пространство Бергмана

В комплексном анализе , функциональном анализе и теории операторов пространство Бергмана , названное в честь Стефана Бергмана , представляет собой функциональное пространство голоморфных функций в области D комплексной плоскости , которые достаточно хорошо ведут себя на границе, чтобы быть абсолютно интегрируемыми . В частности, при 0 < p < ∞ пространство Бергмана A ^п ( D ) — пространство всех голоморфных функций $f$ в D, для которого p -норма конечна:

$\|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)^{1/p}<\infty .$

Количество $\|f\|_{A^{p}(D)}$ называется нормой функции f ; это норма , если $p\geq 1$. Таким образом, А ^п ( D ) — подпространство голоморфных функций, находящихся в пространстве L ^п ( Д ) . Пространства Бергмана являются банаховыми пространствами , что является следствием оценки, справедливой на компактных подмножествах K из D :

$\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$ ( 1 )

Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ^п ( D ) также подразумевает компактную сходимость , поэтому предельная функция также голоморфна.

Если p = 2 , то A ^п ( D ) — гильбертово пространство с воспроизводящим ядром , ядро ​​которого задается ядром Бергмана .

Особые случаи и обобщения

область D ограничена Если , то норма часто задается формулой:

$\|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}\,dA\right)^{1/p}\;\;\;\;\;(f\in A^{p}(D)),$

где $A$ является нормированной мерой Лебега комплексной плоскости, т.е. dA = dz /Area( D ) . Альтернативно используется dA = dz / π от площади D. , независимо Пространство Бергмана обычно определяется на открытом единичном диске. $\mathbb {D}$ комплексной плоскости, и в этом случае $A^{p}(\mathbb {D} ):=A^{p}$. В случае гильбертова пространства дано: $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\in A^{2}$, у нас есть:

$\|f\|_{A^{2}}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{2}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|^{2}}{n+1}},$

то есть А ² изометрически изоморфен взвешенному ℓ ^п (1/( n + 1)) пространство . В частности полиномы плотны , в A ² . Аналогично, если D = $\mathbb {C}$₊ , правая (или верхняя) комплексная полуплоскость, тогда:

$\|F\|_{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|F(z)|^{2}\,dz=\int _{0}^{\infty }|f(t)|^{2}{\frac {dt}{t}},$

где $F(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt$, то есть А ² ( $\mathbb {C}$₊ ) изометрически изоморфен весовому L ^п _{1/ t} (0,∞) пространство (с помощью преобразования Лапласа ).

Взвешенное пространство Бергмана A ^п ( D ) определяется аналогично: то есть,

$\|f\|_{A_{w}^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{2}\,w(x+iy)\,dx\,dy\right)^{1/p},$

при условии, что w : D → [0, ∞) выбрано таким образом, что $A_{w}^{p}(D)$ является банаховым пространством (или гильбертовым пространством , если p = 2 ). В случае, когда $D=\mathbb {D}$, взвешенным пространством Бергмана $A_{\alpha }^{p}$ мы имеем в виду пространство всех аналитических функций f таких, что:

$\|f\|_{A_{\alpha }^{p}}:=\left((\alpha +1)\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{p}\,(1-|z|^{2})^{\alpha }dA(z)\right)^{1/p}<\infty ,$

и аналогично в правой полуплоскости (т.е. $A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})$) у нас есть:

$\|f\|_{A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}:=\left({\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|f(x+iy)|^{p}x^{\alpha }\,dx\,dy\right)^{1/p},$

и это пространство изометрически изоморфно посредством преобразования Лапласа пространству $L^{2}(\mathbb {R} _{+},\,d\mu _{\alpha })$, где:

$d\mu _{\alpha }:={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{2^{\alpha }t^{\alpha +1}}}\,dt$

(здесь Γ обозначает гамма-функцию ).

Иногда рассматриваются дальнейшие обобщения, например $A_{\nu }^{2}$ обозначает взвешенное пространство Бергмана (часто называемое пространством Дзена). ) относительно трансляционно-инвариантной положительной регулярной борелевской меры $\nu$ на замкнутой правой комплексной полуплоскости ${\overline {\mathbb {C} _{+}}}$, то есть:

$A_{\nu }^{p}:=\left\{f:\mathbb {C} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} {\text{ analytic}}\;:\;\|f\|_{A_{\nu }^{p}}:=\left(\sup _{\varepsilon >0}\int _{\overline {\mathbb {C} _{+}}}|f(z+\varepsilon )|^{p}\,d\nu (z)\right)^{1/p}<\infty \right\}.$

Воспроизведение ядер

Воспроизводящее ядро $k_{z}^{A^{2}}$ из А ² в точку $z\in \mathbb {D}$ дается:

$k_{z}^{A^{2}}(\zeta )={\frac {1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ),$

и аналогично, для $A^{2}(\mathbb {C} _{+})$ у нас есть:

$k_{z}^{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}),$

В общем, если $\varphi$ отображает домен $\Omega$ конформно на домен $D$, затем:

$k_{z}^{A^{2}(\Omega )}(\zeta )=k_{\varphi (z)}^{{\mathcal {A}}^{2}(D)}(\varphi (\zeta ))\,{\overline {\varphi '(z)}}\varphi '(\zeta )\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \Omega ).$

В взвешенном случае имеем:

$k_{z}^{A_{\alpha }^{2}}(\zeta )={\frac {\alpha +1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {D} ),$

и:

$k_{z}^{A_{\alpha }^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {2^{\alpha }(\alpha +1)}{({\overline {z}}+\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {C} _{+}).$

Дальнейшее чтение

• Бергман, Стефан (1970), Ядерная функция и конформное отображение , Mathematical Surveys, vol. 5 (2-е изд.), Американское математическое общество.
• Хеденмальм, Х.; Коренблюм, Б.; Чжу, К. (2000), Теория пространств Бергмана , Springer, ISBN  978-0-387-98791-0
• Рихтер, Стефан (2001) [1994], «Пространства Бергмана» , Энциклопедия математики , EMS Press .

См. также

• Ядро Бергмана
• Банахово пространство
• Гильбертово пространство
• Воспроизведение ядра гильбертова пространства
• Харди космос
• Пространство Дирихле