Неопределенная система

В математике , в частности в алгебре , неопределённой системой называется система одновременных уравнений (например, линейных уравнений ), имеющая более одного решения (иногда бесконечное множество решений). В случае линейной системы можно сказать, что система недостаточно определена , и в этом случае наличие более чем одного решения будет подразумевать бесконечное число решений (поскольку система будет описываться в терминах по крайней мере одной свободной переменной). ), но это свойство не распространяется на нелинейные системы (например, систему с уравнением $x^{2}=1$).

Неопределенная система по определению непротиворечива в том смысле, что она имеет хотя бы одно решение. Для системы линейных уравнений число уравнений в неопределенной системе может быть таким же, как количество неизвестных, меньше числа неизвестных ( недоопределенная система ) или больше числа неизвестных ( переопределенная система ). И наоборот, любой из этих трех случаев может быть или не быть неопределенным.

Примеры

В следующих примерах неопределенных систем уравнений соответственно меньше уравнений, чем столько же уравнений, и больше уравнений, чем неизвестных:

${\text{System 1: }}x+y=2$

${\text{System 2: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4$

${\text{System 3: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4,\,\,\,\,\,3x+3y=6$

Условия, вызывающие неопределенность

В линейных системах неопределенность возникает тогда и только тогда, когда число независимых уравнений ( ранг дополненной матрицы системы) меньше числа неизвестных и совпадает с рангом матрицы коэффициентов . Ибо если независимых уравнений будет по крайней мере столько же, сколько неизвестных, это устранит любые участки перекрытия поверхностей уравнений в геометрическом пространстве неизвестных (за исключением, возможно, одной точки), что, в свою очередь, исключает возможность наличия большего числа неизвестных. чем одно решение. С другой стороны, если ранг дополненной матрицы превышает (обязательно на единицу, если вообще превышает) ранг матрицы коэффициентов, то уравнения будут взаимно противоречить друг другу, что исключает возможность наличия какого-либо решения.

Нахождение множества решений неопределенной линейной системы

Запишем систему уравнений в матричной форме в виде

$Ax=b$

где $A$ это $m\times n$ матрица коэффициентов, $x$ это $n\times 1$ вектор неизвестных и $b$ это $m\times 1$ вектор констант. В этом случае, если система неопределенна, то бесконечным множеством решений является множество всех $x$ векторы, созданные

$x=A^{+}b+[I_{n}-A^{+}A]w$

где $A^{+}$ является Мура – ​​Пенроуза псевдообратной функцией $A$ и $w$ есть ли какой-нибудь $n\times 1$ вектор.

См. также

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенный (переменный)
• Линейная алгебра
• Одновременные уравнения
• Независимое уравнение
• Идентифицируемость

Дальнейшее чтение

• Лэй, Дэвид (2003). Линейная алгебра и ее приложения . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-70970-8 .