Транссериес

В математике область $\mathbb {T} ^{LE}$ логарифмически -экспоненциального трансряда представляет собой неархимедово упорядоченное дифференциальное поле , распространяющее сравнимость асимптотических скоростей роста элементарных нетригонометрических функций на гораздо более широкий класс объектов. Каждая транссерия log-exp представляет собой формальное асимптотическое поведение, и им можно формально манипулировать, и когда он сходится (или в каждом случае, если используется специальная семантика, например, через бесконечные сюрреалистические числа ), соответствует фактическому поведению. Транссерии также могут быть удобны для представления функций. Благодаря включению возведения в степень и логарифмов трансряды являются сильным обобщением степенного ряда на бесконечности ( ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{x^{n}}}}$) и другие подобные асимптотические разложения .

Поле $\mathbb {T} ^{LE}$ был представлен независимо Дан-Гёрингом и Экалле в соответствующих контекстах теории моделей или экспоненциальных полей, а также изучения аналитической сингулярности и доказательства Экаллем гипотез Дюлака. Он представляет собой формальный объект, расширяющий поле экс-логарифмических функций Харди и поле ускоренно-суммируемых рядов Экалле.

Поле $\mathbb {T} ^{LE}$ имеет богатую структуру: упорядоченное поле с понятием обобщенных рядов и сумм, с совместимым выводом с выделенным антивыводом, совместимыми экспоненциальными и логарифмическими функциями и понятием формального состава рядов.

Примеры и контрпримеры

Неформально говоря, exp-log трансряды представляют собой хорошо обоснованные (т.е. обратно хорошо упорядоченные) формальные ряды Хана действительных степеней положительной бесконечной неопределенной. $x$, экспоненты, логарифмы и их композиции, с действительными коэффициентами. Два важных дополнительных условия заключаются в том, что экспоненциальная и логарифмическая глубина трансряда exp-log $f,$ это максимальное количество итераций exp и log, происходящих в $f,$ должно быть конечным.

Следующие формальные ряды представляют собой трансряды логарифмического выражения:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{x^{\frac {1}{n}}}}{n!}}+x^{3}+\log x+\log \log x+\sum _{n=0}^{\infty }x^{-n}+\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\sum _{j=1}^{\infty }e^{ix^{2}-jx}}.$

$\sum _{m,n\in \mathbb {N} }x^{\frac {1}{m+1}}e^{-(\log x)^{n}}.$

Следующие формальные ряды не являются трансрядами логарифмического выражения:

$\sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}$ — Этот сериал не очень хорошо основан.

$\log x+\log \log x+\log \log \log x+\cdots$ — логарифмическая глубина этого ряда бесконечна

${\frac {1}{2}}x+e^{{\frac {1}{2}}\log x}+e^{e^{{\frac {1}{2}}\log \log x}}+\cdots$ — показательная и логарифмическая глубины этого ряда бесконечны

Можно определить дифференциальные поля трансрядов, содержащих две последние серии; они принадлежат соответственно $\mathbb {T} ^{EL}$ и $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ (см. параграф «Использование сюрреалистических чисел» ниже).

Введение

Примечательным фактом является то, что асимптотические скорости роста элементарных нетригонометрических функций и даже всех функций, определяемых в теоретической структуре модели $(\mathbb {R} ,+,\times ,<,\exp )$ упорядоченного экспоненциального поля действительных чисел все сравнимы: Для всех таких $f$ и $g$, у нас есть $f\leq _{\infty }g$ или $g\leq _{\infty }f$, где $f\leq _{\infty }g$ означает $\exists x.\forall y>x.f(y)\leq g(y)$. Класс эквивалентности $f$ под отношением $f\leq _{\infty }g\wedge g\leq _{\infty }f$ это асимптотическое поведение $f$, также зародышем называемый $f$ или зародыш ( $f$ на бесконечности).

