Элементарная матрица
В математике элементарная матрица — это матрица , которая отличается от единичной матрицы одной элементарной операцией над строкой. Элементарные матрицы порождают общую линейную группу GL n ( F ), когда F — поле . Левое умножение (предварительное умножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции со строками , а правое умножение (пост-умножение) представляет собой элементарные операции со столбцами .
Элементарные операции над строками используются при исключении Гаусса для приведения матрицы к форме эшелона строк . Они также используются при исключении Гаусса–Жордана для дальнейшего приведения матрицы к уменьшенной форме эшелона строк .
Элементарные операции со строками
[ редактировать ]Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций со строками (соответственно, операциям со столбцами):
- Переключение строк
- Строку внутри матрицы можно переключить на другую строку.
- Умножение строк
- Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.
- Добавление строки
- Строку можно заменить суммой этой строки и кратным другой строки.
Если E является элементарной матрицей, как описано ниже, чтобы применить операцию элементарной строки к матрице A , нужно умножить A на элементарную матрицу слева, EA . Элементарная матрица для любой операции над строкой получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример леммы Йонеды, примененной к категории матриц. [1]
Преобразования с переключением строк
[ редактировать ]Первый тип операции над строкой матрицы A переключает все элементы матрицы в строке i на их аналоги в другой строке j . Соответствующая элементарная матрица получается путем замены строки i и строки j единичной матрицы .
Итак, T i,j A — это матрица, полученная путем замены строки и строки j матрицы A. i
С точки зрения коэффициентов матрица T i,j определяется следующим образом:
Характеристики
[ редактировать ]- Обратная матрица сама по себе равна:
- Поскольку определитель единичной матрицы равен единице, Отсюда следует, что для любой квадратной матрицы A (правильного размера) имеем
- Из теоретических соображений преобразование переключения строк можно получить из преобразований сложения и умножения строк, представленных ниже, поскольку
Преобразования умножения строк
[ редактировать ]Следующий тип операции над строкой матрицы A умножает все элементы строки i на m , где m — ненулевой скаляр (обычно вещественное число). Соответствующая элементарная матрица является диагональной матрицей с диагональными элементами 1 везде, кроме i -й позиции, где она равна m .
Итак, D i ( m ) A — это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m .
С точки зрения коэффициентов матрица D i ( m ) определяется следующим образом:
Характеристики
[ редактировать ]- Обратная эта матрица определяется выражением
- Матрица и обратная ей являются диагональными матрицами .
- Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем
Преобразования с добавлением строк
[ редактировать ]Последний тип операции над строкой матрицы A добавляет строку j, умноженную на скаляр m, к строке i . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с буквой m в позиции ( i, j ) .
Итак, L ij ( m ) A — это матрица, полученная из A путем добавления m строк j к строке i . А AL ij ( m ) — это матрица, полученная из A путем добавления m столбца i к столбцу j .
С точки зрения коэффициентов матрица L i,j ( m ) определяется следующим образом:
Характеристики
[ редактировать ]- Эти преобразования представляют собой своего рода сдвиговое отображение , также известное как трансвекция .
- Обратная эта матрица определяется выражением
- Матрица и обратная ей являются треугольными матрицами .
- Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем
- Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .
См. также
[ редактировать ]- Исключение по Гауссу
- Линейная алгебра
- Система линейных уравнений
- Матрица (математика)
- LU-разложение
- Матрица Фробениуса
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перроне (2024) , стр. 119–120
- Экслер, Шелдон Джей (1997), Правильно выполненная линейная алгебра (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
- Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 31 октября 2009 г.
- Перроне, Паоло (2024), Теория стартовых категорий , World Scientific, doi : 10.1142/9789811286018_0005 , ISBN 978-981-12-8600-1
- Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-99845-3
- Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
- Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
- Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6