серия Хан

В математике ряды Хана (иногда также известные как ряды Хана–Мальцева–Неймана ) являются разновидностью формальных бесконечных рядов . Они являются обобщением рядов Пюизо (которые сами по себе являются обобщением формальных степенных рядов ) и впервые были представлены Гансом Ханом в 1907 году. (а затем обобщено Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нейманом на некоммутативный случай). Они допускают произвольные показатели неопределенности при условии, что поддерживающий их набор образует хорошо упорядоченное подмножество группы значений (обычно $\mathbb {Q}$ или $\mathbb {R}$). Ряды Хана были впервые введены как группы в ходе доказательства теоремы вложения Хана , а затем изучены им применительно ко второй проблеме Гильберта .

Формулировка

Поле Хана серии $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ (в неопределенном $T$) над полем $K$ и с группой значений $\Gamma$ (упорядоченная группа) — множество формальных выражений вида

$f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}$

с $c_{e}\in K$ такое, что поддержка $\operatorname {supp} f:=\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}$ f является хорошо упорядоченным . Сумма и произведение

$f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}$ и $g=\sum _{e\in \Gamma }d_{e}T^{e}$

даны

$f+g=\sum _{e\in \Gamma }(c_{e}+d_{e})T^{e}$

и

$fg=\sum _{e\in \Gamma }\sum _{e'+e''=e}c_{e'}d_{e''}T^{e}$

(в последнем случае сумма $\sum _{e'+e''=e}$ над ценностями $(e',e'')$ такой, что $c_{e'}\neq 0$, $d_{e''}\neq 0$ и $e'+e''=e$ конечно, поскольку вполне упорядоченное множество не может содержать бесконечную убывающую последовательность).

Например, $T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots$ является рядом Хана (по любому полю), поскольку множество рациональных чисел

$\left\{-{\frac {1}{p}},-{\frac {1}{p^{2}}},-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}$

хорошо упорядочен; это не ряд Пюизо , поскольку знаменатели в показателях неограничены. (А если основное поле K имеет характеристику p , то этот ряд Хана удовлетворяет уравнению $X^{p}-X=T^{-1}$ так что это алгебраически закончено $K(T)$.)

Свойства

Свойства значимого поля

Оценка $v(f)$ ненулевого ряда Хана

$f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}$

определяется как наименьший $e\in \Gamma$ такой, что $c_{e}\neq 0$ (иными словами, наименьший элемент опоры $f$): это делает $K[[T^{\Gamma }]]$ в сферически полное значащее поле с группой значений $\Gamma$ и поле остатков $K$ ( апостериорное обоснование терминологии). Фактически, если $K$ имеет нулевую характеристику, то $(K[[T^{\Gamma }]],v)$ является с точностью до (неединственного) изоморфизма единственным сферически полным значным полем с полем вычетов $K$ и ценностная группа $\Gamma$. Оценка $v$ определяет топологию на $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$. Если $\Gamma \subseteq \mathbb {R}$, затем $v$ соответствует ультраметрическому абсолютному значению $|f|=\exp(-v(f))$, относительно которого $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ является полным метрическим пространством . Однако, в отличие от формальных рядов Лорана или рядов Пюизо, формальные суммы, используемые при определении элементов поля, не сходятся: в случае $T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots$ например, абсолютные значения членов стремятся к 1 (потому что их значения стремятся к 0), поэтому ряд не сходится (такие ряды иногда называют «псевдосходящимися»). ).

Алгебраические свойства

Если $K$ ( алгебраически замкнут но не обязательно нулевой характеристики) и $\Gamma$ делится то , $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ алгебраически замкнуто. Таким образом, замыкание алгебраическое $K((T))$ содержится в ${\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]$, где ${\overline {K}}$ является алгебраическим замыканием $K$ (когда $K$ имеет нулевую характеристику, это в точности поле ряда Пюизо ): фактически можно дать несколько аналогичное описание алгебраического замыкания $K((T))$ в положительной характеристике как подмножество $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$.

Если $K$ это упорядоченное поле, тогда $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ полностью упорядочен, делая неопределенным $T$ бесконечно малый (больше 0, но меньше любого положительного элемента $K$) или, что то же самое, используя лексикографический порядок коэффициентов ряда. Если $K$ действительно закрыт и $\Gamma$ делится тогда $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ сам по себе реально закрыт. Этот факт можно использовать для анализа (или даже построения) поля сюрреалистических чисел (которое как упорядоченное поле изоморфно полю рядов Хана с действительными коэффициентами и группой значений самих сюрреалистических чисел). ).

Если κ — бесконечный регулярный кардинал , можно рассмотреть подмножество $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ состоящий из рядов, множество опорных которых $\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}$ имеет мощность (строго) меньше κ : оказывается, что это тоже поле с почти теми же свойствами алгебраической замкнутости, что и полное $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$: например, он алгебраически замкнут или действительно замкнут, когда $K$ это так и $\Gamma$ является делимым.

Суммируемые семейства

Суммируемые семейства

Можно определить понятие суммируемых семейств в $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$. Если $I$ представляет собой набор и $(f_{i})_{i\in I}$ это семейство серии Хана $f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$, тогда мы говорим, что $(f_{i})_{i\in I}$ суммируемо, если множество $\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma$ хорошо упорядочен, и каждый набор $\{i\in I\mid e\in \operatorname {supp} f_{i}\}$ для $e\in \Gamma$ конечно.

