Герм (математика)

В математике понятие зародыша объекта в топологическом пространстве — это класс эквивалентности этого объекта и других объектов того же типа, который фиксирует их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты — это в основном функции (или карты ) и подмножества . В конкретных реализациях этой идеи рассматриваемые функции или подмножества будут обладать каким-то свойством, например быть аналитическими или гладкими , но в целом в этом нет необходимости (рассматриваемые функции даже не обязательно должны быть непрерывными ); однако необходимо, чтобы пространство, в котором определен объект, было топологическим пространством, чтобы слово локальный имело какое-то значение.

Имя

Название происходит от слова «зародыш злака», являющегося продолжением метафоры снопа , поскольку зародыш является (локально) «сердцем» функции, как и для зерна.

Формальное определение

Основное определение

Дана точка x топологического пространства X и две карты $f,g:X\to Y$ (где Y — любое множество ), тогда $f$ и $g$ определить один и тот же росток в точке x, если существует окрестность U точки x такая, что, ограниченная U , f и g равны; это означает, что $f(u)=g(u)$ всех вас в U. для

Аналогично, если S и T — любые два подмножества X , то они определяют один и тот же росток в точке x, если снова существует окрестность U точки x такая, что

$S\cap U=T\cap U.$

Нетрудно видеть, что определение одного и того же ростка в точке x является отношением эквивалентности (будь то на отображениях или множествах), а классы эквивалентности называются ростками (соответственно, ростками-картами или ростками-множествами). Отношение эквивалентности обычно записывают

$f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.$

Если задано отображение f на X , то его росток в точке x обычно обозначается [ f ] _x . Аналогично, росток в точке x множества S записывается [ S ] _x . Таким образом,

$[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.$

Росток отображения в точке x в X , который отображает точку x в X в точку y в Y, обозначается как

$f:(X,x)\to (Y,y).$

При использовании этого обозначения f подразумевается как целый класс эквивалентности карт, в котором используется одна и та же буква f для любой репрезентативной карты .

Обратите внимание, что два множества росткоэквивалентны в точке x тогда и только тогда, когда их характеристические функции росткоэквивалентны в точке x :

$S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.$

В более общем плане

Карты не обязательно должны быть определены на всем X и, в частности, им не обязательно иметь один и тот же домен. Однако, если f имеет область S , а g имеет область T , оба подмножества X , то f и g являются ростково-эквивалентными в точке x в X, если сначала S и T являются ростково-эквивалентными в точке x , скажем $S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,$ и более того $f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}$, для некоторой меньшей окрестности V с $x\in V\subseteq U$. Это особенно актуально в двух ситуациях:

1. f определено подмногообразии V X и на
2. f имеет своего рода полюс в точке x , поэтому даже не определена в точке x , как, например, рациональная функция , которая была бы определена на основе подмногообразия.

Основные свойства

Если f и g ростково-эквивалентны в точке x , то они обладают всеми локальными свойствами, такими как непрерывность, дифференцируемость и т. д., поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемом или аналитическом ростке и т. д. Аналогично и для подмножеств: если один представитель ростка является аналитическим множеством , то такими же являются все представители, по крайней мере, в некоторой окрестности x .

Алгебраические структуры целевого Y наследуются набором ростков со значениями в Y . Например, если целевой Y является группой , то имеет смысл умножить ростки: чтобы определить [ f ] _x [ ​​g ] _x , сначала возьмите представителей f и g , определенных в окрестностях U и V соответственно, и определите [ f ] _x [ g ] _x — росток в точке x поточечного произведения отображения fg (которое определено на $U\cap V$). Точно так же, если Y — абелева группа , векторное пространство или кольцо , то и множество ростков тоже.

Множество ростков в точке x отображений из X в Y не имеет полезной топологии , кроме дискретной . Поэтому говорить о конвергентной последовательности микробов практически не имеет смысла. Однако если X и Y — многообразия , то пространства струй $J_{x}^{k}(X,Y)$ конечного порядка ( ряды Тейлора в точке x карты(-ростков)) действительно имеют топологии, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами .

