Ядро Бергмана

В математическом исследовании нескольких комплексных переменных ядро Бергмана , названное в честь Стефана Бергмана , является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства ( RKHS ) всех интегрируемых с квадратом голоморфных функций в области D в C. ^н.

Подробно, пусть L ²( D ) — гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций на D , и пусть L ^{2, ч}( D ) обозначают подпространство, состоящее из голоморфных функций в L ²( Д ): то есть,

L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)

где H ( D — пространство голоморфных функций в D. ) Тогда Л ^{2, ч}( D ) — гильбертово пространство: это замкнутое линейное подпространство в L ²( D ) и, следовательно, самостоятельный . Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной интегрируемой с квадратом функции ƒ в D

\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}

( 1 )

для любого компактного подмножества K в D . Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ²( D ) также подразумевает компактную сходимость , поэтому предельная функция также голоморфна.

Другое следствие ( 1 ) состоит в том, что для каждого z ∈ D оценка

\operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)

— непрерывный линейный функционал на L ^{2, ч}( Д ). По теореме о представлении Рисса этот функционал можно представить как скалярное произведение с элементом L ^{2, ч}( D ), то есть

\operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).

Ядро Бергмана K определяется формулой

K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.

Ядро K ( z , ζ) голоморфно по z и антиголоморфно по ζ и удовлетворяет условию

f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).

Одним из ключевых наблюдений по поводу этой картины является то, что L ^{2, ч}( D ) можно отождествить с пространством $L^{2}$ голоморфные (n,0)-формы на D путем умножения на $dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}$ . Поскольку $L^{2}$ внутренний продукт в этом пространстве явно инвариантен относительно биголоморфизмов D, поэтому ядро Бергмана и связанная с ним метрика Бергмана автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2724-6 .
Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Ядерная функция Бергмана» , Энциклопедия математики , EMS Press .