Область трансрядов можно интуитивно рассматривать как формальное обобщение этих скоростей роста: помимо элементарных операций, трансряды замыкаются при «пределах» для соответствующих последовательностей с ограниченной экспоненциальной и логарифмической глубиной. Однако сложность состоит в том, что темпы роста не являются архимедовыми и, следовательно, не обладают свойством наименьшей верхней границы . Мы можем решить эту проблему, связав последовательность с наименьшей верхней границей минимальной сложности, аналогично построению сюрреалистических чисел. Например, ${\textstyle (\sum _{k=0}^{n}x^{-k})_{n\in \mathbb {N} }}$ связан с ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}}$ скорее, чем ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{-k}-e^{-x}}$ потому что $e^{-x}$ затухает слишком быстро, и если мы отождествляем быстрое затухание со сложностью, оно становится более сложным, чем необходимо (кроме того, поскольку нас интересует только асимптотическое поведение, поточечная сходимость не является диспозитивной).

Из-за сопоставимости транссерии не включают осциллирующие темпы роста (например, $\sin x$). С другой стороны, существуют транссерии, такие как ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }k!e^{x^{-{\frac {k}{k+1}}}}}$ которые не соответствуют напрямую сходящимся рядам или вещественным функциям. Еще одним ограничением трансрядов является то, что каждый из них ограничен башней экспонент, т. е. конечной итерацией. $e^{e^{.^{.^{.^{e^{x}}}}}}$ из $e^{x}$, тем самым исключая тетрацию и другие трансэкспоненциальные функции, т.е. функции, которые растут быстрее, чем любая башня экспонент. Существуют способы построения полей обобщенных трансрядов, включая формальные трансэкспоненциальные члены, например формальные решения. $e_{\omega }$ уравнения Абеля $e^{e_{\omega }(x)}=e_{\omega }(x+1)$.

Формальная конструкция

Трансряды можно определить как формальные (потенциально бесконечные) выражения с правилами, определяющими допустимость выражений, сравнением трансрядов, арифметическими операциями и даже дифференцированием. Тогда соответствующие транссерии можно приписать соответствующим функциям или росткам, но есть тонкости, связанные со сходимостью. Даже расходящимся трансрядам часто можно осмысленно (и однозначно) присвоить фактические темпы роста (которые согласуются с формальными операциями над трансрядами) с помощью ускоренного суммирования , которое является обобщением суммирования Бореля .

Транссерии можно формализовать несколькими эквивалентными способами; здесь мы используем один из самых простых.

Трансряд — это хорошо обоснованная сумма,

$\sum a_{i}m_{i},$

с конечной экспоненциальной глубиной, где каждый $a_{i}$ является ненулевым действительным числом и $m_{i}$ является унитарным трансмономом ( $a_{i}m_{i}$ является трансмономом, но не является моническим, если только коэффициент $a_{i}=1$; каждый $m_{i}$ отличается; порядок слагаемых не имеет значения).

Сумма может быть бесконечной или трансфинитной; обычно пишут в порядке убывания $m_{i}$.

В данном случае « хорошо обосновано» означает, что не существует бесконечной возрастающей последовательности. $m_{i_{1}}<m_{i_{2}}<m_{i_{3}}<\cdots$ (см. порядок заказа ).

Монический трансмоном - это один из 1, x , log x , log log x , ..., e ^{чисто_large_transseries} .

Примечание: потому что $x^{n}=e^{n\log x}$, мы не включаем его в качестве примитива, но многие авторы включают; транссерии без журналов не включают $\log$ но $x^{n}e^{\cdots }$ разрешено. Кроме того, избегается цикличность в определении, поскольку чисто_большая_транссерия (выше) будет иметь меньшую экспоненциальную глубину; определение работает посредством рекурсии на экспоненциальной глубине. См. «Транссерии Log-exp как итерированные ряды Хана» (ниже), где описана конструкция, использующая $x^{a}e^{\cdots }$ и явно разделяет различные этапы.

— Чисто большой трансряд это непустой трансряд. ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ с каждым $m_{i}>1$.

Транссерии имеют конечную экспоненциальную глубину , где каждый уровень вложенности e или log увеличивает глубину на 1 (поэтому мы не можем иметь x + log x + log log x + ...).

Добавление транссерий происходит почленно: ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}+\sum b_{i}m_{i}=\sum (a_{i}+b_{i})m_{i}}$ (отсутствие термина приравнивается к нулевому коэффициенту).

Сравнение:

Самый значимый термин ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ является $a_{i}m_{i}$ для крупнейшего $m_{i}$ (поскольку сумма хорошо обоснована, это существует для ненулевых трансрядов). ${\textstyle \sum a_{i}m_{i}}$ положителен тогда и только тогда, когда коэффициент при наиболее значимом члене положителен (именно поэтому выше мы использовали слово «чисто большой»). X > Y тогда и только тогда, когда X − Y положительно.

