Гамильтонова матрица

В математике матрица Гамильтона — это размером 2 n x 2 n матрица A такая, что JA является симметричной , где J — кососимметричная матрица.

$J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}$

и I _n — n× размером n единичная матрица . Другими словами, A является гамильтоновым тогда и только тогда, когда ( JA ) ^Т = JA где () ^Т обозначает транспонирование .

Характеристики

Предположим, что 2 n размером x 2 n матрица A записана как блочная матрица

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

где a , b , c и d — n матрицы размером на n . Тогда условие гамильтонова A эквивалентно требованию, чтобы матрицы b и c были симметричны и чтобы a + d ^Т = 0 . Другое эквивалентное условие состоит в том, что A имеет форму A = JS с S симметричным.

Из определения легко следует, что транспонирование гамильтоновой матрицы является гамильтоновым. Более того, сумма (и любая линейная комбинация ) двух гамильтоновых матриц снова является гамильтоновой, как и их коммутатор . Отсюда следует, что пространство всех гамильтоновых матриц является алгеброй Ли , обозначаемой sp(2 n ) . Размерность sp(2 n ) равна 2 n ² + н . Соответствующая группа Ли — это симплектическая группа Sp(2 n ) . Эта группа состоит из симплектических матриц , тех матриц A , которые удовлетворяют A ^Т JA = Дж . Таким образом, матричная экспонента гамильтоновой матрицы симплектична. Однако логарифм симплектической матрицы не обязательно является гамильтоновым, поскольку экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу не является сюръективным.

Характеристический полином вещественной гамильтоновой матрицы четный . Таким образом, если матрица Гамильтона имеет λ в качестве собственного значения , то −λ , λ ^* и −λ ^* также являются собственными значениями. Отсюда следует, что след гамильтоновой матрицы равен нулю.

Квадрат гамильтоновой матрицы является косо-гамильтоновым (матрица A является косо-гамильтоновой, если ( JA ) ^Т = − JA ). И наоборот, каждая косо-гамильтонова матрица возникает как квадрат гамильтоновой матрицы.

Расширение на комплексные матрицы

Что касается симплектических матриц, определение гамильтоновых матриц можно распространить на комплексные матрицы двумя способами. Одна из возможностей состоит в том, чтобы сказать, что матрица A является гамильтоновой, если ( JA ) ^Т = JA , как указано выше. Другая возможность — использовать условие ( JA ) ^* = JA , где надстрочная звездочка ( (⋅) ^* ) обозначает сопряженное транспонирование .

Гамильтоновы операторы

Пусть V — векторное пространство, наделенное симплектической формой Ω . Линейная карта $A:\;V\mapsto V$ называется гамильтоновым оператором относительно Ω, если форма $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ является симметричным. Эквивалентно, оно должно удовлетворять

$\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))$

Выберите базис e ₁ , …, e _{2 n} в V , такой, что Ω записывается как ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$. Линейный оператор гамильтонов относительно Ω тогда и только тогда, когда его матрица в этом базисе гамильтонова.