Харди Филд
В математике поле Харди — это поле, состоящее из ростков вещественных функций на бесконечности, замкнутых относительно дифференцирования . Они названы в честь английского математика Г.Х. Харди .
Определение [ править ]
По крайней мере первоначально поля Харди определялись через ростки действительных функций на бесконечности. В частности, мы рассматриваем набор H функций, определенных для всех больших действительных чисел, то есть функций f , которые отображают ( u , ∞) в действительные числа R для некоторого действительного числа u , зависящего от f . Здесь и в остальной части статьи мы говорим, что функция обладает свойством « в конце концов », если она обладает этим свойством для всех достаточно больших x , поэтому, например, мы говорим, что функция f в H в конечном итоге равна нулю, если существует какое-то действительное число U такое, что что f ( x ) = 0 для всех x ≥ U . Мы можем сформировать отношение эквивалентности на H, сказав, что f эквивалентно g тогда и только тогда, когда f − g в конечном итоге равно нулю. Классы эквивалентности этого отношения называются ростками на бесконечности.
Если H образует поле при обычном сложении и умножении функций, то H образует поле и по модулю этого отношения эквивалентности при индуцированных операциях сложения и умножения. Более того, если каждая функция из H окончательно дифференцируема и производная любой функции из H также находится в H, то H по модулю приведенного выше отношения эквивалентности называется полем Харди. [1]
Таким образом, элементы поля Харди являются классами эквивалентности и должны обозначаться, скажем, [ f ] ∞, чтобы обозначить класс функций, которые в конечном итоге равны представительной функции f . Однако на практике элементы обычно обозначаются самими представителями, поэтому вместо [ f ] ∞ можно было бы просто написать f .
Примеры [ править ]
Если F является подполем R , то мы можем рассматривать его как поле Харди, рассматривая элементы F как постоянные функции, то есть рассматривая число α в F как постоянную функцию f α , которая отображает каждый x в R в α. Это поле, поскольку F является полем, и поскольку производная каждой функции в этом поле равна 0, которая должна находиться в F, это поле Харди.
Менее тривиальный пример поля Харди — поле рациональных функций на R , обозначаемое R ( x ). Это набор функций вида P ( x )/ Q ( x ), где P и Q — многочлены с действительными коэффициентами. многочлен Q может иметь только конечное число нулей Поскольку по фундаментальной теореме алгебры , такая рациональная функция будет определена для всех достаточно больших x особенно для всех x, больших, чем наибольший действительный корень Q. , Сложение и умножение рациональных функций дает больше рациональных функций, а правило фактора показывает, что производная рациональной функции снова является рациональной функцией, поэтому R ( x ) образует поле Харди.
Другим примером является поле функций, которые могут быть выражены с помощью стандартных арифметических операций, показателей степени и логарифмов и четко определены на некотором интервале вида . [2] Такие функции иногда называют L-функциями Харди . Гораздо большие поля Харди (которые содержат L-функции Харди в качестве подполя) могут быть определены с помощью transseries .
Свойства [ править ]
Каждый элемент поля Харди в конечном итоге является либо строго положительным, либо строго отрицательным, либо нулевым. Это следует довольно непосредственно из того факта, что элементы в поле Харди в конечном итоге дифференцируемы и, следовательно, непрерывны и в конечном итоге либо имеют мультипликативный обратный, либо равны нулю. Это означает, что периодические функции, такие как синус и косинус, не могут существовать в полях Харди.
Этот отказ от периодических функций также означает, что каждый элемент в поле Харди имеет (возможно, бесконечный) предел на бесконечности, поэтому, если f является элементом H , то
существует в R ∪ {−∞,+∞}. [3]
Это также означает, что мы можем упорядочить H , сказав f < g , если g − f в конечном итоге строго положителен. Обратите внимание, что это не то же самое, что утверждать, что f < g , если предел f меньше предела g . Например, если мы рассмотрим ростки тождественной функции f ( x ) = x и показательной функции g ( x ) = e х тогда, поскольку g ( x ) − f ( x ) > 0 для всех x, мы имеем g > f . Но они оба стремятся к бесконечности. В этом смысле упорядочение говорит нам, как быстро все неограниченные функции стремятся к бесконечности. Даже равенства конечных пределов недостаточно: рассмотрим f ( x ) = 1/ x и g ( x ) = 0.
В теории моделей [ править ]
Современная теория полей Харди ограничивается не вещественными функциями, а функциями, определенными в определенных структурах, расширяющих реальные замкнутые поля . Действительно, если R — o-минимальное расширение поля, то множество унарных определимых функций в R , определенных для всех достаточно больших элементов, образует поле Харди, обозначаемое H ( R ). [4] Свойства полей Харди в реальных условиях сохраняются и в этой более общей ситуации.
Ссылки [ править ]
- ^ Бошерницан, Майкл (1986), «Поля Харди и существование трансэкспоненциальных функций», Aequationes Mathematicae , 30 (1): 258–280, doi : 10.1007/BF02189932 , S2CID 121021048
- ^ Г.Х. Харди, Свойства логарифмико-экспоненциальных функций , Proc. Лондонская математика. Соц. (2), 54–90, 10 , 1911 г.
- ^ Розенлихт, Максвелл (1983), «Ранг поля Харди», Труды Американского математического общества , 280 (2): 659–671, doi : 10.2307/1999639 , JSTOR 1999639
- ^ Кульманн, Франц Виктор; Кульманн, Сальма (2003), «Теория оценки экспоненциальных полей Харди I» (PDF) , Mathematical Journal , 243 (4): 671–688, doi : 10.1007/s00209-002-0460-4 , S2CID 6679449