Сравнение унитарных трансмономов:

$x=e^{\log x},\log x=e^{\log \log x},\ldots$ – это единственные равенства в нашей конструкции.

$x>\log x>\log \log x>\cdots >1>0.$

$e^{a}<e^{b}$ если только $a<b$ (также $e^{0}=1$).

Умножение:

$e^{a}e^{b}=e^{a+b}$

$\left(\sum a_{i}x_{i}\right)\left(\sum b_{j}y_{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j\,:\,z_{k}=x_{i}y_{j}}a_{i}b_{j}\right)z_{k}.$

Это, по существу, применяет распределительный закон к продукту; поскольку ряд хорошо обоснован, внутренняя сумма всегда конечна.

Дифференциация:

$\left(\sum a_{i}x_{i}\right)'=\sum a_{i}x_{i}'$

$1'=0,x'=1$

$(e^{y})'=y'e^{y}$

$(\log y)'=y'/y$ (деление определяется с помощью умножения).

Согласно этим определениям, трансряд — это упорядоченное дифференциальное поле. Transseries также является ценным полем с оценкой $\nu$ заданный ведущим моническим трансмономом, и соответствующее асимптотическое соотношение, определенное для $0\neq f,g\in \mathbb {T} ^{LE}$ к $f\prec g$ если $\forall 0<r\in \mathbb {R} ,|f|<r|g|$ (где $|f|=\max(f,-f)$ это абсолютное значение).

Другие конструкции

Транссерии log-exp как итерированные серии Хана

Транссерии без журналов

Сначала мы определяем подполе $\mathbb {T} ^{E}$ из $\mathbb {T} ^{LE}$ так называемых транссерий без журналов . Это трансряды, исключающие любой логарифмический член.

Индуктивное определение:

Для $n\in \mathbb {N} ,$ определим линейно упорядоченную мультипликативную группу мономов ${\mathfrak {M}}_{n}$. Затем мы позволяем $\mathbb {T} _{n}^{E}$ обозначаем поле обоснованного ряда $\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{n}]]$. Это набор карт $\mathbb {R} \to {\mathfrak {M}}_{n}$ с хорошо обоснованным (т. е. обратно хорошо упорядоченным) носителем, оснащенным поточечной суммой и произведением Коши (см. Ряд Хана ). В $\mathbb {T} _{n}^{E}$, выделим (неединичное) подкольцо $\mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$ чисто больших трансрядов — рядов, носитель которых содержит только мономы, лежащие строго выше $1$.

Мы начинаем с ${\mathfrak {M}}_{0}=x^{\mathbb {R} }$ оснащен продуктом $x^{a}x^{b}:=x^{a+b}$ и порядок $x^{a}\prec x^{b}\leftrightarrow a<b$.

Если $n\in \mathbb {N}$ таков, что ${\mathfrak {M}}_{n}$, и таким образом $\mathbb {T} _{n}^{E}$ и $\mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$ определены, положим ${\mathfrak {M}}_{n+1}$ обозначим набор формальных выражений $x^{a}e^{\theta }$ где $a\in \mathbb {R}$ и $\theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$. Это образует линейно упорядоченную коммутативную группу относительно произведения $(x^{a}e^{\theta })(x^{a'}e^{\theta '})=(x^{a+a'})e^{\theta +\theta '}$ и лексикографический порядок $x^{a}e^{\theta }\prec x^{a'}e^{\theta '}$ тогда и только тогда, когда $\theta <\theta '$ или ( $\theta =\theta '$ и $a<a'$).

Естественное включение ${\mathfrak {M}}_{0}$ в ${\mathfrak {M}}_{1}$ дается путем выявления $x^{a}$ и $x^{a}e^{0}$ индуктивно обеспечивает естественное вложение ${\mathfrak {M}}_{n}$ в ${\mathfrak {M}}_{n+1}$и, таким образом, естественное вложение $\mathbb {T} _{n}^{E}$ в $\mathbb {T} _{n+1}^{E}$. Затем мы можем определить линейно упорядоченную коммутативную группу ${\textstyle {\mathfrak {M}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {M}}_{n}}$ и упорядоченное поле ${\textstyle \mathbb {T} ^{E}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{n}^{E}}$ это область безлоговой транссерии.