Связь с пучками

Идея зародышей лежит в основе определения пучков и предпучков. пучок Предварительный ${\mathcal {F}}$ абелевых групп в топологическом пространстве X ставит в соответствие абелеву группу ${\mathcal {F}}(U)$ каждому открытому множеству U в X . Типичными примерами абелевых групп здесь являются: функции на U , дифференциальные формы на U , векторные поля на U , голоморфные функции на U (когда X — комплексное многообразие ), постоянные функции на U и дифференциальные операторы на U. вещественные

Если $V\subseteq U$ тогда есть карта ограничений $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ удовлетворяющие определенным условиям совместимости . При фиксированном x говорят, что элементы $f\in {\mathcal {F}}(U)$ и $g\in {\mathcal {F}}(V)$ эквивалентны в точке x, если существует окрестность $W\subseteq U\cap V$ x ( с разрешением ₍ f ) = res _WV WU g ) (оба элемента ${\mathcal {F}}(W)$). Классы эквивалентности образуют стебель ${\mathcal {F}}_{x}$ в точке x предпучка ${\mathcal {F}}$. Это отношение эквивалентности представляет собой абстракцию описанной выше ростковой эквивалентности.

Интерпретация ростков через пучки также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах ростков. Причина в том, что образование стеблей сохраняет конечные пределы . Отсюда следует, что если T — теория Лоувера и пучок F — T -алгебра, то любой слой F _x также является T -алгеброй.

Примеры

Если $X$ и $Y$ имеют дополнительную структуру, можно определить подмножества множества всех отображений от X до Y или, в более общем смысле, подпредпучки данного предпучка ${\mathcal {F}}$ и соответствующие микробы: ниже приведены некоторые примечательные примеры .

• Если $X,Y$ оба являются топологическими пространствами , подмножество

$C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$

непрерывных функций определяет ростки непрерывных функций .

• Если оба $X$ и $Y$ допускают дифференцируемую структуру , подмножество

$C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$

из $k$-раз непрерывно дифференцируемые функции , подмножество

$C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$

гладких функций и подмножества

$C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$

аналитических функций можно определить ( $\omega$ вот порядковый номер бесконечности; это злоупотребление обозначениями , по аналогии с $C^{k}$ и $C^{\infty }$), и тогда пространства ростков (конечно) дифференцируемых гладких аналитических функций . можно построить

• Если $X,Y$ имеют комплексную структуру (например, являются подмножествами комплексных векторных пространств ), между ними могут быть определены голоморфные функции и, следовательно, могут быть построены пространства ростков голоморфных функций .
• Если $X,Y$ имеют алгебраическую структуру , то между ними могут быть определены регулярные (и рациональные ) функции и ростки регулярных функций (а также рациональных ). определены
• Зародыш $f:\mathbb {R} \rightarrow Y$ на положительной бесконечности (или просто росток f ) равен $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$. Эти ростки используются в асимптотическом анализе и полях Харди .

Обозначения

Стебель ​ снопа ${\mathcal {F}}$ в топологическом пространстве $X$ в какой-то момент $x$ из $X$ обычно обозначается ${\mathcal {F}}_{x}.$ Как следствие, зародыши, составляющие стебли пучков различного рода функций, заимствуют такую ​​схему обозначений:

• ${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ — пространство ростков непрерывных функций в точке $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ для каждого натурального числа $k$ это пространство зародышей $k$-раз-дифференцируемые функции при $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{\infty }$ — пространство ростков бесконечно дифференцируемых («гладких») функций в точке $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ – пространство ростков аналитических функций в точке $x$.
• ${\mathcal {O}}_{x}$ — пространство ростков голоморфных функций (в комплексной геометрии ) или пространство ростков регулярных функций (в алгебраической геометрии ) в $x$.

Для зародышей множеств и разновидностей обозначения не так четко установлены: некоторые обозначения, встречающиеся в литературе, включают:

• ${\mathfrak {V}}_{x}$ – пространство ростков аналитических многообразий в $x$. Когда точка $x$ фиксировано и известно (например, когда $X$ является топологическим векторным пространством и $x=0$), его можно опустить в каждый из приведенных выше символов: также, когда $\dim X=n$, нижний индекс перед добавлением символа. В качестве примера
• ${_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}$ представляют собой пространства ростков, показанные выше, когда $X$ это $n$-мерное векторное пространство и $x=0$.

Приложения

Ключевое слово в применении ростков — локальность : все локальные свойства функции в точке можно изучить, анализируя ее росток . Они являются обобщением рядов Тейлора , и действительно определен ряд Тейлора ростка (дифференцируемой функции): для вычисления производных вам нужна только локальная информация.

