфных функций. Оба из них приводят к появлению локально окольцованных пространств.

Если $X$ — алгебраическое многообразие, несущее топологию Зариского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ быть кольцом рациональных отображений, определенных на открытом по Зарискому множестве $U$ которые не взрываются (становятся бесконечными) внутри $U$ . Важным обобщением этого примера является обобщение спектра любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы — это локально окольцованные пространства, полученные «склейкой» спектров коммутативных колец.

Морфизмы

Морфизм из $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ к $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ это пара $(f,\varphi )$ , где $f:X\to Y$ представляет собой непрерывное отображение между лежащими в основе топологическими пространствами и $\varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ является морфизмом структурного пучка $Y$ к прямому образу структурного пучка $X$ . Другими словами, морфизм из $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ к $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ дают следующие данные:

непрерывная карта $f:X\to Y$
семейство кольцевых гомоморфизмов $\varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$ за каждый открытый набор $V$ из $Y$ которые коммутируют с картами ограничений. То есть, если $V_{1}\subseteq V_{2}$ представляют собой два открытых подмножества $Y$ , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения являются гомоморфизмами ограничения):

Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованными пространствами:

кольцевые гомоморфизмы, индуцированные $\varphi$ между стеблями $Y$ и стебли $X$ должны быть локальными гомоморфизмами , т.е. для каждого $x\in X$ максимальный идеал локального кольца (стебелька) в точке $f(x)\in Y$ отображается в максимальный идеал локального кольца в точке $x\in X$ .

Два морфизма можно скомпоновать, образуя новый морфизм, и мы получаем категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются обычным образом.

Касательные пространства

Локально окольцованные пространства имеют достаточную структуру, чтобы можно было дать осмысленное определение касательных пространств . Позволять $X$ быть локально окольцованным пространством со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ ; мы хотим определить касательное пространство $T_{x}(X)$ в точку $x\in X$ . Возьмите местное кольцо (стебель) $R_{x}$ в точку $x$ , с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Затем $k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ это поле и ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ является векторным пространством над этим полем ( кокасательным пространством ). Касательное пространство $T_{x}(X)$ определяется как двойственное этому векторному пространству.

Идея следующая: касательный вектор при $x$ должен рассказать вам, как «дифференцировать» «функции» в $x$ , то есть элементы $R_{x}$ . Теперь достаточно уметь различать функции, значение которых в $x$ равна нулю, так как все остальные функции отличаются от этих только константой, а константы мы умеем дифференцировать. Поэтому нам нужно только рассмотреть ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Более того, если заданы две функции со значением ноль в точке $x$ , то их произведение имеет производную 0 при $x$ , по правилу произведения . Поэтому нам нужно только знать, как присваивать «числа» элементам ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ , и это то, что делает двойное пространство.

Модули над структурным пучком

Учитывая локально окольцованное пространство $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , определенные пучки модулей на $X$ происходят в приложениях, ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули. Чтобы определить их, рассмотрим пучок F абелевых групп на $X$ . Если F ( U ) — модуль над кольцом ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ за каждый открытый набор $U$ в $X$ и карты ограничений совместимы со структурой модуля, то мы вызываем $F$ а ${\mathcal {O}}_{X}$ -модуль. В этом случае стебель $F$ в $x$ будет модуль над локальным кольцом (стеблем) $R_{x}$ , для каждого $x\in X$ .

Морфизм между двумя такими ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули — это морфизм пучков , совместимый с заданными структурами модулей. Категория ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули над фиксированным локально окольцованным пространством $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ является абелевой категорией .

Важная подкатегория категории ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули — это категория квазикогерентных пучков на $X$ . Сноп ${\mathcal {O}}_{X}$ -модуля называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения между свободными ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули. Связный пучок $F$ является квазикогерентным пучком, который локально имеет конечный тип и для любого открытого подмножества $U$ из $X$ ядро любого морфизма из свободного ${\mathcal {O}}_{U}$ -модуль конечного ранга $F_{U}$ также имеет конечный тип.

Цитаты

^ Элементы алгебраической геометрии , Гл. 0, 4.1.1.

Ссылки

Раздел 0.4 Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

Внешние ссылки

Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Кольцевое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Элементы алгебраической геометрии , Гл. 0, 4.1.1.

[1]