Поле $\mathbb {T} ^{E}$ является собственным подполем поля $\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]$ обоснованных рядов с действительными коэффициентами и мономами в ${\mathfrak {M}}$. Действительно, каждая серия $f$ в $\mathbb {T} ^{E}$ имеет ограниченную экспоненциальную глубину, т.е. наименьшее целое положительное число $n$ такой, что $f\in \mathbb {T} _{n}^{E}$, тогда как ряд

$e^{-x}+e^{-e^{x}}+e^{-e^{e^{x}}}+\cdots \in \mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}]]$

не имеет такой границы.

Возведение в степень включено $\mathbb {T} ^{E}$:

Поле безлогарифмических трансрядов снабжено показательной функцией, которая является специфическим морфизмом $\exp :(\mathbb {T} ^{E},+)\to (\mathbb {T} ^{E,>},\times )$. Позволять $f$ быть транссерией без логов и пусть $n\in \mathbb {N}$ быть экспоненциальной глубиной $f$, так $f\in \mathbb {T} _{n}^{E}$. Писать $f$ как сумма $f=\theta +r+\varepsilon$ в $\mathbb {T} _{n}^{E},$ где $\theta \in \mathbb {T} _{n,\succ }^{E}$, $r$ действительное число и $\varepsilon$ бесконечно мала (любая из них может быть равна нулю). Тогда формальная сумма Хана

$E(\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\varepsilon ^{k}}{k!}}$

сходится в $\mathbb {T} _{n}^{E}$, и мы определяем $\exp(f)=e^{\theta }\exp(r)E(\varepsilon )\in \mathbb {T} _{n+1}^{E}$ где $\exp(r)$ - значение действительной показательной функции при $r$.

Правая композиция с $e^{x}$:

Правильный состав $\circ _{e^{x}}$ с сериалом $e^{x}$ может быть определена индукцией по экспоненциальной глубине по формуле

$\left(\sum f_{\mathfrak {m}}{\mathfrak {m}}\right)\circ e^{x}:=\sum f_{\mathfrak {m}}({\mathfrak {m}}\circ e^{x}),$

с $x^{r}\circ e^{x}:=e^{rx}$. Индуктивно следует, что мономы сохраняются $\circ _{e^{x}},$ таким образом, на каждом шаге индукции суммы хорошо обоснованы и, следовательно, хорошо определены.

Транссерии log-exp

Определение:

Функция $\exp$ определенное выше, не относится к $\mathbb {T} ^{E,>}$ поэтому логарифм определен лишь частично на $\mathbb {T} ^{E}$: например сериал $x$ не имеет логарифма. Более того, каждая положительная бесконечная безлогарифмическая трансрядия больше некоторой положительной степени $x$. Чтобы перейти от $\mathbb {T} ^{E}$ к $\mathbb {T} ^{LE}$, можно просто «подключить» к переменной $x$ рядов формальных повторных логарифмов $\ell _{n},n\in \mathbb {N}$ который будет вести себя как формальная обратная величина $n$-кратно повторенный экспоненциальный член, обозначаемый $e_{n}$.

Для $m,n\in \mathbb {N} ,$ позволять ${\mathfrak {M}}_{m,n}$ обозначим набор формальных выражений ${\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}$ где ${\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}$. Мы превратим это в упорядоченную группу, определив $({\mathfrak {u}}\circ \ell _{n})({\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}(x)):=({\mathfrak {u}}{\mathfrak {v}})\circ \ell _{n}$и определение ${\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}\prec {\mathfrak {v}}\circ \ell _{n}$ когда ${\mathfrak {u}}\prec {\mathfrak {v}}$. Мы определяем $\mathbb {T} _{m,n}^{LE}:=\mathbb {R} [[{\mathfrak {M}}_{m,n}]]$. Если $n'>n$ и $m'\geq m+(n'-n),$ мы встраиваем ${\mathfrak {M}}_{m,n}$ в ${\mathfrak {M}}_{m',n'}$ путем идентификации элемента ${\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}$ с термином

$\left({\mathfrak {u}}\circ \overbrace {e^{x}\circ \cdots \circ e^{x}} ^{n'-n}\right)\circ \ell _{n'}.$