Ростки полезны при определении свойств динамических систем вблизи выбранных точек их фазового пространства : они являются одним из основных инструментов теории особенностей и теории катастроф .

Когда рассматриваемые топологические пространства представляют собой римановы поверхности или, в более общем смысле, комплексные аналитические многообразия , ростки голоморфных функций на них можно рассматривать как степенные ряды , и, таким образом, множество ростков можно рассматривать как аналитическое продолжение аналитической функции .

Ростки также можно использовать при определении касательных векторов в дифференциальной геометрии . Касательный вектор можно рассматривать как точечное дифференцирование алгебры ростков в этой точке.

Алгебраические свойства

Как отмечалось ранее, множества ростков могут иметь алгебраические структуры, например кольца. Во многих ситуациях кольца ростков не являются произвольными кольцами, а обладают вполне специфическими свойствами.

Предположим, что X — некоторое пространство. Часто бывает, что в каждом x ∈ X кольцо ростков функций в x является локальным кольцом . Так обстоит дело, например, с непрерывными функциями в топологическом пространстве; для k -кратно дифференцируемых, гладких или аналитических функций на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии ; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца ростков являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально окольцованных пространств .

Однако типы возникающих локальных колец во многом зависят от рассматриваемой теории. следует Из подготовительной теоремы Вейерштрасса , что кольца ростков голоморфных функций являются нетеровыми кольцами . Можно также показать, что это правильные кольца . С другой стороны, пусть ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ — кольцо ростков в начале гладких функций на R . Это кольцо местное, но не нетеровское. Чтобы понять почему, заметим, что максимальный идеал m этого кольца состоит из всех ростков, исчезающих в начале координат, а степень m ^к состоит из тех ростков, у которых первые k − 1 производные равны нулю. Если бы это кольцо было нётеровым, то из теоремы Крулла о пересечении следовало бы, что гладкая функция, ряд Тейлора которой обращается в нуль, будет нулевой функцией. Но это неверно, в чем можно убедиться, рассмотрев

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}$

Это кольцо также не является уникальной областью факторизации . Это связано с тем, что все УФД удовлетворяют условию возрастающей цепочки главных идеалов , но существует бесконечная возрастающая цепочка главных идеалов.

$\cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .$

Включения строгие, поскольку x находится в максимальном идеале m .

Кольцо ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ ростков в начале непрерывных функций на R даже обладает тем свойством, что его максимальный идеал m удовлетворяет m ² = м . Любой росток f ∈ m можно записать как

$f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},$

где sn — знаковая функция. Поскольку | ж | исчезает в начале координат, это выражает f как произведение двух функций от m , откуда и делается вывод. Это связано с созданием теории почти колец .

См. также

• Аналитический сорт
• Теория катастроф
• Аксиома склеивания
• Риманова поверхность
• Пучок
• Стебель

Ссылки

• Николя Бурбаки (1989). Общая топология. Главы 1–4 (изд. в мягкой обложке). Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-64241-2 . , глава I, пункт 6, подпункт 10 « Микробы в точке ».
• Рагхаван Нарасимхан (1973). Анализ действительных и комплексных многообразий (2-е изд.). Северо-Голландский Эльзевир. ISBN  0-7204-2501-8 . , глава 2, пункт 2.1, « Основные определения ».
• Роберт К. Ганнинг и Хьюго Росси (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Прентис-Холл . , глава 2 « Локальные кольца голоморфных функций », особенно параграф А « Элементарные свойства локальных колец » и параграф Е « Зародыши многообразий ».
• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , страница 71, Cambridge University Press ISBN   0-521-00264-8 .
• Джузеппе Таллини (1973). Дифференцируемые многообразия и когомологии Де Рама . Кремонские издания. ISBN  88-7083-413-1 . , параграф 31, « Ромбы дифференцируемых функций в точке $P$ Из $V_{n}$ (Элементы дифференцируемых функций в точке $P$ из $V_{n}$) » (на итальянском языке).

Внешние ссылки

• Чирка, Евгений Михайлович (2001) [1994], «Зародыш» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Зародыш гладких функций в PlanetMath .
• Мозырская, Дорота; Бартосевич, Збигнев (2006). «Системы ростков и теоремы о нулях в бесконечномерных пространствах». arXiv : math/0612355 . Исследовательский препринт, посвященный росткам аналитических многообразий в бесконечномерной ситуации.