Матрица Ханкеля

В линейной алгебре матрица Ганкеля (или каталектиканта матрица ), названная в честь Германа Ганкеля , представляет собой квадратную матрицу , в которой каждая возрастающая косодиагональ слева направо является постоянной. Например,

$$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$$

В более общем смысле, матрица Ганкеля — это любая $n\times n$ матрица $A$ формы

$$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$$

Что касается компонентов, если $i,j$ элемент $A$ обозначается $A_{ij}$и предполагая $i\leq j$, тогда мы имеем $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ для всех $k=0,...,j-i.$

Характеристики

• Любая матрица Ганкеля симметрична .
• Позволять $J_{n}$ быть $n\times n$ обменная матрица . Если $H$ это $m\times n$ Матрица Ганкеля, тогда $H=TJ_{n}$ где $T$ это $m\times n$ Матрица Теплица .
  • Если $T$ действительно то симметричен, $H=TJ_{n}$ будет иметь те же собственные значения , что и $T$ до подписи.
• Матрица Гильберта является примером матрицы Ханкеля.
• Определитель матрицы Ганкеля называется каталектикантом .

Тендерный оператор

Учитывая формальный ряд Лорана $$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},$$соответствующий оператор Ганкеля определяется как $$H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].$$Это принимает полином $g\in \mathbf {C} [z]$ и отправляет его в продукт $fg$, но отбрасывает все полномочия $z$ с неотрицательным показателем, чтобы дать элемент в $z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$, формальный степенной ряд со строго отрицательными показателями. Карта $H_{f}$ это естественным образом $\mathbf {C} [z]$-линейная, а ее матрица по элементам $1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]$ и $z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$ это матрица Ханкеля $${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.$$Любая матрица Ганкеля возникает таким образом. Теорема матрицы Кронекера ранг гласит, что этой конечен именно тогда, когда $f$ — рациональная функция , то есть дробь двух многочленов $$f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.$$

Приближения

Нас часто интересуют аппроксимации операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать выходные данные оператора, мы можем использовать спектральную норму (2-норма оператора) для измерения ошибки нашего приближения. Это предполагает разложение по сингулярным значениям как возможный метод аппроксимации действия оператора.

Обратите внимание, что матрица $A$ не обязательно должно быть конечным. Если он бесконечен, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация представляла собой матрицу Ганкеля, что можно показать с помощью теории ААК .

Матричное преобразование Ханкеля

Не путать с преобразованием Ханкеля .

Матричное преобразование Ханкеля или просто Ханкеля последовательности преобразование $b_{k}$ – это последовательность определителей матриц Ганкеля, составленная из $b_{k}$. Учитывая целое число $n>0$, определите соответствующие $(n\times n)$-мерная матрица Ханкеля $B_{n}$ как имеющие матричные элементы $[B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.$ Тогда последовательность $h_{n}$ данный $$h_{n}=\det B_{n}$$— преобразование Ханкеля последовательности $b_{k}.$ Преобразование Ханкеля инвариантно относительно биномиального преобразования последовательности. То есть, если написать $$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}$$как биномиальное преобразование последовательности $b_{n}$, то есть $\det B_{n}=\det C_{n}.$

Приложения матриц Ганкеля

реализация основного пространства состояний или скрытой марковской модели . Матрицы Ханкеля формируются, когда при наличии последовательности выходных данных требуется Разложение по сингулярным значениям матрицы Ханкеля предоставляет средства вычисления матриц A , B и C , которые определяют реализацию пространства состояний. Матрица Ханкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и частотно-временного представления.

Метод моментов для полиномиальных распределений

Метод моментов, примененный к полиномиальным распределениям, приводит к получению матрицы Ханкеля, которую необходимо инвертировать , чтобы получить весовые параметры аппроксимации полиномиального распределения.

Положительные матрицы Ханкеля и проблемы моментов Гамбургера

Дополнительная информация: Проблема моментов гамбургера.

См. также

• Матрица Коши
• оператор Якоби
• Матрица Теплица , «перевернутая» (то есть перевернутая строка) матрица Ганкеля.
• Матрица Вандермонда

Ссылки

• Брент Р.П. (1999), «Стабильность быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем», Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы — Т. Кайлат, А. Х. Сайед), глава 4 ( SIAM ).
• Фурманн, Пол А. (2012). Полиномиальный подход к линейной алгебре . Университетский текст (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4614-0338-8 . ISBN  978-1-4614-0337-1 . Збл   1239.15001 .

• Виктор Ю. Пан (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы . Биркхойзер . ISBN  0817642404 .
• Дж. Р. Партингтон (1988). Введение в операторы Ханкеля . Тексты для студентов LMS. Том. 13. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-36791-3 .