Затем мы получаем $\mathbb {T} ^{LE}$ как направленный союз

$\mathbb {T} ^{LE}=\bigcup _{m,n\in \mathbb {N} }\mathbb {T} _{m,n}^{LE}.$

На $\mathbb {T} ^{LE},$ правильный состав $\circ _{\ell }$ с $\ell$ естественным образом определяется

$\mathbb {T} _{m,n}^{LE}\ni \left(\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}\right)\circ \ell :=\sum f_{{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n}}{\mathfrak {m}}\circ \ell _{n+1}\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.$

Экспонента и логарифм:

Возведение в степень можно определить на $\mathbb {T} ^{LE}$ аналогично, как и для транссерий без логов, но и здесь $\exp$ имеет взаимный характер $\log$ на $\mathbb {T} ^{LE,>}$. Действительно, для строго положительного ряда $f\in \mathbb {T} _{m,n}^{LE,>}$, писать $f={\mathfrak {m}}r(1+\varepsilon )$ где ${\mathfrak {m}}$ является доминирующим мономом $f$ (крупнейший элемент его поддержки), $r$ - соответствующий положительный действительный коэффициент, а $\varepsilon :={\frac {f}{{\mathfrak {m}}r}}-1$ является бесконечно малым. Формальная сумма Хана

$L(1+\varepsilon ):=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {(-\varepsilon )^{k}}{k+1}}$

сходится в $\mathbb {T} _{m,n}^{LE}$. Писать ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {u}}\circ \ell _{n}$ где ${\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {M}}_{m}$ сам имеет форму ${\mathfrak {u}}=x^{a}e^{\theta }$ где $\theta \in \mathbb {T} _{m,\succ }^{E}$ и $a\in \mathbb {R}$. Мы определяем $\ell ({\mathfrak {m}}):=a\ell _{n+1}+\theta \circ \ell _{n}$. Мы наконец установили

$\log(f):=\ell ({\mathfrak {m}})+\log(c)+L(1+\varepsilon )\in \mathbb {T} _{m,n+1}^{LE}.$

Использование сюрреалистических чисел

Прямое построение транссерий log-exp

Можно также определить поле транссерий log-exp как подполе упорядоченного поля. $\mathbf {No}$ сюрреалистических цифр. Поле $\mathbf {No}$ оснащен экспоненциальной и логарифмической функциями Гоншора-Крусала. и с его естественной структурой поля хорошо обоснованных рядов в нормальной форме Конвея.

Определять $F_{0}^{LE}=\mathbb {R} (\omega )$, подполе $\mathbf {No}$ созданный $\mathbb {R}$ и простейшее положительное бесконечное сюрреалистическое число $\omega$ (что естественно соответствует порядковому номеру $\omega$и как транссерия к сериалу $x$). Тогда для $n\in \mathbb {N}$, определять $F_{n+1}^{LE}$ как поле, создаваемое $F_{n}^{LE}$, экспоненты элементов $F_{n}^{LE}$ и логарифмы строго положительных элементов $F_{n}^{LE}$, а также суммы (Хана) суммируемых семейств в $F_{n}^{LE}$. Союз ${\textstyle F_{\omega }^{LE}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }F_{n}^{LE}}$ естественно изоморфен $\mathbb {T} ^{LE}$. Фактически, существует единственный такой изоморфизм, который отправляет $\omega$ к $x$ и коммутирует с возведением в степень и суммами суммируемых семейств в $F_{\omega }^{LE}$ лежащий в $F_{\omega }$.

Другие области транссерии

• Продолжая этот процесс трансфинитной индукцией по $\mathbf {Ord}$ вне $F_{\omega }^{LE}$, объединяя предельные ординалы, можно получить поле подходящего размера класса $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ канонически снабжен выводом и композицией, расширяющей $\mathbb {T} ^{LE}$ (см. Операции с транссериями ниже).

• Если вместо $F_{0}^{LE}$ все начинается с подполя $F_{0}^{EL}:=\mathbb {R} (\omega ,\log \omega ,\log \log \omega ,\ldots )$ созданный $\mathbb {R}$ и все конечные итерации $\log$ в $\omega$и для $n\in \mathbb {N} ,F_{n+1}^{EL}$ это подполе, созданное $F_{n}^{EL}$, экспоненты элементов $F_{n}^{EL}$ и суммы суммируемых семейств в $F_{n}^{EL}$, то получается изоморфная копия поля $\mathbb {T} ^{EL}$ экспоненциально -логарифмического трансряда , который является собственным расширением $\mathbb {T} ^{LE}$ оснащен полной экспоненциальной функцией.

