Дополненная матрица

В линейной алгебре матрица расширенная $(A\vert B)$ это $k\times (n+1)$ матрица, полученная добавлением $k$-мерный вектор-столбец $B$, справа, как дополнительный столбец к $k\times n$-мерная матрица $A$. Обычно это делается с целью выполнения тех же элементарных операций над строками над расширенной матрицей. $(A\vert B)$ как это сделано в оригинале $A$ при решении системы линейных уравнений методом исключения Гаусса .

Например, учитывая матрицы $A$ и вектор-столбец $B$, где

$$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}},$$

расширенная матрица $(A\vert B)$ является

$$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{array}}\right].$$

Для заданного числа $n$ неизвестных, количество решений системы $k$ линейных уравнений зависит только от ранга матрицы коэффициентов $A$ представляющее систему и ранг соответствующей расширенной матрицы $(A\vert B)$ где компоненты $B$ состоят из правых частей $k$ последовательные линейные уравнения. Согласно теореме Руше–Капелли любая система линейных уравнений

$AX=B$

где $X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ это $n$-компонентный вектор-столбец, элементы которого являются неизвестными системы, несовместен (не имеет решений), если ранг расширенной матрицы $(A\vert B)$ больше ранга матрицы коэффициентов $A$ . Если же ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение единственно тогда и только тогда, когда ранг равен числу переменных. $n$. В противном случае общее решение имеет $j$ свободные параметры, где $j$ это разница между количеством переменных $n$ и звание. В таком случае существует аффинное пространство решений размерности, равной этой разности.

Обратная невырожденная квадратная матрица $A$ размера $n\times n$ может быть найден добавление $n\times n$ идентификационная матрица $\mathbf {I}$ справа от $A$ сформировать $n\times 2n$ размерная расширенная матрица $(A\vert \mathbf {I} )$. Применение элементарных операций над строками для преобразования левой $n\times n$ блокировать единичную матрицу $\mathbf {I}$, правая рука $n\times n$ тогда блок является обратной матрицей $A^{-1}$

Пример нахождения обратной матрицы

Позволять $A$ быть квадратной матрицей 2×2

$$A={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}.$$

Чтобы найти обратную величину $A$ формируем расширенную матрицу $(A\vert \mathbf {I} _{2})$ где $\mathbf {I} _{2}$ это $2\times 2$ идентификационная матрица . Затем уменьшаем часть $(A\vert \mathbf {I} _{2}$ соответствующий $A$ к единичной матрице с помощью элементарных операций над строками $(A\vert \mathbf {I} _{2})$ .

$$(A\vert \mathbf {I} _{2})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]$$

$$(I|A^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right],$$

правая часть которого является обратной $A^{-1}$.

Существование и количество решений

Рассмотрим систему уравнений

$${\begin{aligned}x+y+2z&=2\\x+y+z&=3\\2x+2y+2z&=6.\end{aligned}}$$

Матрица коэффициентов

$$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$$

и расширенная матрица

$$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&2\\1&1&1&3\\2&2&2&6\end{array}}\right].$$

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует хотя бы одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных (последнее равно 3), существует бесконечное число решений.

Напротив, рассмотрим систему

$${\begin{aligned}x+y+2z&=3\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=5.\end{aligned}}$$

Матрица коэффициентов

$$A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},$$

и расширенная матрица

$$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].$$

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица — ранг 3; поэтому эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение числа линейно независимых строк сделало систему уравнений несовместной .

Решение линейной системы

В линейной алгебре расширенная матрица используется для представления коэффициентов и вектора решения каждого набора уравнений.Для системы уравнений

$${\begin{aligned}x+2y+3z&=0\\3x+4y+7z&=2\\6x+5y+9z&=11\end{aligned}}$$

коэффициенты и постоянные члены дают матрицы

$$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\end{bmatrix}},$$

и, следовательно, дадим расширенную матрицу

$$(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right].$$

Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов, равный 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует хотя бы одно решение; и поскольку этот ранг равен числу неизвестных, решение существует ровно одно.

Чтобы получить решение, над расширенной матрицей можно выполнить операции со строками, чтобы получить единичную матрицу в левой части, что дает

$$\left[{\begin{array}{ccc|r}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right],$$

поэтому решением системы является ( x , y , z ) = (4, 1, −2) .

Ссылки

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications , 1992, ISBN   0-486-67102-X . Страница 31.