оператор Якоби

«Матрица Якоби (оператор)» перенаправляется сюда. Аналогичный термин см. в разделе «Матрица Якобиана» .

Оператор Якоби , также известный как матрица Якоби , представляет собой симметричный линейный оператор, действующий на последовательности , заданные бесконечной трехдиагональной матрицей . Он обычно используется для определения систем ортонормированных полиномов над конечной положительной борелевской мерой . Этот оператор назван в честь Карла Густава Якоба Якоби .

Название происходит от теоремы Якоби, датированной 1848 годом, утверждающей, что каждая симметричная матрица в области главного идеала конгруэнтна трехдиагональной матрице.

Самосопряженные операторы Якоби.

Наиболее важным случаем является случай самосопряженных операторов Якоби, действующих в гильбертовом пространстве последовательностей, суммируемых с квадратом над целыми положительными числами. $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$. В данном случае оно определяется

$Jf_{0}=a_{0}f_{1}+b_{0}f_{0},\quad Jf_{n}=a_{n}f_{n+1}+b_{n}f_{n}+a_{n-1}f_{n-1},\quad n>0,$

где предполагается, что коэффициенты удовлетворяют

$a_{n}>0,\quad b_{n}\in \mathbb {R} .$

Оператор будет ограничен тогда и только тогда, когда коэффициенты ограничены.

Имеются тесные связи с теорией ортогональных полиномов . На самом деле, решение $p_{n}(x)$ рекуррентного соотношения

$J\,p_{n}(x)=x\,p_{n}(x),\qquad p_{0}(x)=1{\text{ and }}p_{-1}(x)=0,$

является многочленом степени n , и эти многочлены ортонормированы относительно спектральной меры, соответствующей первому базисному вектору $\delta _{1,n}$.

Это рекуррентное соотношение также обычно записывается как

$xp_{n}(x)=a_{n+1}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n}p_{n-1}(x)$

Приложения

Оно возникает во многих областях математики и физики. Случай a ( n ) = 1 известен как дискретный одномерный оператор Шрёдингера . Оно также возникает:

• Пара Лакса решетки Тоды .
• Трехчленное рекуррентное соотношение ортогональных полиномов , ортогональных над положительной и конечной борелевской мерой .
• Алгоритмы, разработанные для расчета правил квадратур Гаусса , полученных на основе систем ортогональных многочленов.

Обобщения

Когда кто-то рассматривает пространство Бергмана , а именно пространство интегрируемых с квадратом голоморфных функций в некоторой области, то, при общих обстоятельствах, можно дать этому пространству основу из ортогональных многочленов, многочленов Бергмана . В этом случае аналогом трехдиагонального оператора Якоби является оператор Хессенберга – бесконечномерная матрица Хессенберга . Система ортогональных полиномов имеет вид

$zp_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n+1}D_{kn}p_{k}(z)$

и $p_{0}(z)=1$. Здесь D — оператор Хессенберга, обобщающий трехдиагональный оператор Якоби J для этой ситуации. Обратите внимание, что D вправо — оператор сдвига в пространстве Бергмана, т. е. он задается формулой

$[Df](z)=zf(z)$

Нули полинома Бергмана $p_{n}(z)$ соответствуют собственным значениям главного $n\times n$ подматрица D . То есть полиномы Бергмана являются характеристическими полиномами для главных подматриц оператора сдвига.

См. также

• Матрица Ханкеля

Ссылки

• Тешль, Джеральд (2000), Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки , Провиденс: Амер. Математика. Соц., ISBN  0-8218-1940-2

Внешние ссылки

• «Матрица Якоби» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]