Тогда мы можем определить сумму $\sum \limits _{i\in I}f_{i}$ как сериал Хана

$\sum _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }\left(\sum _{i\in I}f_{i}(e)\right)T^{e}.$

Если $(f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}$ суммируемы, то суммируются и семейства $(f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}$, и у нас есть

$\sum _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum _{i\in I}f_{i}+\sum _{i\in I}g_{i}$

и

$\sum _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=\left(\sum _{i\in I}f_{i}\right)\left(\sum _{i\in I}g_{i}\right).$

Это понятие суммируемого семейства не соответствует понятию сходимости в топологии нормирования на $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$. Например, в $\mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]$, семья $(T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }$ суммируема, но последовательность ${\big (}\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }$ не сходится.

Оценка аналитических функций

Позволять $a\in \mathbb {R}$ и пусть ${\mathcal {A}}_{a}$ обозначаем кольцо вещественных функций , аналитических в окрестности ​ $a$.

Если $K$ содержит $\mathbb {R}$, то мы сможем оценить каждый элемент $f$ из ${\mathcal {A}}_{a}$ в каждом элементе $K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$ формы $a+\varepsilon$, где оценка $\varepsilon$ является строго положительным. Действительно, семья ${\bigg (}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }$ всегда суммируема, поэтому мы можем определить $f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}$. Это определяет кольцевой гомоморфизм ${\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]$.

Серия Хана – Витта

Построение рядов Хана можно комбинировать с векторами Витта (по крайней мере, над идеальным полем ) для формирования скрученных рядов Хана или рядов Хана – Витта : например, над конечным полем K характеристики p (или их алгебраическим замыканием) поле рядов Хана – Витта с группой значений Γ (содержащее целые числа ) будет набором формальных сумм $\sum _{e\in \Gamma }c_{e}p^{e}$ где сейчас $c_{e}$ являются представителями Тейхмюллера (элементов K ), которые умножаются и складываются так же, как и в случае обычных векторов Витта (что получается, когда Γ — группа целых чисел). Когда Γ — группа рациональных или действительных чисел, а K — алгебраическое замыкание конечного поля с p элементами, эта конструкция дает (ультра)метрически полное алгебраически замкнутое поле, содержащее p -адики , а значит, более или менее явное описание поле $\mathbb {C} _{p}$ или его сферическое завершение.

Примеры

• Поле $K((T))$ формального ряда Лорана по $K$ можно описать как $K[[T^{\mathbb {Z} }]]$.
• Поле сюрреалистических чисел можно рассматривать как поле рядов Хана с действительными коэффициентами и группировкой значений самих сюрреалистических чисел.
• Поле Леви-Чивита можно рассматривать подполе как $\mathbb {R} [[T^{\mathbb {Q} }]]$, с дополнительным условием, что коэффициенты представляют собой конечное слева множество : набор коэффициентов, меньших заданного коэффициента $c_{q}$ конечно.
• Область транссерии $\mathbb {T}$ является направленным объединением полей Хана (и является расширением поля Леви-Чивита). Строительство $\mathbb {T}$ похоже (но не буквально) $T_{0}=\mathbb {R}$, $T_{n+1}=\mathbb {R} \left[\left[\varepsilon ^{T_{n}}\right]\right]$.

См. также

• Рациональная серия

Ссылки

• Хан, Ганс (1907), «О неархимедовых системах размеров», труды Императорской академии наук, Вена, Класс математики и естествознания (Вена. Бер.) , 116 : 601–655, JFM   38.0501.01 ( перепечатано в: Хан, Ганс (1995), Сборник статей I , Springer-Verlag )
• Маклейн, Сондерс (1939), «Универсальность полей формальных степенных рядов» , Бюллетень Американского математического общества , 45 : 888–890, doi : 10.1090/s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl   0022.30401
• Капланский, Ирвинг (1942), «Максимальные поля со значениями I» , Duke Mathematical Journal , 9 : 303–321, doi : 10.1215/s0012-7094-42-00922-0
• Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования. Том. 141. Северная Голландия. ISBN  0-444-70226-1 . Збл   0621.12001 .
• Пунен, Бьорн (1993), «Максимально полные поля», Математическое образование , 39 : 87–106, Zbl   0807.12006.
• Кедлайя, Киран Шридхара (2001), «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике», Proceedings of the American Mathematical Society , 129 : 3461–3470, doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4
• Кедлайя, Киран Шридхара (2001), «Степеньевые ряды и 𝑝-адические алгебраические замыкания», Journal of Number Theory , 89 : 324–339, arXiv : math/9906030 , doi : 10.1006/jnth.2000.2630
• Хувен, ван дер, Йорис (2001), «Операторы обобщенных степенных рядов», Illinois Journal of Mathematics , 45 , doi : 10.1215/ijm/1258138061
• Нойман, Бернхард Герман (1949), «Об упорядоченных телах», Труды Американского математического общества , 66 : 202–252, doi : 10.1090/S0002-9947-1949-0032593-5