Вывод Берардуччи-Мантовы на $\mathbf {No}$ совпадает с $\mathbb {T} ^{LE}$ с его естественным происхождением и уникален тем, что удовлетворяет отношениям совместимости с экспоненциальной структурой упорядоченного поля и структурой поля обобщенных серий $\mathbb {T} ^{EL}$ и $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle .$

Вопреки $\mathbb {T} ^{LE},$ вывод в $\mathbb {T} ^{EL}$ и $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ не является сюръективным: например, ряд

${\frac {1}{\omega \log \omega \log \log \omega \cdots }}:=\exp(-(\log \omega +\log \log \omega +\log \log \log \omega +\cdots ))\in \mathbb {T} ^{EL}$

не имеет первообразной $\mathbb {T} ^{EL}$ или $\mathbb {R} \langle \langle \omega \rangle \rangle$ (это связано с тем, что эти поля не содержат трансэкспоненциальной функции).

Дополнительные свойства

Операции над транссериями

Операции над дифференциальным экспоненциальным упорядоченным полем

Транссерии обладают очень сильными свойствами замыкания, и над транссериями можно определить многие операции:

• Трансряды log-exp образуют экспоненциально замкнутое упорядоченное поле : показательная и логарифмическая функции суммируются. Например:

$\exp(x^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{-n}\quad {\text{and}}\quad \log(x+\ell )=\ell +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{-1}\ell )^{n}}{n+1}}.$

• Логарифм определяется для положительных аргументов.
• Транссерии Log-exp действительно закрыты .
• Интеграция: каждая транссерия log-exp $f$ имеет единственную первообразную с нулевым постоянным членом $F\in \mathbb {T} ^{LE}$, $F'=f$ и $F_{1}=0$.
• Логарифмическая первообразная: для $f\in \mathbb {T} ^{LE}$, есть $h\in \mathbb {T} ^{LE}$ с $f'=fh'$.

Примечание 1. Два последних свойства означают, что $\mathbb {T} ^{LE}$ Лиувилль закрыт .

Примечание 2. Как и элементарная нетригонометрическая функция, каждая положительная бесконечная трансряд $f$ имеет интегральную экспоненциальность даже в этом сильном смысле:

$\exists k,n\in \mathbb {N} :\quad \ell _{n-k}-1\leq \ell _{n}\circ f\leq \ell _{n-k}+1.$

Число $k$ единственна, она экспоненциальностью называется $f$.

Состав транссерий

Оригинальное свойство $\mathbb {T} ^{LE}$ заключается в том, что он допускает композицию $\circ :\mathbb {T} ^{LE}\times \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }\to \mathbb {T} ^{LE}$ (где $\mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ — это набор положительных бесконечных транссерий логарифмического выражения), который позволяет нам видеть каждую транссерию логарифмического выражения. $f$ как функция на $\mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$. Неофициально говоря, для $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ и $f\in \mathbb {T} ^{LE}$, сериал $f\circ g$ получается заменой каждого вхождения переменной $x$ в $f$ к $g$.

Характеристики

• Ассоциативность: для $f\in \mathbb {T} ^{LE}$ и $g,h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$, у нас есть $g\circ h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ и $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$.
• Совместимость правых составов: Для $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$, функция $\circ _{g}:f\mapsto f\circ g$ является полевым автоморфизмом $\mathbb {T} ^{LE}$ который коммутирует с формальными суммами, отправляет $x$ на $g$, $e^{x}$ на $\exp(g)$ и $\ell$ на $\log(g)$. У нас также есть $\circ _{x}=\operatorname {id} _{\mathbb {T} ^{LE}}$.
• Уникальность: композиция уникальна и удовлетворяет двум предыдущим свойствам.
• Монотонность: за $f\in \mathbb {T} ^{LE}$, функция $g\mapsto f\circ g$ является постоянным или строго монотонным на $\mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$. Монотонность зависит от знака $f'$.
• Правило цепочки: для $f\in \mathbb {T} ^{LE}\times$ и $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$, у нас есть $(f\circ g)'=g'f'\circ g$.
• Функциональный обратный: для $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$, есть уникальная серия $h\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ с $g\circ h=h\circ g=x$.
• Разложения Тейлора: каждый трансряд логарифмического выражения $f$ имеет разложение Тейлора вокруг каждой точки в том смысле, что для каждой $g\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ и для достаточно малых $\varepsilon \in \mathbb {T} ^{LE}$, у нас есть

