Неопределенный (переменный)

В математике , особенно в формальной алгебре , неопределённый — это символ, который рассматривается как переменная , но не обозначает ничего, кроме самого себя. Его можно использовать в качестве заполнителя в таких объектах, как полиномы и формальные степенные ряды . В частности:

• Оно не обозначает константу или параметр задачи.
• Это не неизвестное, которое можно решить.
• Это не переменная, обозначающая аргумент функции , или переменная, по которой суммируются или интегрируются .
• Это не какой-либо тип связанной переменной .
• Это всего лишь символ, используемый совершенно формальным образом.

При использовании в качестве заполнителей обычной операцией является замена неопределенных значений математическими выражениями (соответствующего типа).

Из-за обычного злоупотребления языком математические тексты не могут четко отличить неопределенные переменные от обычных.

Полиномы

Основная статья: Полином

Многочлен от неопределенного $X$ является выражением формы $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}$, где $a_{i}$ называются коэффициентами многочлена. Два таких многочлена равны только в том случае, если равны соответствующие коэффициенты. Напротив, две полиномиальные функции от переменной $x$ может быть равным или нет при определенном значении $x$.

Например, функции

$f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x$

равны, когда $x=3$ и не равны в остальном. Но два многочлена

$2+3X,\quad 5+2X$

неравны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

$2+3X=a+bX$

не держится, пока $a=2$ и $b=3$. Это потому, что $X$ не является и не обозначает число.

Различие невелико, поскольку полином по $X$ можно изменить на функцию в $x$ путем замены. Но это различие важно, поскольку при такой замене информация может быть потеряна. Например, при работе по модулю 2 мы имеем следующее:

$0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,$

поэтому полиномиальная функция $x-x^{2}$ тождественно равно 0 для $x$ имеющее какое-либо значение в системе по модулю 2. Однако полином $X-X^{2}$ не является нулевым полиномом, поскольку не все коэффициенты 0, 1 и -1 соответственно равны нулю.

степенной

Основная статья: Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд в неопределенной $X$ является выражением формы $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots$, где символу не присвоено никакого значения $X$. Это похоже на определение многочлена, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть отличным от нуля. В отличие от степенного ряда, встречающегося в исчислении, вопросы сходимости не имеют значения (поскольку здесь не задействована никакая функция). Таким образом, степенной ряд, который расходился бы при значениях $x$, такой как $1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,$, разрешены.

В качестве генераторов

Основная статья: Генератор (математика)

Неопределенные значения полезны в абстрактной алгебре для создания математических структур . Например, дано поле $K$, набор полиномов с коэффициентами в $K$ - кольцо многочленов с сложения и умножения полиномиальными операциями . В частности, если две неопределенные величины $X$ и $Y$ используются, то кольцо многочленов $K[X,Y]$ также использует эти операции, и соглашение гласит, что $XY=YX$.

Неопределенные также можно использовать для создания свободной алгебры над коммутативным кольцом. $A$. Например, с двумя неопределенными $X$ и $Y$, свободная алгебра $A\langle X,Y\rangle$ включает суммы строк в $X$ и $Y$, с коэффициентами в $A$, и с пониманием того, что $XY$ и $YX$ не обязательно идентичны (поскольку свободная алгебра по определению некоммутативна).

См. также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система
• Полиномиальный
• Формальный степенной ряд

Ссылки

• Херштейн, Индиана (1975). Темы по алгебре . ISBN  047102371X .
• Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN   68015225

---

В эту статью включены материалы из неопределенного сайта PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .