Jump to content

Элементарная матрица

В математике элементарная матрица — это матрица , которая отличается от единичной матрицы одной элементарной операцией над строкой. Элементарные матрицы порождают общую линейную группу GL n ( F ), когда F поле . Левое умножение (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции со строками , а правое умножение (пост-умножение) представляет собой элементарные операции со столбцами .

Элементарные операции над строками используются при исключении Гаусса для приведения матрицы к форме эшелона строк . Они также используются при исключении Гаусса–Жордана для дальнейшего приведения матрицы к уменьшенной форме эшелона строк .

Элементарные операции со строками

[ редактировать ]

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операциям со столбцами):

Переключение строк
Строку внутри матрицы можно переключить на другую строку.
Умножение строк
Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.
Добавление строки
Строку можно заменить суммой этой строки и кратным другой строки.

Если E является элементарной матрицей, как описано ниже, чтобы применить операцию элементарной строки к матрице A , нужно умножить A на элементарную матрицу слева, EA . Элементарная матрица для любой операции над строкой получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример леммы Йонеды, примененной к категории матриц. [1]

Преобразования с переключением строк

[ редактировать ]

Первый тип операции над строкой матрицы A переключает все элементы матрицы в строке i на их аналоги в другой строке j . Соответствующая элементарная матрица получается путем замены строки i и строки j единичной матрицы .

Итак, T i,j A — это матрица, полученная путем замены строки и строки j матрицы A. i

С точки зрения коэффициентов матрица T i,j определяется следующим образом:

Характеристики

[ редактировать ]
  • Обратная матрица сама по себе равна:
  • Поскольку определитель единичной матрицы равен единице, Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы A (правильного размера) имеем
  • Из теоретических соображений преобразование переключения строк можно получить из преобразований сложения и умножения строк, представленных ниже, поскольку

Преобразования умножения строк

[ редактировать ]

Следующий тип операции над строкой матрицы A умножает все элементы строки i на m , где m — ненулевой скаляр (обычно вещественное число). Соответствующая элементарная матрица является диагональной матрицей с диагональными элементами 1 везде, кроме i -й позиции, где она равна m .

Итак, D i ( m ) A — это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m .

С точки зрения коэффициентов матрица D i ( m ) определяется следующим образом:

Характеристики

[ редактировать ]
  • Обратная эта матрица определяется выражением
  • Матрица и обратная ей являются диагональными матрицами .
  • Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем

Преобразования с добавлением строк

[ редактировать ]

Последний тип операции над строкой матрицы A добавляет строку j, умноженную на скаляр m, к строке i . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с буквой m в позиции ( i, j ) .

Итак, L ij ( m ) A — это матрица, полученная из A путем добавления m строк j к строке i . А AL ij ( m ) — это матрица, полученная из A путем добавления m столбца i к столбцу j .

С точки зрения коэффициентов матрица L i,j ( m ) определяется следующим образом:

Характеристики

[ редактировать ]
  • Эти преобразования представляют собой своего рода сдвиговое отображение , также известное как трансвекция .
  • Обратная эта матрица определяется выражением
  • Матрица и обратная ей являются треугольными матрицами .
  • Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем
  • Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Перроне (2024) , стр. 119–120
  • Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98259-0
  • Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
  • Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
  • Перроне, Паоло (2024), Теория стартовых категорий , World Scientific, doi : 10.1142/9789811286018_0005 , ISBN  978-981-12-8600-1
  • Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3
  • Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
  • Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
  • Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-09802327-7-6
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 75440814df2417535861cc6dc48e10c4__1719669840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/75/c4/75440814df2417535861cc6dc48e10c4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Elementary matrix - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)