$f\circ (g+\varepsilon )=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(k)}\circ g}{k!}}\varepsilon ^{k}$

где сумма представляет собой формальную сумму Хана суммируемого семейства.

• Дробная итерация: для $f\in \mathbb {T} ^{LE,>,\succ }$ с экспоненциальностью $0$ и любое действительное число $a$, дробная итерация $f^{a}$ из $f$ определяется.

Разрешимость и теория моделей

Теория дифференциального упорядоченнозначного дифференциального поля

The $\left\langle +,\times ,\partial ,<,\prec \right\rangle$ теория $\mathbb {T} ^{LE}$ разрешима : и может быть аксиоматизирована следующим образом (это теорема 2.2 Ашенбреннера и др.)

• $\mathbb {T} ^{LE}$ является упорядоченным дифференциальным полем.
• $f>0\wedge f\succ 1\Longrightarrow f'>0$
• $f\prec 1\Longrightarrow f'\prec 1$
• $\forall f\exists g:\quad g'=f$
• $\forall f\exists h:\quad h'=fh$
• Недвижимость средней стоимости (ИВП):

$P(f)<0\wedge P(g)>0\Longrightarrow \exists h:\quad P(h)=0,$

где P — дифференциальный многочлен, т.е. многочлен от $f,f',f'',\ldots ,f^{(k)}.$

В этой теории возведение в степень по существу определяется для функций (с использованием дифференцирования), но не для констант; фактически, каждое определимое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ является полуалгебраическим .

Теория упорядоченного экспоненциального поля

The $\langle +,\times ,\exp ,<\rangle$ теория $\mathbb {T} ^{LE}$ это экспоненциальное действительное упорядоченное экспоненциальное поле $(\mathbb {R} ,+,\times ,\exp ,<)$, что является моделью полной по теореме Уилки .

Выносливые поля

$\mathbb {T} _{\mathrm {as} }$ является полем акселеро-суммируемых трансрядов, и с помощью акселеро-суммирования мы имеем соответствующее поле Харди , которое, как предполагается, является максимальным полем Харди, соответствующим подполю $\mathbb {T}$. (Эта гипотеза является неформальной, поскольку мы не определили, какие изоморфизмы полей Харди в дифференциальные подполя поля Харди $\mathbb {T}$ разрешены.) $\mathbb {T} _{\mathrm {as} }$ предполагается, что он удовлетворяет вышеуказанным аксиомам $\mathbb {T}$. Не определяя акселеро-суммирование, отметим, что когда операции над сходящимся трансрядом производят расходящийся, в то время как те же операции над соответствующими ростками производят действительный росток, мы можем затем связать расходящийся трансряд с этим ростком.

Поле Харди называется максимальным , если оно не содержится ни в одном поле Харди. По применению леммы Цорна каждое поле Харди содержится в максимальном поле Харди. Предполагается, что все максимальные поля Харди элементарно эквивалентны дифференциальным полям и действительно имеют ту же теорию первого порядка, что и $\mathbb {T} ^{LE}$. Логарифмические трансряды сами по себе не соответствуют максимальному полю Харди, поскольку не каждый трансряд соответствует вещественной функции, а максимальные поля Харди всегда содержат трансэкспоненциальные функции.

См. также

• Формальный степенной ряд
• серия Хан
• Экспоненциально замкнутое поле
• Харди Филд

Ссылки

• Эдгар, Джорджия (2010), «Транссерии для начинающих», Real Analysis Exchange , 35 (2): 253–310, arXiv : 0801.4877 , doi : 10.14321/realanalexch.35.2.0253 , S2CID   14290638 .
• Ашенбреннер, Матиас; Дрис, Лу ван ден; Хувен, Йорис ван дер (2017), О числах, микробах и транссериях , arXiv : 1711.06936 , Bibcode : 2017arXiv171106936A .